CHAP. IL - ÉLASTICITÉ
libre. La déformation du prisme est connue si l'on donne les longueurs très petites ^x, ^y, ^x qui représentent les dilatations de Tunité de longueur suivant les axes coordonnés, et les angles très petits a^, a^, a^ dont ont yarié les dièdres ayant dx^ dy^ dz pour arêtes respectives, pourvu qu'on y ajoute la petite rotation qu'il faut donner au milieu tout entier pour amener les axes de l'ellipsoïde de déformation en contact avec leurs droites correspondantes.
Ce dernier mouvement de rotation laissant aux molécules du corps leurs positions relatives ne développe aucune force élastique. On peut donc, lorsqu'il s'agit de déduire les forces élastiques de la déformation qui les engendre, négliger ce mouvement de rotation et considérer la
déformation comme complètement définie par les i et les et.
Si l'on ne considère que des déformations suffisamment petites, on peut regarder les forces élastiques comme proportionnelles à la déformation, et l'expression de chaque composante de la force élastique comme composée de 6 termes dont chacun est formé d'un facteur constant, ou ne dépendant que de la configuration du milieu au point
considéré,' qui multiplie une des 6 quantités ^x» ^y> ^zt ^xf ^» ^s. Pour la symétrie des formules, on convient d'appeler :
Aj. le coefficient de o^ dans N^, A,
yx xy
C^, D^, F^ les coefficients respectifs de a^, a^, «^ dans N^,
Ca^D,. F, - - - N,
C'^, C'y, C\ les coefficients respectifs de 8^, h y, 8, dans T^
D' ly ly — — — T
çS^x le coefficient de a^. dans T^
eçS — a T
îy
Ny.
Sx
CHAP. n. - ÉLASTiaiÉ. 55
de Tétat initial et de Tétat final du corps, et qu'il est indépendant des états intermédiaires. Il est facile de le démontrer. On suppose que pendant la dèrormation le corps reste toujours en
Rg. .6.
équilibre sous l'action antagoniste des forces extérieures et intérieures, et qu'en outre la température reste constante grâce à la présence d'un corps étranger qui fournit en entier à chaque instant la chaleur absorbée ou produite par la variation d'énergie intérieure. En passant de Vètal initial indiqué par l'indice 0 à l'état final indiqué par l'indice i , ou a développé une quantité de travail égale à t;^ (^^ — ^q) {xi étant le volume du corps), et on a recueilli une quantité de chaleur égale à la différence vi (D^ — Uo) des énergies intérieures initiale et finale du corps. Si l'on ramène le corps à l'état initial en le faisant passer par une série Ae transformations différentes de celle qui a été réalisée d'abord, on devra fournir une quantité de chaleur précisément égale à vi (D^ — U©), car l'énergie intérieure du corps ne dépend que de son organisation interne et de sa température. Quant au travail recueilli, il ne serait pas égal au travail dépensé dans la première série de déformations, si ^i^^o 116 dépendait pas uniquement des états initial et final; mais cette hypothèse est inadmissible, car si elle était exacte, on aurait, à la suite des deux séries inverses de déformations qui ramènent toutes choses à l'état initial, créé ou détruit du travail, ce qui est impossible.
On déduit de ce théorème que, dans l'expression de d^^ les N et les T sont les dérivées partielles du premier ordre par rapport aux d et sux a d'une même fonction 4>. Les 36 coefficients qui entrent dans les expressions des N et des T sont ainsi les dérivées partielles du second ordi*e, par rapport aux d et aux a, de cette fonction 4». 11 y a donc, entre ces 36 coefficients, des relations du genre de celle-ci :
CKISTALLOGBAraïK. T. H. 5
CHAP. n. - ÉLÀSTiaTÉ. 35
Si l'on convient, pour abréger récriture, de représenter B par B,,
„ par «-^STy. etc., les expressions définitives des N et des T seront en résumé :
^=BA + Vy + «A+ V^+ Vy+ V^ Wa=ByS,+ B^8yH-A,5,+ C,a^+ D^a^^ F^
T, = FA+F,8y + F,S,+ J^,a,+ ^^^-^tPè^^
Les coefficients A sont quelquefois appelés élasticités directes ou
longitudinales ; les B élastkUés latérales^ les ^sS élasticités tangentielles ou de rigidité; les autres sont les élasticités asymétriques.
Les six lignes horizontales et les six lignes verticales du tableau formé par les seconds membres de ces équations sont, respectivement identiques. 11 en résulte évidemment que si Ton forme la somme
î,<OÏ, + 5ydN^-f.8,dN,+a,dT, + e»c.,., •
le coefOcient dedi^, qui est la première ligne verticale du tableau, est égal à N^. On a donc :
On en déduit encore :
et par conséquent en appelant ^^ le travail total produit par la déformation et rapporté à l'unité de volume,
FwTBndea symboll^aes donnant le« expressions des N et T. —
Oopeut donner aux expressions des N et T une forme symbolique remar*
CBAP. U. — ÉLASTICITÉ. 57
déduite de la formule de la page 9, en remplaçant ^ par p, on remplace px» Pt9 Pi* par leurs valeurs eii d,, ci,, d,, on a :
omuile qui s'identifie avec la valeur précédente àepu. si l'on pose
c'est-à-dire si Ton admet que a^ est la projection sur l'axe l de la force
symbolique a, dont les composantes sont a«, a,, 0%. Le second facteur du deuxième membre devient alors en effet, dans les deux équations, le travail de la force a correspondant au déplacement symbolique d dont les projections sont £i«, d,, d,.
La formule générale de transformation cherchée est donc
dans le deuxième membre de laquelle il faut remplacer les expressions aç» 1^1 par leurs valeurs symboliques en a«, a,, etc.
Forée* élaaU««e« Ammm les mllleax «al pessédeot «es éléaMot*
'e syaiétrie. — Quelle que soit la nature des éléments de symétrie qui «e rencontrent dans la structure du milieu considéré, on ne peut rien en déduire touchant la position^ ou la grandeur relative des axes des ellipsoïdes de déformation ou d'élasticité. En effet, les à et les dc, les N et les T ne dépendent pas seulement de la nature du milieu, mais encore des causes extérieures, plus ou moins dissymétriques, qui dé* fonnent le corps et mettent en jeu son élasticité.
Les coefficients qui entrent dans les expressions des N et des T sont au contraire indépendants des à et des a« et ne dépendent que de la nature du milieu ; ils doivent donc être affectés par la symétrie de celui-ci.
Plan de tyméirie. -— Système binaire, — Supposons, par exemple, qu'il y ait dans le milieu un plan de symétrie perpendiculaire à l'axe des z. Si Ton imagine une déformation telle que l'ellipsoïde de déformation ait l'axe des z pour l'un de ses axes, on aura «^ = 0, a^ = 0. Le plan des zy étant de symétrie pour l'ellipsoïde de déformation et pour le milieu, on se trouve ramené au cas examiné dans le chapitre I,
CHAP. n. — ÉUSTICITÉ. 39
Pour y parvenir on remarque d abord, dans le but de simplifier les calculs ultérieurs, que si l'axe quadratique est dirigé suivant Taxe des z, et si deux axes binaires de même espèce sont dirigés suivant les axes des X et des y^ tout doit rester identique, dans les expressions (8), lorsqu'on permute
ix et Sy , ttx et Oy , Nf et Ny
On en déduit :
(9) A^ = Ay, B, = By et tPê^^ = tPê?y.
Les trois relations ainsi obtenues sont*nécessaires, mais ne suflisent pas pour exprimer que le milieu possède la symétrie du système quadratique. On s*est en effet borné à écrire que lorsque ^, = ^y eta^ = «,, on a Nx = Ny et T« = Ty, mais cette condition peut être remplie sans qa'il existe nécessairement des plans de symétrie bissecteurs des plans xy et zx.
Pour traduire complètement la symétrie du corps, on change d'axes coordonnés en conservant l'axe des 2, prenant pour axe des Ç la bissec^
trice de l'angle xy^ et pour axe des v) celle del'angle xy» Les expressions des nouveaux N et T auront les mêmes formes que celles des expressions (8) modifiées parles relations (9).
On aura ainsi :
Les formules (2) donnent
8ii=5(8«-h8y — «0'
Ces valeurs, transportées dans N^, donnent :
A| + Bç Aç + Bç Aç — Bç
H ~ — 5 — ** "^ — 2 — 8y + Bç 8, -H — 2 — *»•
On peut avoir une autre expression de N^, car les formules (4) donnent:
Nç=5(N, + N^ + 2T,),
CHAP. n. — ÉUSTICITÉ. 41
isotropes tels que le verre, dont les propriétés sont identiques suivant toutes les directions. La structure des corps isotropes peut être comparée à celle d'un tas de poussière formé de grains polyédriques très petits et identiques entre eux. Trois directions rectangulaires quel • conques pourront, dans un semblable milieu, être regardés comme des axes quaternaires, puisque le milieu, quelle qu*en soit la position dans l'espace, est toujours identique à lui-même. Si l'on fait en sorte que l'ellipsoïde de déformation soit une sphère, l'ellipsoïde d'élasticité en sera une aussi. Les formules des N et des T seront donc les mêmes pour les milieux isotropes que pour les solides cristallisant dans le système cubique.
Coenieienta élastiques Inverses. — Des expressions linéaires des N et T en fonction des d et des a, on peut déduire des équations, linéaires aussi, et donnant les d et les a en fonction des N et des T. On obtient ainsi 36 nouveaux coefficients qui se tireraient des 21 anciens. Les relations de la page 35 montrent d'ailleurs que les i et les T sont
les coefficients difTérentiels de la différentielle de ^ considérée comme fonction des N et des T. On réduirait donc à 21 les 36 nouveaux coeffi- . cients accentués par des équations entièrement analogues à celles qui ont réduit à 21 les 36 coefficients non accentués.
Pour écrire aisément les expressions qui donnent les d et les a en fonction des N et T, nous conviendrons de changer, dans les expressions (6) qui donnent les N et T en fonction des i et des a, N eif d, T en a, et réciproquement, en accentuant les coefficients. Nous appellerons ces coefficients accentués, coefficients élastiques inverses^ en réservant la dénomination de directs aux coefficients non accentués.
Formales sjmbollqaes exprlnuiiit les eoenielents élastlqnes
directs oa Inverses. — Quant aux formules qui serviront à trouver les
coefficients inverses A' B'... ^iPc? > ^ correspondant à un certain système de coordonnées quand on connaît ceux qui correspondent à: un autre, on peut encore se servir des fonnules symboliques de la page 37.
mais avec quelques modifications. En effet, les formules
CHAP. n. — ÉLASTICITÉ. 45
dantes donnant les N et T eu fonction des â et des a, mais en accentuant
ces numéros.
g 4. ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ.
Équations exprlnant l'éqalUbre d'élaiitlelté. — Pour appliquer la
théorie qui précède, il faut pouvoir résoudre le problème suivant : Dn . corps étant en équilibre sous Faction des forces élastiques intérieures et d*un système donné de forces extérieures, trouver la déformation du corps, ou réciproquement. IL est aisé de poser les équations différent tielles qui résolvent le problème.
Soit un petit prisme dont 3 arêtes, coïncidant avec les axes coordonnés, sont égales à dx, dy, dz. La face coïncidant avec le pian des yz est sollicitée par une force élastique qui, appliquée à la surface donl l'aire est dydz^ a pour composantes :
^^dydz, T^dydx, tydydz.
La face parallèle est sollicitée par une force dont les composantes sont :
Quant à la force non moléculaire qui agit sur le petit parallélipipède, on peut la supposer proportionnelle au volume dxdydz = dvy et nous appellerons ses composantes X^, Yo, Z^; l'équilibre du prisme exige que la somme des projections des forces sur Taxe des x soit nulle. On trouve ainsi la première des équations suivantes, dont les deux autres s'obtiennent par des considérations analogues en remplaçant successi* vement Taxe des x par ceux des y et des z :
dN^ rfr^ rfT„ dx^ dy^ d% ^^• — "'
Ces équations, qui doivent être satisfaites en tous les points du corps en équilibre d'élasticité, sont les équations indéfinies . d'équilibre auxquelles doivent satisfaire les fonctions N et T.
CnAP. IL— ÉLASTICITÉ. 45
rieures données, elle vérifie les équations de Téquilibre élastique.
•s dt'ame trA«mloi» oa d'ane pression. CosiOelenta d*élastlelté
gitnJiiMile. — On appliquera d'abord cette théorie au cas simple a corps homogène quelconque» de forme prismatique, sollicité sur bases par une force normale (pression ou traction) égale à p paf ité de surface. On rapporte le corps à 3 axes rectangulaires x^ y, dont Tun z est parallèle à Taxe du prisme.
\l est aisé de voir qu'on a partout :
T, = 0 Ty=:0 T, = 0,
où Ton tire :
^x=^pK K=^P^x K = pK
«* = PC', «y = pD', «,=PP',.
En efTet, les valeurs de N et de T satisfont évidemment aux équa- \Mm [MS] lorsqu'on y abstrait X^, T^, Z^, et aux équations (14). Les i et
les a satisfont également aux équations (3) et (4), puisque toutes les dérivées sont nulles.
Si l'on observe avec précision la dilatation i[ du prisme, ou le rapport de l'allongement de ce prisme à sa longueur; si l'oli mesure en ou\re\e rapport/» qui existe entre le poids qui sollicite le prisme et Taire de la section droite, |on aura :
On a donc ainsi le moyen de déterminer expérimentalement le coefficient A'^ correspondant à une direction z arbitrairement choisie.
VvikNet^e de ce coefficient est désigné ordinairement dans la théorie de la résistance des matériaux sous le nom de module de Vélaaticité Hitudinole; on le désigne par E^.
Si l'on prend dans le corps 3 axes rectangulaires fixes, 1^, y), (, la formule symbolique connue donnera immédiatement l'expression de A*,
^(onaioudes coefficients qui se rapportent aux axes (, 73, Z. On trouve
ainsi:
CHAP. II. — ÉUSTIOTÉ. 47
încidant a^ec une parallèle au côte du rectangle reposant sur les
puis. Dans ce cas, on a 1:= 7^» et la formule devient :
Pi»
48 E bh^
Malheureusement cette formule ne s'applique qu'aux corps isotropes u cubiques ; pour les autres corps cristallisés, on n'a pas encore pu iablir, si^ ce n'est dans des cas particuliers, la formule qui lie la flèche àux dimensions du prisme et aux constantes élastiques.
n faut donc, pour déterminer les constantes élastiques des cristaux, mesurer directement l'allongement ou le raccourcissement qu'éprouve, sous l'action d'une force connue, un prisme de longueur et de section données, découpé dans le cristal suivant une direction cristallographiquement connue. La difGculté provient de l'extrême petitesse de la longueur à mesurer; mais on pourrait sans doute, comme l'a depuis longtemps indiqué H. Cornu, surmonter cette difficulté en ayant recours à la beWe méthode d'observation imaginée par M. Fizeau et appliquée par lui à la mesure des dilatations thermiques des corps cristallisés; nous la décrirons plus loin.
Cas di'sae pression «alffomie mv tontes les ioeeo. -— Il est
intéressant d'examiner le cas d'un corps que presse uniformément sur sa surface une pression égale à p par unité de surface. U est aisé de voir qu'on a alors dans tout le corps :
fl, = N=N, = -p T, = 0, T^ = 0, T, = 0.
On aura
donc:
^ = -(D'x-HD'y+D',)p
Si le corps a la forme d'un cube dont les arêtes soit parallèles ^ ^* y^x; d^^ 9^9 ^y seront les dilatations des arêtes, a^* «y> «« les rétrécissements des angles dièdres de ce cube. Les a seront tous nuls 81 les axes coordonnés sont des axes de symétrie.
Cas d'nn corps ejltndriqne solUdté * la torsion. — Les phénomènes d'extension, de compression ou de flexion ne pouvant suffire à
CHAP. II. - ÉLASTIOTÉ. 49
lîère générale,
équations dans lesquelles on peut mettre k.d ei a un quelconque des indices a:» y, a;.
Les équations (3) donnent donc :
dxdy
— dy*
■"(te*
équations satisfaites lorsque T^ et Ty et par conséquent les ol et les d
sont fonctions linéaires de x et de y. Les équations (4) donnent :
"■ \dy
dct \ 1x)
dy \ rfy (te / 0 = 0,
équations satisfaites, lorsque Ton pose :
da da„ dx dy
30 étant une certaine constante.
La condition que T^ et T soient des fonctions linéaires de a; et de y exige d'ailleurs que le coniour soit une ellipse, car si Ton remplace T, et ly par ces fonctions linéaires dans l'équation T^do: — Tydy=0,
dT„ dT^ cette équation, intégrable en vertu de l'équation -^ =^ — -r-» donne
par rintégration une équation du deuxième degré qui ne peut être que celle d'une courbe fermée et par conséquent d'une ellipse.
Dans les expressions de T^ et T en x et y, il ne doit point entrer
CBISTAUOGBAPBIB, T. II. 4
