CHAPITRE lU. — SYMÉTRIE DES POLYÈDRES ET DES RÉSEAUX

Re la symétrie ipropre aux réseaav. — Les théorèmes que nous avons démontrés, dans le paragraphe précèdent, s'appliquent à tous les polyèdres quels qu'ils soient. Nous allons maintenant en faire connaître quelques autres qui ne s^appliquent qu*aux systèmes réticulaires.

11 est clair que, par la manière même dont est formé un semblable système supposé indéfini, tous les nœuds sont des centres de symétrie, c'est-à-dire que si Ton joint un nœud N, à un autre N, en prolongeant NNi de l'autre côté de N d'une quantité égale à elle-même, on trouve un autre nœud N,.

Une droite sera un axe de symétrie d'ordre q du réseau, lorsque par

une rotation de — autour de cette droite, tous les nœuds du réseau

sont restitues. Tous les nœuds d'un même réseau étant identiques, Texistence d'un axe de symétrie d'ordre q passant par un nœud, entraîne celle d'un système d'axes du môme ordre passant par chacun des autres nœuds.

Tous les axes de symétrie d'un réseau ne passent pas nécessairement par un nœud, mais si nous menons par un nœud une parallèle à un axe de symétrie^ cette parallèle est aussi un axe de symétrie de même ardre. Soit en effet 0 (fig. 20) la trace de l'axe de symétrie d'ordre q sur le plan de la figure supposée perpendiculaire à cet axe, et N un nœud situé dans ce plan. Faisons tour- *^'

ner le réseau de — autour de l'axe ; N vient, dans

le plan de la figure, en N'. Donnons ensuite au réseau ^^- ;2it ' ' ^^ une translation égale et contraire à NN'; les nœuds \'' / de la rangée NN', ainsi que ceux de toutes les ran- ^^ '

gées parallèles, c'est-à-dire tous ceux du réseau se- n-

ront restitués. Or on sait, par un théorème bien Fi<r. 20.

connu de la cinématique, que la combinaison de cette translation et de cette rotation équivaut à une rotation de même amplitude autour d'un axe parallèle au premier et passant par N, qui est ains un axe de symétrie d'ordre q,

H suffit donc, pour trouver tous les axes de symétrie d'un réseau, de chercher ceux qui passent par les nœuds.

Tout axe de symétrie passant par un nœud est une rangée.

En effet, il est aisé de voir que si l'on prend deux rangées issues d'un môme nœud pour les directions de forces composantes, dont les candeurs seront les paramètres des rangées, la direction de la résul-

tante sera celle d'une rangée dont le paramètre sera la grandeur de la

résultante ou l'un de ses sous-multiples. L-es rangées se composent donc

entre elles comme des forces.

Or si nous appelons N (fig. 21) le nœud situé sur Taxe de syméti'ie

L d'ordre </, et si nous imaginons une rangée dont NNj est le paramètre, cette rangée en nécessite q autres ayant môme paramètre, issues de N, et disposées symétriquement autour de l'axe L. La résultante de toutes ces rangées sera dirigée suivant l'axe qui est par conséquent une

rangée.

Fig. îl.

Lorsqu'un réseau possède un axe de symétrie^ tout plan mené' par un nœud perpendiculairement à cet axe eut un plan réticulaire.

Ce théorème est évident lorsque l'axe de symétrie a un indice supérieur au second, car alors la présence d'un nœud dont le plan est normal à l'axe, entraine celle de deux autres nœuds au moins.

Quant aux axes binaires, la démonstration est aisée. Kn elTet, tout nœud ayant son symétrique par rapport à l'axe, il y a tout un système de rangées normales à cet axe ; et si par un nœud quelconque, on mène des parallèles à toutes ces rangées, on détermine un plan réticulaire normal.

Dans un réseau à axe de symétrie binaire^ si l'on considère les deux plans réticvlaires limitrophes d'un plan réticulaire normal à Vaxe^ le réseau de Vun de ces plans cdincide avec la projection orthogonale du réseau de Vautre. Le théorème est évident, puisque, en vertu d'un des théorèmes précédents, le plan compris entre les deux limitrophes est un plan de symétrie du système réticulaire. Quant au réseau de ce plan intermédiaire^ si ses nœuds ne coïncident

pas avec les projections orthogonales de ceux des deux autres^ ils coïncident avec la projection des centres^ ou celle des milieux des côtés des parallélogrammes gé^ nérateurs.

En effet représentons une coupe du système réticulaire faite par un plan passant par un nœud n (fig. 22) du plan intermédiaire p, par l'axe binaire LL passant en n, et par un nœud N d'un desplans limitrophes P. Soient N^ le

Fig. n.