PROPAGATION DE LA CHALEUR

Héttnitloa 4e la températiire d*aift point dn eorp». — Nous

nous proposons d'étudier la propagation de la chaleur dans un corps soV&de cristallisé, lorsque Tétat thermique de ce corps est devenu permanent. Cet état est défmi par la température en chaque point. 11 est d'abord nécessaire de préciser la signification de cette donnée physique.

On dit qu'un corps est à une température uniforme 9, quand une

^rlion quelconque de ce corps supposée séparée de la masse totale

est incapable d'échanger de la chaleur» soit avec une autre portion du

corps, soit avec un autre corps quelconque à la température 0. Dans

cet état, chaque molécule du corps ne recevant ni n'émettant aucune

quantité de chaleur (ou, ce qui est la môme chose, en recevant autant

qu'elle en renvoie dans le même temps), est elle-même dans un certain

équilibre thermique qu'il serait sans doute impossible de définir avec

précision, mais que l'on désigne en disant que la molécule est à la

température 0,

Ws un corps inégalement chaud en ses divers points, mais arrivé à un état thermique permanent, chaque molécule ne reçoit de celles qui Ventourent aucune quantité de chaleur; elle est encore dans un état d'équilibre thermique ; mais cet état n'est pas nécessairement identique avec celui qui se produit lorsque le corps est également

Gai8TALL0«RAPBiB, T. II. 6

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chaud dans toute la masse, car la molécule n*est pas, comme elle Test dans ce cas, entourée de molécules également chaudes. 11 faut remarquer cependant que les variations de, chaleur qui se produisent en passant d'une partie du corps à une partie très voisine sont très faibles; que, d'autre part, le rayon de la sphère décrite du centre de gravité de la molécule comme centre, et au delà de laquelle rechange de chaleur avec la molécule est insensible, est très petit et que la sphère ne comprend ainsi que des molécules dont Tétat thermique diffère extrêmement peu. L'état d'équilibre thermique d'une molécule peut donc* être regardé comme étant de la môme nature que celui qui se produit lorsque le corps est à une certaine température uniforme $; on dit que la molécule possède cette température 0.

Supposons deux molécules très voisines l'une de l'autre, et (^e^ l'on désignera par les numéros 1 et 2 ; l'une est à la température O^, l'autre à la température 6,. L'échange de chaleur entre ces deux molécules serait ngl si d^ était égal à 6,. L'échange sera donc causé par la di/férenceS^ — 0„ différence infiniment petite, si les deux molécules sont infiniment voisines. En vertu de la proportionnalité de l'efTet à la cause, lorsque celle-ci est très petite, la chaleur envoyée par 1 à 2 sera donc proportionnelle à d| — 0,, et pourra être représentée par A (9i — 0,), A étant un coefficient convenablement choisi.

Au point de vue du transport de la chaleur d'une molécule à une autre dans l'intérieur du corps, on peut donc supposer les molécules réduites à des points fictifs qui seront par exemple les centres de gravité de chacune d'elles. Chacun de ces points sera supposé doué à^nm certaine température, qui sera celle de la molécule; dans un cristal, chaque nœud du réseau a ainsi sa température propre. On petit représenter les températures de tous ces nœuds par une certaine fonction continue des coordonnées des nœuds. Cette fonction donne des valeurs, non-seulement pour les coordonnées de ces points particuliers, mais encore pour celles d'un point quelconque de l'espace ; les valeurs de cette fonction définissent ce que l'on appelle la température en chaque point du corps.

Flux calorlliqae en un |»oliit du eorp». — Gonductlblllcé ea-

lorlflqae. — Cela posé, nous supposons le corps divisé par un plan P en deux parties dont Tune, plus chaude, M, envoie de la chaleur â rautre pli] s froide N. Une portion très petite m de H envoie de la chaleur ù une portion très petite n de N, et l'on peut dire que cette chalee/r

CHAP. m. — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 85

asse par le point 0, inlersecUon de F et de mn. La distance mn est écessairement très petite, car dès que la distance devient sensible, la ropagation moléculaire de la chaleur devient insensible. Nous cherhons la somme des quantités de chaleur ui sont ainsi envoyées de M à N, suivant les directions rencontrant P dans l'intérieur l'une petite surface w. C'est ce que nous ippellerons le flux calorifique suivant w.

La température 0 du point 0 est une fonction des coordonnées x, y, z du point;

de dQ de , , ,^ . ^ .. ,1 j /. '

y''* ~T'* 'AT dérivées partielles de 9 pig. i6.

prises par rapport à x, y, z et évaluées au point 0.

La quantité de chaleur envoyée par mk n^ pendant le temps dt, est, toutes choses égales, proportionnelle à la différence dQ entre la tempéralure de m- et de w, ou à

dt ( (icH- dy4- dz]= dr. [u — -{- V — -¥w ^]dt, \dx dy d% J \ dx dy dzj

dr étant la distance mn^ dont u, v, w sont les cosinus des angles avec \cs axes. La quantité de chaleur traversant &> et envoyée suivant la dii*ection (u, v, w) étant évidemment proportionnelle à o), pourra être représentée par une expression de la forme

(i)M{u ... +t>-4-to-- dt, \ dx dy dzj

Si nous portons sur la direction (u, v, w) une longueur égale à uMS et si nous, la considérons comme une force, Texpression ci-dessus représente le travail de cette force fictive correspondant à un déplacement également fictif, dont les projections sur les axes sont

dt^ ^dt, j-dt.

dx dy dz

Pour avoir la somme de toutes ces quantités de chaleur, il faut faire la somme de tous ces ti*avaux ; on l'obtiendra aisément en cherchant

* H peut être appelé la conductibililé élémentaire suivant la direction mn.

CHàP. ni. — PHËIfOKËNES THERUIQUES. 85

Lorsque ta chaleur passe de la partie H à la partie N du corps, la résultante des quantités de chaleur (positives ou négatives) est toujours dirigée de U surN; l'angle que fait OA avec OB est donc toujours aigu. Les quantités A, B, C (chapitre I, page 14) étant toujours positives, la surface principale est un ellipsoïde, et l'oa peut égaler A, B, C à des carrés a*, b*, c*. L'équation de l'ellipsoïde des conductibilités est alors

et celle de l'ellipsoïde principal :

Les conductibilités principales suivant les axes de l'ellipsoïde sont alors égales à a', b', c*.

Les aies (ie l'ellipsoïde des conductibilités sont les axet thenniqiies du corps. Si le corps est identique en tous ses points, les axes thermiques ont la même grandeur et la même direction en tous tes points. L'ellipsoïde de conductibilité ne dépend pas de la loi de répartition des tenipéi'atures; la symétrie de cet ellipsoïde est donc réglée uniquement par celle de la structure intérieure. L'ellipsoïde est une sphère dans les cristaux du système cubique; un ellipsoïde de révolution autour de l'axe principal dans les systèmes quadratique, ternaire et hexagonal; dans les autres cas, un ellipsoïde à 3 axes inégaux pour lequel la direction de 3 axes ou d'un seul est déterminée suivant que le système est ortho ou clino-rhombique.

Barfaeeii l>oU>er«»e* dMu les béIIIcdk «rli*l«lll*B ladéBala. — Concevons, dans un milieu homogène, un point 0 que l'on supposera é\n une source de chaleur constante, telle que, par une surface intinimeut petite d'aire u menée par 0, passe dans l'unité de temps une quantité de chaleur constante aq. U se fait dans te corps une certaine répartition de température qui devient permanente au bout d'un certain temps, lorsque U quantité de chaleur arrivant par 0 est égale à celle qui se dissipe pendant le même temps. Considérons les choses arrivées à cet état de permanence, et supposons la surface du corps assez éloignée de 0 pour que les particularités de cette surface puissent être considérées comme sans influence sur la répartition des températures dans un rayon étendu autour'de ce point. Nous nous proposons de chercher, dans ces conditions, la nature des surface» ùothermes telles

CUAP. m. — PBËNOHËNES THERMIQUES. 81

i) '— 1 ; condition qui peut se traduire par l'équation

déduit

une constante. Si H désire la portion très petite de la surface hère ayant l'unité pour rayon, qui est interceptée par le cône

«d, on a u:= —,, et H étant constant, on aura, C étant une congale a s :

1 qui, étant intégrée, donne :

une autre constante. 11 Tant déterminer C et C.

n suppose le corps a'ètendant à l'infini, la portion du coips

I l'infini n'est pas atteinte par l'échaufrement ; elle est donc

I la température 6, que l'on suppose avoir été la température

le de tous les poînls de corps avant réchauffement. C étant

r de 6 pour r = oo , on peut donc poser G' = 6,.

I appelle d la température d'un point du corps situé sur la

1 OA, à une distance R de l'origine, en faisant r^ K, on a :

lipsoïde auquel appartient le rayon vecteur R avait en tous ses I même température 6, un autre ellipsoïde quelconque aurait

CHAP. m. — PHËNOliËNES TnËRHlQUES. 8»

1 le coeflicient de conductibilité extérieure de la surface 1 la température du milieu ambiant, et dS la surface AB A^Bi. l'épaisseur de la plaque, le volume du petit solide élépris entre u, u' et les deux surfaces de la plaque est edS. •e s'exprimer en multipliant par ta base o la hauteur cordu prisme. Si U est l'angle de àr avec la normale à celte me sera udr cosl), et on pourra poser

ed&^ btdr cos U.

gle du rayon vecteur de l'ellipsoïde principal avec la nor- L tangent, on a donc, d'après une relation connue :

de chaleur perdue par le rayonnement de la face sapé- >nc:

de chaleur perdue par le rayonnement de la face inféie même :

h' et 6', le coefficient de conductibilité extérieure et la du milieu ambiant inférieur.

I qui exprime l'équilibre calorifique de l'élément consi-

narquequeM + dM=M ^-î^-^-^=û. M+2-^j, cette

t s'écrire ;

rf'6 2d6 h + h- if. h6, + A'6'A „

e la plaque indéfinie où la propagation calorifique issue

aiAP. m. — PHÉNOMÈNES THERMIQUES. 91

ture <Iu tube OU celle ite ta tige étant maintenue constante, on voil, comme dans l'expérience d'In^enhouz, se dessiner tout autour du centre de chaleur, une courbe elliptique marquée par le bourrelet qui sépare la cire fondue de celle qui ne l'est pas. C'est la courbe isothenne correspondant à la température de fusion de la cire. On mesure, avec un appai-eil grossissant, les dimensions des axes de cette ellipse et leur orientation par rapport aux axes crislallographiques de la plaque. Ces expériences ont été pour la première fois exécutées par

tig. 19.

Sénarmont', qui ne parait pas avoir eu connaissance du mémoire théorique de Duhamel présenté en 1828 à l'Académie des sciences '. Elles ont été, depuis cette époque, reprises par plusieurs savants, et particulièrement par M. Jannettaz^.

H. Jannettaz a perfectionné la disposition expérimentale imaginée

• ÀnnaUt de ehimù el de pliynqve, 3> s«rie, t. III et XXII, 1M7-JS.

■ A la taite d«E eipëriencei de Sénarmont, Duhamel publia, dans le 3!* cahier du jonmalde l'École polytechnique (ISM) un nouTeau mémoire sur la propagation de la chaleur danales cristaux, où il applique la théorie générale sui eonditioDS eipérimenlaies réalisées par le tarant obserTaleur.

* Àna. de chimie et de phyâ., *• série, t. lUI, 1S73.

par Sénarmont. La source calorifique est une petite sphère de piaf ine

(fig. 19) posée sur la plaque cristalline enduite de cire. Cette sphère s'échauffe parce qu'elle est soudée à un fil fin de platine, replié sur lui-même et à travers lequel on fait passer un courant électrique qui rougit le fil. Au-dessus de la lame cristalline, et à peu de distance esX placée une petite cuve à fond plat, dont la température est maintenue constante par un courant d'eau froide. La cuve est percée, en son centre, d'un trou annulaire par lequel passent les fils de platine dont le rayonnement calorifique est ainsi annulé ^

Les tableaux suivants contiennent la plupart des observations publiées par M. Janneltaz.