CHAPITRE I?. - CLASSIFICATION DES ÉDIFICES MOLÉCULAIRES

rapproché de P^ que ne Test P„ ce qui est contraire à notre hypothèse.

Le problème est donc ramené à chercher quels sont, parmi les polygones réguliers sphériques, ceux qui, juxtaposés, peuvent recouvrir complètement la surface de la sphère.

On connaît la solution du problème analogue pour le plan, et on sait que les seuls polygones réguliers plans qui peuvent couvrir une surface plane sont le triangle équilatéral, le carré et Thexagone.

La surface de notre polygone régulier sphérique est

Le nombre n des polygones qui recouvriront la sphère sera donné par la relation

On doit avoir évidemment

Le minimum de t> est 3 ; le maximum de - est donc ^, et il résulte

par conséquent de Tinégalité précédente que le minimum de - est

P > ou que le maximum de q est égal à 5. Les seules valeurs possibles de q sont donc

ç = 3, g = 4, qz=h.

Le maximum de q étant 3, et l'inégalité étant symétrique en p et q, on verrait de même que les seules valeurs admissibles de p sont

jp=5, p=iy p=b.

On voit d'ailleurs aisément que les combinaisons

[p = b, q = b);{p=zb, <y = .l);(/>= i, q=:h);(p=zï, q=i)\

ne satisfont pas à Tinégalité» et il ne reste plus à examiner que les 5 com'

52 PREMIÈRE PARTIE. — CRISTÂLLOGRÀPUiE GÉOMÉTRIQUE,

binaisons :

!<> p =: 5, 9 = 3. Cette combinaison couvre la surface de la sphère de 20 triangles équilatéraux dont les sommets sont des axes quinaires, dont les pôles sont des axes ternaires, et dont les milieux des côtés sont des axes binaires.

2® p =: 3, 9 =: 5. Cette combinaison qui rentre évidemment dans la première, s*obtiendrait en joignant, par des arcs de grands cercles, les pôles des triangles précédents. On obtient ainsi 12 pentagones dont les sommets sont des axes ternaires, dont les pôles sont des axes quinaires, et dont les milieux des côtés sont des axes binaires.

Ces combinaisons ont servi de point de départ à M. Élie de Beaumont pour sa théorie célèbre du réseau pentagonal.

3° 'p = 4, 9 =: 3. — Cette combinaison donne 8 triangles équilatéraux, trirectangles et trirectilatères. Les sommets, qui sont ceux de Toctaèdre régulier inscrit, sont des axes quaternaires ; les pôles, qui sont les sommets du cube inscrit, sont des axes ternaires; les milieux des côtés, qui sont les points où les lignes qui joignent les milieux des côtés opposés du cube inscrit viennent couper la sphère, sont des axes binaires. Le symbole de la symétrie est

4*p=3, 9=4. — Cette combinaison peut rentrer dans la précédente, et s'obtiendra alors en joignant les pôles des triangles précédents. On couvre ainsi la sphère de 6 carrés sphériques, dont les sonmiets sont des axes ternaires, et les pôles des axes quaternaires.

Mais le nombre des côtés du polygone étant pair, il peut se faire aussi que les sommets restant des axes ternaires, les pôles ne soient que binaires, et le symbole de la symétrie est alors

5® p = 3 9 =: 3. — Avec cette combinaison, on obtient 4 triangles équilatéraux dont les sommets, qui sont ceux du téti*aèdre régulier inscrit, sont des axes ternaires ; les pôles sont aussi des axes ternaires,