COS
ls>inE(-l+||)
el enfin
E. + E.-2E=SîtgE(|2:.i)
L'erreur commise est de Tordre du carré de $^. Elle est positive lorsque lgE> Ig V, c'est-à-dire lor.^que le milieu exlérieur est moins réfringent que le cristal ; elle serait négalive dans le cas contraire. L'erreur s'annulerait si le milieu extérieur avait le même indice que le cristal, ce qui est d'ailleurs évideiU- Il y aura donc intérêt à faire la mesure dans un milieu dont l'indice s'approche autant que possible de celui du cristal.
Pour donner une idée de la grandeur de Terreur que Ton commet ainsi, on peut appliquer la formule au pyroxène, pour lequel, d'après M. Des Cloizeaux, on a dans Tair E = 55'>4r avec ¥ = 29° 29'.
Si la plaque employée pour la mesure fait un angle de 1^ avec le plan perpendiculaire à la bissectrice v Terreur commise sur 2E est égale à 10' environ. Elle serait de 40' si Tangle était de 2^. On voit que cette erreur, qu'il est assez difficile d'éviter complètement, peut n'être pas négligeable.
Supposons enfin ^^ = 0; le plan NB est perpendiculaire sur le plan des axes, NVj et N'v, sont égaux entre eux, et NB' est perï)endiculaire sur E| Ej. On a, dans le triangle NB'E,
Vig. 410.
-^— — *=sinNE4; sm B
dans le triangle rectangle NBV^
sinBEi . «V sinV
sinB suiB
On en déduit
MiiB^K, sin NE, n*^
sîu Y ~~ siu NY, ~~ n
L'angle BT^ est donc le même que celui que Ton oblieodrr. ? d^ était nul, c est-à-dire qu'il est égal à E. L*angle EiE, est ègilaii
L'influence de ô^ est donc nulle, au second ordre prés, lorsq^. . mesure Tangle formé par les axes apparents, ce qui exige «pe r*:i amène le plan de ces axes , c'est-à-dire le plan E^ E,, à ôlre perpeoèculaire à Taxe de rotation, ou à coïncider avec le fil darétiak.
Lorsqu'on laisse Taxe de rotation dans le pian de la lame, on m&srt alors non plus E|E,, mais la projection de cet axe sur un plan r.[. perpendiculaire à l'axe de rotation.
Le plan apparent des axes fait alors l'angle NB' = d^' avec la m:maie à l'axe de rotation. Dans le triangle NBYj, on a
ces V sin 5j = sin NV^ cos N, el, dans le triangle NB%,
cos E sin 5' sinE
ou
cos Y sin 8y sinV
s;-^ tfv'
Si l'on prolonge E^K^et E'^E', jusqu'à leur rencontre en R, on a, ûô::? le triangle RE^E^,
coso^ en appelant E' l'angle NE'^ qui est la moitié de Tangle mesuré.
Les conditions que doit remplir l'appareil, se réduisent à une seule, c'est que Taxe delà lunette soit perpendiculaire à l'axe de rotation. L<^ instruments dont on se sert habituellement ne permettent pas de modifier la position relative de ces deux axes ; on s'en remet au c&nstructeur du soin de la régler. Pour s'assurer si le réglage est satisfaisant, on peut se servir d'une lame cristalline ; on la fixe au bout de la pince, de manière que l'un des axes soit en coïncidence avec le croisement des fils des réticules; on tourne de 180^; siraxeémergéant de l'autre face de la lame vient se placer sur le croisement des fils, l'appareil est bien construit. Cela suppose, il est vrai, que les deui faces de la lame sont bien parallèles, ce dont on peut s'assurer préalablement par une mesure goniométrique.
CHAP. Xir. - PROCÉDÉS li'OBSERVATlON. 435
IV. - OBSERVATION DES COURBES ISOCHROMATIQUES. Kmplol des courbes ls€>chroiiiatlqnes ponr déterminer le mjn-
téme eristaiiiii. — Les appareils employés pour Tobservation des lames cristallines dans la lumière convergente ne servent pas seulement à mesurer Técartement angulaire des axes optiques. En permettant Texamën des lignes incolores et des courbes isochromatiques, ils sont d*un très grand secours pour déterminer le système cristallin de la lame, pour orienter l'ellipsoïde optique, pour en trouver le signe, et même, quoique plus rarement, pour fixer les grandeurs relatives des axes de cet ellipsoïde.
Si Ton peut découper dans le cristal une lame montrant, en lumière convergente, une croix noire avec des anneaux circulaires isocliromatjques ayant pour centre le centre de la croix, on en conclura que le cristal est uniaxe, et partant qu'il appartient à Tun des systèmes à axe principal, sénaire, ternaire ou quadratique. L'axe principal passe par le centre de la croix.
Si l'on trouve une lame montrant des lemniscates, et des hyperboles noires passant par les foyers de ces courbes, le cristal est biaxe et appartient certainement à l'un des trois systèmes orlhorhombique, clinorhombique, anorthique.
On peut aussi, avec des cristaux biaxes, trouver des lames montrant des anneaux isochromatiques circulaires ou presque circulaires; mais alors ces lames sont taillées perpendiculairement à un axe optique, et, au lieu d'une croix noire, on ne voit plus apparaître qu'une hyperbole passant au centre des cercles et se transformant en une droite lorsque le plan des axes est parallèle à l'une des vibrations des niçois.
Lorsqu'on a à faire à un cristal biaxe, il faut arriver à tailler une lame perpendiculairement à une bissectrice, et, préférablement, à la bissectrice aiguë. L'observation de la coloration des hyperboles et des courbes isochromatiques, vues à la lumière blanche, fournit alors des données précieuses relativement au système cristallin.
On se rappelle, en effet (V. pages 251 et suiv.), que si le cristal est orthorhombiquc, la répartition des couleurs est symétrique à la fois par rapport à la ligne des pôles, par rapport à la ligne perpendiculaire, et par conséquent aussi par rapport au centre.
Si la répartition des couleurs n'obéit qu'à un seul de ces trois modes de symétrie, le cristal est clinorhombique. Enfin, si la répartition des
CIIISTALLOGRAPHIE, T, II. 28
couleurs ne suit aucun de ces trois modes de sMnélrîe, le cristal ^^ anorthique.
Dans le cas où le cristal est clinorhombique, le mode de symétrie d>: la répartition des couleurs peut obéir à Tun des trois modes snhals:
1<* Syniétrie par rapport au centre ; la dispersion est dite cm$te; U bissectrice normale à la lame coïncide avec Taxe de sTmètrie cristall»graphique ;
^^ Symétne par rapport à la perpendiculaire au plan des aies : h dispersion est dite horizontcde, et Taxe de symétrie cristailographiqw coïncide avec la ligne des pèles qui est ainsi horizontale dans la p&>h tion ordinairement assignée aux prismes clinorhonibiijues ;
3» Symétrie par rapport à la ligne des pôles ; Taxe de symétrie crôtallographique est perpendiculaire à cette ligne qui se trouve alors inclinée; c'est la dispersion inclinée.
Orientation de l*ellipsotde optique. — L*obserTation des COOrbo
isochromatiques rend aussi de précieux services pour orienter iW/ripsoide.
Dans les cristaux uniaxes, Taxe de révolution de Tellipsoîde jiassepar le centre des anneaux circulaires. Même lorsque, par le hasard de la taille, les anneaux sont excentrés, on peut juger, par la position goorcupe leur centre, de la direction de Taxe optique, et par conséquent dn sens dans lequel on doit diriger les tâtonnements pour arriver à tailler une lame exactement perpendiculaire à Taxe optique.
n en est de même pour lés cristaux biaxes. Lorsqu'on peut oberver, même excentrées, les Icmniscates et les hyperboles, on peut voir ùm quel sens il faut diriger les tâtonnements pour arriver à tailler un^ lame perpendiculaire à une bissectrice.
Lorsque cette lame est obtenue, on sait qu'elle est perpendiculaire i Tune des bissectrices a ou c, et le plan de ces deux axes est àëerntiné par la normale à la lame et la direction de la ligne des pôles.
Il est bon de signaler ici une erreur qui peut se produira iorsqu 'on observe des lames très minces. Celles-ci peuvent montrer, lorsqu'elles sont perpendiculaires à Taxe moyen, des courbes isochroraatiques hyperboliques faciles à confondre avec des hyperboles et des lambesui de lemniscates.
néterminatlon dasig^ne d*an cristal. — L'observation des COOrbcS
isochromatiques vues avec une lame perpendiculaii'e à Taxe, si le cristal est uniaxe, à Tune des bissectrices si le cristal est bîaxe, pemelià déterminer le signe du cristal.
CHJlP. XU* — PROCÉDÉS D'OBSERVATION. 435
On se rappelle qu'un cristal est dit avoir le signe positif torsque l'axe [Clique, s'il est uniaxe, U bissectrice aiguë, s'il est biaxe, coïncide v^ec l*axe minimum c, et le signe négatif lorsqu'il coïncide avec l'axe naxîmujn a.
Si le cristal est uniaxe, nous avons déjà vu (page 258) comment, en aterposant une lame quart d'onde entre l'analyseur et le cristal, le node de déformation des cercles isochromatiques détermine le signe 4e la lame cristalline. Le microscope de M. Bertrand porte, comme nous l'avons déjà fait remarquer, au-dessus de l'objectif, une fente par laquelle la lame quart d'onde peut être introduite. Dans les microscopes à lumière convergente ordinaire, la lame quart d'onde est placée entre raoalyseur et l'oculaire.
Oa se rappelle d'ailleurs que les deux sections du mica quart d'onde doivent être à 45"^ des vibrations des niçois ; la ligne des pôles du mica est déterminée, et l'introduction de la lame fuit nailre deux taches qui sont situées sur cette ligne des pôles (faisant avec cette ligne le signe — ) lorsque le cristal est négatif; et qui sont situées sur une perpendiculaire à la ligne des pôles (faisanl avec cette ligne le signe +) lorsque le cristal est positif.
S'il s'agit d'un cristal biaxe, on met en usage ce principe que lorsqu'on diminue le retard de tous les rayons issus de la lame, la courbe d'égal retard qui correspond à un retard d'un certain nombre entier k de longueurs d'onde s'éloigne de Taxe optique. Les anneaux se dilatent. Supposons par exemple que les courbes d'égal retard présentent l'apparence de la fig. 141, la courbe correspondant au retard 5 X étant une
436 DEUXIÈME PARTIE — GRISTÂLLOGRAPilIE PHYSIQUE.
Imniscate qui a son nœud au centre. Si Ton diminue ie retard du rayo' qui passe au centre, au lieu d'être égala 5 X»ce retard ne sera plus par exemple que de 4 >. ; c'est alors la courbe 4 qui. en se dilatant, vieat passer par le centre, la courbe 5 se recule et prend la place occopéf primitivement par la courbe 6.
Ppur bien jugerde celle dilatation des anneaux, il faut la rendre progressive en diminuant le retard de quantités graduellement croissantes On peut se servir à cet effet d'une lame prismatique de quarz, taillée parallèlement à Taxe, et dont les diverses tranches produisent des re tards graduellement croissants avec l'épaisseur.
Supposons que l'arête ab (fig. 142) soit perpendiculaire à Taie op-
-^ tique et corresponde ainsi à la vibra-
T / __// ^^^^ ^® vitesse a (le quarz étant positif
On place la ligne des pôles à 45" de> *^' * vibrations des niçois, et on enfonce,
quelque part entre les deux 'niçois, la lame de quarz de manière qae Tarête ab soit parallèle à la perpendiculaire yy' à la ligne des pôles de la lame cristalline. Si la bissectrice à laquelle la lame est perpendicolaire est positive c'est-à-dire si elle correspond à Taxe c, xx' correspond à l'axe a, yy' à Taxe b; la vitesse maxinia de la lame de quarz com'5pondant ainsi à la vitesse minima de la lame cristalline, les deux lames ont des signes contraires et l'introduction de la lame de quarz di/a(e les anneaux.
Si la bissectrice était négative, le contraire aurait lieu, et il faudrait que l'arête ab fût parallèle à la ligne des pôles pour qu'on vit les anneaux se dilater de plus en plus à mesure qu'on enfonce la lame de quarz. On a donc ainsi un moyen simple de connaître le signe delà bissectrice.
Lorsqu'on se sert du microscope de M. Bertrand disposé pour la lumière convergente, on enfonce la lame de quarz dans la fente disposée au-dessus de l'objectif. Mais celle fente étant normale à la direction zéro et par conséquent à l'une des vibrations des niçois, on se sert d'uoe lame de quarz dont les sections principales sont à 45*» de l'arête du biseau ab (fig. 142). Dans ce cas, il n'est plus indifférent d'enfoncer la lame de quarz en tenant au-dessus ou au-dessous l'une ou Taulre de ces faces. 11 faut donc noter avec soin le haut et le bas de la lame. Ceci fait, pour plus de simplicité, on détermine, une fois pour toutes, en opérant avec une lame cristalline de signe connu , dans lequel des deux quadrants adjacents séparés par la ligne zéro il faut placer la ligne àc<
»ôles pour que les anneaux se dilatent, avec une lame positive par exemple, en enfonçant le quarz de droite à gauche.
Lorsqu'on se sert du microscope ordinaire à lumière convergente, il vaut mieux substituer au prisme de quai^ une lame de quarz taillée perpendiculairement à Taxe. On la place, en la tenant entre deux doigts, dans l'espace libre laissé à dessein entre le polariseur et Tocu- \a\re, et on fait tourner la lame autour d'un axe horizontal passant par les deux doigts. Le faisceau lumineux traversant obliquement la lame de quarz Ta Tune de ses vibrations, qui est Tordinaire et par conséquent la plus rapide, dirigée suivant Thorizontale passant par les deux doigts. Le retard engendré parla lame de quarz va d'ailleurs en croissant avec son obliquité.
On s*arrange pour que Tliorizontale passant par les deux doigts soit
parallèle à la ligne yi/ (flg. 141] et on fait tourner de plus en plus la
lame de quarz autour de Thorizon-
lalc de manière qu*elle se trouve,
par rapport à la lame L, dans In
position que représente la figure \ 45. ^^.^
Si la bissectrice de la lame cristal- ^^^^^^^^'^^^
V\ne est positive, yy* est la vibration ^
la moins rapide, et comme elle cor- ^ \ 1 ^'
respond à la vibration la plus rapide de la lame de quarz, les deux Fi^r. 143. lames sont croisées, Tintroductioa
iie la lame de quarz diminue le retard, et Ton voit les anneaux se dilater de plus en plus à mesure que la lame de quarz fait un angle de plus en plus grand avec Thorizontale. Si au contraire le cristal était négatif,* ce serait parallèlement à la ligne des pôles xx' qu'il faudrait placer Vaxe de rotation de la lame de quarz pour dilater les anneaux.
De là celle règle mnémonique très simple ; Si Taxe de rotation autour Auquel il faut faire tourner la lame de quarz pour obtenir la dilatation des anneaux est perpendiculaire à la ligne des pôles (ou fait avec cette Vigne le signe -f-), la bissectrice est positive: si le môme axe de rotation est parallèle à la ligne des pôles (ou fait avec celle ligne le signe — ), la bisseciriceest négative.
Le signe de la bissectrice est celui du cristal, lorsque celle-ci est \q bissecirice aiguë.
Emploi des eoarbes Isoehromatlques poar déterminer les dlffférenées des indices prineipanx. — On peut Utiliser, pour déter-
miner les différences des indiceâ principaux, les figures d^interfèron jqueFon aperçoit, en lumière convergente, avec une lame perpendinilaire à l'une des bissectrices.
Appelons en effet U Tangle forme avec la bissectrice par le faîscen. contenu dans le plan des axes, et pour lequel le retard des deuxvibn lions est égal à kX, k étant un nombre entier. Ce faisccaa émergedaosW milieu ambiant d'indice n, suivant une direction qui fait un angle 1 ait^r la bissectrice, et Ton a sensiblement
siiil=— smR.
Nous avons d'ailleurs montré (page 185) que Ton peut admettre, pour des cristaux qui De sont pas d'une énergie biréfringente exceptionnellf,
o — e = n= ii^£lI^)sin(V--R)sin(V-f R).
cosR ^ / \ /
On peut mesurer I par Tune des méthodes qui servent] à mesure V, soit avec le goniomètre du microscope à lumière convergente, soit ârec le micromètre adapté au microscope de M. Bertrand, et l'on en ik duit n^ — n^ si Ton a déjà mesuré n^.n^ E et Y. Quant au nombre an
lier k,il est connu parle numéro d'ordre de l'anneau à partir de l'axe optique.
La formule suffit dans la plupart des cas ; elle n'est cependant pas rigoureuse, et il est bon de savoir quel degré d'approximation elle donne et comment on peut suppléer, le cas échéant, à son insuffisance.
La f(H*mule rigoureuse est donnée page 180 et 181. On a
/cosR' cosR"\ '"'^^[iP —)
sinR'=ii'sinI, sinR"=tt^sinL
R', R" étant les angles que fait avec la bissectrice chacun des rajorn polarisés à angle droit qui émergent suivant la même direction; v-^l tt" étant les vitesses de propagation correspondantes.
Nous supposons que la bissectrice considérée est négative, c est-^dire cojncide avec l'axe a.
L'une des vitesses u\ u" est égale à b, posons u''=b. et par conséquent sin R''=fr sin I, nous aurons
u^=a* 5În«R' + c« cos«R' = <^ H- («» — ^) sni«R%
GHAP. XIL — PROCÉDÉS D'OBSERVATIONS. 459
ît par conséquent
d'où Ton lire
Sin*R'=- rn rr-rrr, OU COS*R'=:
1 (a« — c«) sin^'I ' — 1 ^ (a« — c«) sin«I ,
L'équation exacte est donc
o-e=k\ = ei^- V ^ y
En multipliant et divisant par
on transforme cette expression en cette autre
i V'I— a«sin«1 4- j \/l — fr'sin'I
On a d'ailleurs sin 1= — ^ — ou — ^ — en supprimant le double accent. Le numérateur devient ainsi
et comm e-; ; = sin* V, le numérateur prend la forme
2!^8in(V + R)sin(V~R)=(»,-».);sia(V + R)sin(V-R){i±^
Quant au dénominateur, nous pouvons remarquer que
- v/i — a»sin«I = - ylx — ^*sin*I — (a» — &«) sia*l,
tteeiiiroe(a' — 6')sinl est une petite quantité, on peut extraire le ndical par approximation, en négligeant les quantités du second ordre ou en (a — fr)% ce qui donne
4i0 DEUXIÈME PARTIE. — CRISTALLOGRAPHIE PHYSIQUE.
On a donc
*X (^^— >Os'"(^ + R)sin(Y — R) fl(fl-f.r) / a«~i>» '
7""" cosR 'b(b+c)\ '^ 'ibib'j-c] ^'\
ou encore, en continuant à négliger les termes du S** degré en a-4fH
^ ** e sin(Y4-R)sin(V-R)L ^ :ib y 5 '^ /J
Le second terme de la parenthèse représente Terreur relative commise sur n« — Ua par l'emploi de la formule approximative donnée au
début. Cette erreur est de Tordre de ,. , — - • II serait aisé de calculer ,n« — n. par approximations successives.
