CH.\P. V. — LUMIÈRE PARALLÈLE

Si le déplacement à Tincidence, évalué suivant la direction du déplacement, est, pour le rayon ordinaire, représente par

Ço=cosasin Sx™, il est représenté à Témergence par

Ç^ = cos a sin 2:r— — ^.

Pour le rayon extraordinaire, on trouve de même

Y)^ = — sin a sin 2tc '^-

Posons, pour simplifier récriture,

o et e sont des temps. Mais si l'on considère un milieu, tel que Tair, pour lequel on supposera la vitesse de propagation représentée par l*unité, 0 et e seront aussi les épaisseurs de ce milieu, que la lumière parcourt dans des temps respectivement égaux à ceux qu'emploie chacune des deux vibrations à traverser la lame cristalline.

Si d'ailleurs on appelle a la longueur d'onde que possède dans l'air l'espèce de lumière considérée dont la durée des vibrations est T, on aura A = T, et les équations des deux vibrations pourront prendre la forme suivante :

cos a sin

Tf^ = — Sin a sin

Lorsqu'on considère o et ^ comme représentant des temps, ils prennent le nom de phases on retards; lorsqu'on les considère comme représentant

, 2iro '27c^ des longueurs, ce sont des différences de marche; les angles -— j -r-

sont des anomalies.

Wi.

' Ji

iJ6 DEUXIÈMK PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

Au sortir de la lame les deux vibrations cheminent dans TairaTti vitesses égales, et sans changer, par conséquent, leurs phases reLi Arrivées sur l'analyseur, elles se composent de manière à donner vibrations dirigées suivant les deux sections principales Ao^ et A-. Tanalyseur. Appelons j3 l'angle de la vibration koa (que nous su'v rons être l'ordinaire, avec la vibration ordinaire ko de la lame cri Une; Tangle P sera compté dans le même sens que Tangle a.

La vibration ordinaire ko^ est représentée par :

i.^ = cos a ces

[j sin2z ( 7|î — r j — siii a sin 3 sin 2?: { f ~ •"/

I^ vibration extraordinaire kca est représentée par :

— COS a SI

n J sin ^Trf™; — r) —sin a cos g sin 2:: (j — r.'-

La première expression peut se mettre sous la foi*me :

w^ = I cos a cos ^ cos 2:: - — sin a sin ^ cos 2:: r 1 sin 2:: =-

— j cos a cos ^ sin S-r r — sin a sin f sin 2r- 1 cos 2r r-

et l'on voit immédiatement que l'intensité (ou la force vive moyenne d» la vibration) est représentée par

cos a cos p cos 2:: - — sin a sin ^ cos 2

cos a cos ^ sin 2?: r — sui a sin

En effectuant ces calculs très simples, il vient :

inPsin2r.^J.

(1 ) lo =: cos* a cos' p -h sin* a sin* 3 — 2 cos a cos ^ sin a sin ^ cos 2:: —

OU encore a cause de cos ztz — r— ==: 1 — 2 sm tt — —

X" =:: cos* ia 4- P) 4- sin2a sin 2^ sin' i:

CIIAP. Y. LUMIÈRE PARALLÈLE. 157

On trouverait de môme pour Tautre vibration :

o — c U = sin* (a -h P) — sin 2a sin 2^ sin« z —. —

Les intensités des deux rayons émergents sont, comme il était nécessaire, complémentaires Tune de Tautre.

Discussion des formaies précédentes. — Si l'on considère en particulier l'un des rayons, l'ordinaire par exemple, on voit que Tintensité dépend de deux tennes dont le premier, cos* (a-h(3), ne varie qu'avec l'angle (a+ (3) que font entre elles les deux vibrations delà lumière au sortir de l'anal vsenr et du polariseur, ou, comme on le dit encore, avec Tangle que font entre elles les deux sections principales de l'analyseur et du polariseur. Le second terme de Texftression qui donne h, dépend au contraire de la grandeur relative de a et de [3, c'est-à-dire de l'angle que fait la section principale de la lame avec celle de l'analyseur.

Lorsque a -h |3 est égal à 90^ c'est-à-dire lorsque les sections principales de l'analyseur et du polariseur sont à angle droit, cos (a-hP) est nul, et l'intensité h ne dépend que du 2« lenne. Elle s'annule pour

sin 2a =0 ou sin 23=0,

c'est-à-dire lorsq'ie l'une dps deux section sprincipales de la lame coïncide avec la section principale de l'analyseur ou avec celle du polariseur. L'inlensilé est d'ailleurs la plus grande possible, toutes choses égales, lorsque le deuxième lernie est maximum, c'esl-à-d re lorsque le produit sin 2a sin2j3 est maximum, ou encore lorsque sin 2a = sin 5j3. La condition qui donne le maximum d'intensité est donc remplie lorsque la section principale de la lame est à 45® de chacune des sections principales de l'analyseur et du polarisateur.

0 — e Le second terme de Ij dépend encore de la valeur de sin*r —7 — • La

valeur de 0 — e est facile à connaître, car

Uo et «e étant les doux valeurs du ra\on vecteur de la surface des vitesses

'•iw

normales correspondant à la direction du rayon incident. Or, oq u\ que Ton a sensiblement (pages 118 et 122) :

Wg— Mo=^5e — 3o=±(a— c)sinô'sinO'',

ô' et 0" étant les angles formés par le rayon avec les axes optique. j cristal; on sait en outre que dans cette formule, il faut prendre If ^ gne — quand le cristal est positif, le signe -h quand il est négatif. \^ aurons donc approximativement :

? = dre-rr-sinO'sin 6'

On voit aisément que, dans Tordre d'approximation où nous pm

plaçons, on peut assimiler ,^ à

ou à . On peut (M

ac c a ^ ^

écrire encore

0 — er= ±: e/^i — i^ sin 6' sinô"-

Pour simplifier l'écriture, nous poserons

wfr = v, »c=-;

les quantités ria » th , ne , qui sont rangées dans Tordre de granden croissante, sont appelées les indices principavx du cristaL On s ikn

o — c = d: c(wc — na) sin 6' sin ô'

Lorsque

k étant un nombre entier quelconque, le second terme estnulietl'b tensité I^ est constante, quelle que soit Torientation de la plaque. L'intensité ne dépend plus que de a-h |3 ; elle est nulle lorsque Tanalyseor et le polariseur sont croisés à angle droit, fi'équation

ou "-^-^sine'sinO''=*

peut encore s'écrire :

(ne— no) sin 6' sin 6"'

CHAP. V. — LDBIIÈRE PARALLELE. 159

On peut donc donner à la lame des épaisseurs telles que les phénomènes ne dépendent plus de Torientation de celle-ci. Toutes choses égales, ces épaisseurs forment une progression arithmétique dont la raison est

(«c — Wa) sinô'sin 6

Le premier terme de cette progression est égal à 0.

On peut satisfaire à la condition — — = 0 sans rendre nulle Té-

paisseur e de la lame ; il suffit, en effet, que Tun des deux angles B' et 6" soit nul, c'est-à-dire que la lame soit taillée perpendiculairement à un axe optique. Dans ce cas, la lame, quelle qu'en soit Tépaiss^ur, se comporte entre le polariseur et l'analyseur comme une substance monoréfringente.

Cas ob la liunlére floeidente n'est pas homoi^éne. — Nous avons

usqu'ici supposé que la lumière employée était homogène. Il importe d'examiner le cas où elle est blanche.

On peut, on le sait, considéror^la lumière blanche comme formée par la superposition d'un nombre infmi de lumières homogènes. 11 suffit donc d'appliquer à chacune de ces lumières différentes la théorie qui vient d'être exposée. On trouve sans peine que la lumière qui sort de l'analysegr est divisée en deux faisceaux; dans le faisceau ordinaire, l'intensité lo s'obtient en formant pour chaque couleur, de longueur d'onde X, le binôme

ces* (a -h P) + sin 2a sin 2^ sin* tz

et en le multipliant par une quantité \ qui représente la proportion

de lumière, de longueur d'onde X, que contient la lumière blanche d'intensité égale à 1.

On a donc pour l'intensité U une expression de la forme :

\o = cos« (a -H P) 2f\ -f 2 A^sin 2a sin 2p siu«ic ^-T"^)-

Le symbole S indique la somme d'un nombre infini de termes correspondant à toutes les valeurs de 1. D'après la définition même, £i\ est

égal à 1 ; quant a li sin 2« sin 2(i sin'Tr — r- , on peut remarquer qu'à

:• *• oi.-

160 DliiUXIKME PARTIS. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.

chaque valeur de X répondent des valeurs particulières de sin 2a sio :!:. puisque les sections principales de la lame ne sont pas les mêmes, ea générai du moins, pour les difTérentes valeurs de >. Mais dans les crstaux où la dispersion est faible relativement à la double réfraction, â où, par conséquent, Tellipsoïde d*éla^ticité optique varie peu pour !->

différents rayons colorés, le produit sin 2a sin 2|3 a sensiblement : même valeur pour tous les termes de la somme, et Ton peut écrii-e :

I, = cos* (a + P) + sin 2a sin 2^2 A sin» r. ^-^V

On voit, sous cette forme que, pour des valeurs données de a et d' :^ rintensité se compose de deux parties; Tune, indépendante de la ligueur d*ondc, leprésente une certaine quantité de lumière blanche p; •• portionnelle à la valeur de cos-(a-l-p); quanta Tautre partie elle représente la somme des intensités de diverses lumières coloi-êes •].: viennent compléter le faisceau. La proportion de chacun des ra\ •>

colorés est marquée pour chacun d'eux par \ sin 'tt — z — ; la som-

0 — e Si\ sin-TT — .. — donne donc, au moyen de la règle empirique de

Newton, la teinte du faisceau. Le coefficient sin 2a sin 2(3 indique lintensité de cette partie colorée du faisceau, que la quantité de lumièrblanche proportionnelle à cos- (a -h (3), vient ensuite laver plus - ; moins de blanc.

11 résulte de là que la teinte du faisceau émergent ne dépend queiie la quantité

= ^is sin* t:

Les positions respectives des sections principales du polariseur, dla lame et de l'analyseur, font varier seulement l'intensité du faisceau et la proportion de lumière blanche dont il est plus ou moins lavé.

Pour lo faisceau extraordinaire, on aura de même :

F, -= sin« (a 4- g) — A sin 2a sin 2^, ou encore :

\e = si"* (a — ?) + sin 2a sin 2^ Zi^ cos«- ?^ •

CUAP. V. — LUMIÈRE PARALLÈLE. 161

ne dépend que de la quantité £'X cos*ic— - — , elle est plus Lvée de blanc, suivant les valeurs de a et de p.

<»■■ dca fonmilea dann las eas de 1* lamiére non

. Pour discuter la formule qui donne U, nous supposerons

nent :

— t— p = M est constant et que « vitrie d'une manière conti- O Jusqu'à 2n, ce qui revient à laisser fixe le polarlseur et et à Taire tourner la lajne dans son plan;

K restant constant, w varie d'une manière continue, ce qui

lisser fixe le polariseur et la lame et à faire tourner l'analy-

^ = (ae»t comtanl et plus petit que 90".

I, =cos* u + A sin 2a sin 2 {u — a) ,

l, = sin*w— Asina<xsin2{u — *).

rnplifier le langage, nous désignerons par M le terme

AsiD3asin2(u — a). ■ isé de voir que pour les 8 valeurs de a ', 01, 90», 90O + W, 180», 180» + 1.1, 270». 270» + u,

0 et par conséquent de la lumière blanche. Toutes les fois que lar zéro, il change de signe, et toutes les Tots que M est négatif, est celle qui caraclërlse le rayon extraordinaire.

1 fig. 46, les 4secteurs non hachés dont l'angle est m comprenctouteslesvaleursde oc pour lesquelles la teinta est celle qoe filerons directe et qui est donnée par M positif. Les -* secteurs amprennenttouteslcs valeurs de a pour lesquelles la teinte est lentaire. Pour toutes les directions qui limitent le s secteurs, re est blanche.

considérait le rayon extraordinaire, les secteurs blancs de la rrespondraient à la teinte complémentaire, les secteurs haches te directe.

H. Il

tUAP. V. — LUMlÈhE PARALLÈLE. 185

teintes ; l'une, que nous appelons directe, est comprise dans la série des valeurs que peut présenter

A = Sij sin' X — — ,

et l'autre, que nous appelons complémentaire, est comprise dans la série des valeurs que peut présenter

11^2t^ COS* T. ^-^■

Échelle ehronnUqae de Newioa. — Lorsqu'un rayon de lumière blanclie tombe presque normalement sur l'une des faces d'une lame mince non cristallisée, il chemine d'abord dans celle-ci, se réfléchit sur la face opposée et ressort au dehors en suivant, mais en sens contraire, un chemin opposé à celui que suit le rayon émergeant. Il a acquis, en traversant la lame, un certain retard d, et la couleur que les phénomènes d'interférence communiquent à la lame est donnée par une expression de la forme

C'est ainsi que se colorent les bulles de savon et les i >'ewton.

Si, dans la formule qui donne la teinte de la lame cristallin s je placée entre le polariseur et l'analyseur croisés, on supposait o — e constant pour toutes les couleurs, comme l'est d dans la formulu précédente, les deux formules seraient identiques, et les leintes seraient

164 DEDSIËHE PARTIE. ~ CRISTAUOGRAPHIE PUVSl

lea mêmes lorsque l'on aurait o — e = d. 11 n'en est p ment ainsi, car on a vu que, pour la lame cristalline.

et toutes les quantités »,, n^, Q', 0" dépendent ellcs-mé

Mais, dnjis la plupart des cristaux. In dispersion des très considérable: on peut donc, dans une première ; considérer o — e comme une constante et admettre qi la lame cristallisée, dans laquelle le retard moyen o — e, est identique à celle d'une lame mince isotro égale à d, lorsque o — e:=d.

Newton a noté la succession des couleurs que prem minces isotropes lorsque d augmente graduellement; i appelle l'échelle chromatique de Piewton. Cette échel également la succession des leintfs que prend une la entre un polariseur et un analyseur, lorsque o — e vat ment. On trouvera dans le tableau ci-joint cette échell est donnée par M. Billet, d'après Brucke. Dans ce table appelées directes sont celles qui sont observées avec u tallinc lorsque le polariseur et l'analyseur sont crois complémentaires sont celles qui s'observent lorsque le l'analyseur sont parallèles.

On voit qu'il se fait périodiquement des récurrences de F^ues, On appelle ordre l'ensemble des teintes qui vontd une couleur analogue. On a ainsi les teintes du pren deuxième ordre, etc.

Toute cette échelle de teintes peut être très aisément se servant d'un parallélépipède de verre que l'on pla pièces métalliques dont l'une est fixe et l'autre mobile a vis. En tournant la vis, on fait subir k la lame de vern ^ion gradui Uemeut croissante. On a soin de placer ent le métal des bandes de cai-ton ou de caoutchouc de man uniformément la pression sur les bases du parallélèp jiression développe dans le verre la double réfraction, e entre deux niçois croisés, il montre, à mesure qu'on toute la succession des teintes de l'écbellc chromatique'

' Wertlieini s

e pb^DDiiiàne pour ir

CS.^F. ¥. - LimiËRE PARAIIÈLE.

aint-

BIBCU

Premier ardre.

Blanc.

Noir.

Blonc.

Gris de fer.

Blanc jaunllire.

Gria de lavande.

Blanc bninltre.

Cris bleu.

Jaune brun.

Gria plus clair.

Brun.

Blancovecunelég teini. verte

Roupe clïir.

Blanc prescjiie pur.

Rouge carmin.

Blanc jaunâtre.

Rouge brun presque Doir.

Jaune paille.

Violet ronc«.

Jaune paille.

ae

IndiRo.

Jaune clair.

IW

Bleu.

Jaune brillant.

OS

Bleu Tcrdltre.

Joune orangé.

Vert bleuâtre.

Orangé rou^eAire.

Vert paie.

Rouge chaud.

Vert jannârre.

Roupie plus Toucé.

Deuxième ordre.

Vert plu» clair.

Pourpre.

Jaune verdùlre.

V,m.sT.

Jaune Tir.

Indigo.

Si

Ortoe*.

Bleu.

Orangé brunflire.

Bleu terditre.

Bouge carmin clair.

Verl.

Vert plus clair.

Pourpre ïlolncii.

Vert jaunâtre.

'iT.

Violet.

Jaune verdâlre.

Indigo

Jaune pur.

Bleu foncé.

Orangé.

Bleu rerdllre.

Orangé rouge vit.

ïerl.

Rouge violacé foncé.

■il

Vert jaunâtre.