CHAPITRE m. — SYMÉTRIE DES POLYÈDRES ET DES RÉSEAUX
Toui polyèdre 'qui possède q axes binaires dans un même plan possède un axe de symétrie d*ordte q perpendiculaire à ce plan. Soient, en efTet, deux axes binaires OL^ et OL, (fig. 18), faisant entre
TT
eux un angle égal â -; S un sommet quel"
conque du polyèdre, qui par la rotation de 180<> autour de L^, vient coïncider avec le sommet S^, lequel, à son tour, après la rotation de iSO** autour de L„ vient coïncider avec S,. Projetons sur le plan L^ L, les trois sommets S, S^ S, en «, ^^ ;,. On a
sOL,=<|0L,, s,0L,=<20L,.
et par conséquent
2ir
Si Ton mène par 0 une perpendiculaire Oa au plan L| L^, si Ton prend 00' = & = S^Sj, O'S est parallèle à Os, O'S, est parallèle à 0»„
et
SO'Ss = «0«j=— •
Donc, par une rotation de — autour de Oa, on obtient le même ré-
sultat que par deux rotations successives de \ 80'' autour de OL^ et OL, ; Oa est donc un axe de symétrie d'ordre q.
Remarquons que les angles mutuels des axes binaires étant égaux à -^^
une rotation de — autour de A n'amène en coïncidence les axes binaires
4ue de deux en deux. Si q est impair, après q rotations successives ou un tour complet de la circonférence, Taxe binaire L^ ne viendra en coïncidence qu'avec une des deux directions que chacun des autj*es axes binaires forme à partir du centre; et comme OL^ vient en coïncidence 9 fois avec un axe binaire, il vient successivement en coïncidence avec les q axes binaires. Ces axes ne peuvent donc être distingués les uns des autres que par la position accidentelle que Ton a donnée au polyèdre dans l'espace; nous disons qu'ils sont de même espèce.
Si, au contraire, q est pair, Taxe OL^ vient en coïncidence, pendant un tour complet autour de 0\, avec chacune des deux directions cl*un même axe binaire; et comme il ne vient que q fois en coïncidence? avec un axe binaire> il y a la moitié des axes binaires avec lesquels il ne peut coïncider. On peut donc distinguer des axes binaires de deux espèces; nous distinguerons les uns par le symbole L', les autres par le symbole L'*. Les axes binaires d'une espèce bissèquent les ang-Ies formés par les axes binaires de l'autre espèce.
Lorsqu'il y a un nombre total q de plans de symétrie se coupant suivnnt une même droite, cette droite est un axe de symétrie dont le numefro d* ordre est q ou un de ses multiples.
En effet les angles dièdres de ces plans sont nécessairement égaux entre eux, sans cela ils se reproduiraient symétriquement Tun par * rapport à Tantre, et leur nombre total serait supérieur à q.
Par un point quelconque S du polyèdre (fig. 19), nous menons un
^ plan, pris pour plan de la figure, perpendi-
culaire à l'intersection commune des plans de symétrie. Ceux-ci viennent le couper
- -'1 suivant des droites également inclinées les
/^ \ ^*^ unes sur les autres, L'angle que fonnent
If
\ ces droites entre elles est égal à -. Le point /.- \ q
. ^ ^j^ aura, par rapport à l'une des droites voisines.
son homologue en S' et, par rapport à la suivante, son homologue en S". L'angle S'^OS est évidemment égal à — .
La ligne passant en 0 et perpendiculaire au plan de la figure est donc un axe de symétrie dont la caractéristique est au moins égale à q.
Tout polyèdre qui possède un axe d^ ordre q et un axe binaire perpendiculaire possède q axes binaires.
En effet A (fig. 18) étant un axé d'ordre ç, et Lj un axe binaire, si S, est un point du polyèdre, S en est un autre, et S| un troisième; mais S. et S, viennent en coïncidence par une rotation de i80<^ autour de la
droite L. qui fait avec L. un angle égal à -, donc, etc.
On démontrerait d'une manière analogue que tout polyèdre qui possède
un axe d^ ordre q et un plan de symétrie passant par cet axe possède q plans
de symétrie.
