LS L'«, V*, G, P, F, P

S'il existe des axes de symétrie d'un ordre supérieur à 2, nous distinguerons encore deux cas, suivant qu'il y a seulement un de ces axes ou qu'il y en a plusieurs. Supposons qu'il n'y ait qu'un axe d'un ordre supérieur à 2.

L'ordre de l'axe peut être égal à 5, et il y a alors trois axes binaires perpendiculaires, de même espèce, et faisant entre eux des angles de 60* ou de 120**. Le symbole est :

L'ordre de l'axe peut être égal à 6, et il y a aloi*s 6 axes binaires, de deux espèces différentes ; les axes binaires d'une espèce faisant des angles de 30^ avec les axes binaires de la seconde. Le symbole est :

Ac, 3LS 5I/«, G, n, 3P, 3^.

L'ordre de l'axe peut être égal à 4, et il y a alors 4 axes binaires, de deux espèces différentes ; les axes d'une espèce faisant des angles de 45® avec ceux d'une autre. Le symbole est :

Nous n'avons donc plus à examiner que le cas où il y a plusieurs axes de symétrie d'un ordre supérieur à 2.

Nous prendrons la question à un point de vue plus général, et nous chercherons tous les modes de symétrie que peut posséder, non plus un réseau, mais un polyèdre quelconque, dans lequel on suppose la présence dé plus d'un axe de symétrie d'un ordre supérieur à 2.

Imaginons une sphère décrite du point de concours commun des axes de symétrie comme centre; ceux-ci seront caractérisés par leurs

CUâPITRE IV. — CLASSIFICATION DES ÉDIFICES MOLÉCULAIKES. 49

points dintersection avec cette sphère, que nous appellerons les pôles des axes.

Parmi les axes d*ordre supérieur au second, il y en a toujours plusieurs de même ordre : car supposons qu'il y en ait deux d'ordre différent, l'un

d'ordre p, l'autre d'ordre o, la rotation de — autour du second ramè-

liera le polyèdre en coïncidence avec sa première position ; Taxe d'ordre p aura pris une direction qui ne coïncide pas avec la première, puisque q est plus grand que 2, et qui doit être celle d'un second axe d'ordre p.

Parmi tous les axes d*ordrc égal à p, nous en choisissons deux, dont les pôles Pj et P, (fig. 25) font enti'e eux le plus petit angle possible.

2îr

Nous faisons tourner le polyèdre de — autour de P,; Pj vient en P,, et

P3 est le pôle d'un axe d'ordre p. Nous faisons tourner de — autour de

Ps ; Pj vient en P^ qui est encore le pôle d'un axe d'ordre p, et ainsi de suite. Les pôles P^ Pj, P3... son* tous sur un petit cercle dont je désigne le pôle par la lettre Q.

Après p rotations successives autour de chacun des sommets P„ Pjjetc, nous reviendrons au point de départ P|, car autrement, la dernière rotation amèn'^rait un pôle d'axe d'ordre p, à une distance angulaire de P^ moindre que celle qui sépare P, et Pj, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Les pôles d'axes d'ordre p ainsi obtenus formeront donc les sommets d'un polygone régulier sphérique

ayantQpour pôle, et — pour angle au centre, q étant le nombre des sommets.

Si ç est pair, le pôle Q est celui d'un axe de symétrie d'ordre ^^. En effet, en

faisant tourner le polyèdre dans le sens rétrograde, de ~ autour de P,, Pj

vient en P,, et un point quelconque du polyèdre, aj, que nous pouvons custàllographie. 4

Fig. «5.

toujours supposer sur la sphère dont le rayon est arbitraire, viendi'a en a,.

Une nouvelle rotation de — autour de P,, amène?, en P4, de sorte

que, après ces deux rotations, PiPjestvenu coïncider avec P3P4 ; le point a^ se trouve en a^, placé, par rapport à P3P4, comme «j l'est par rappoi't

à PiP,. Les deux rotations successives de — autour de P, et de P5 èqui^ valent donc à une rotation dp — autour de Q, qui est ainsi le pôle d'un

axe d'ordre |.

Si q est impair, p restant supérieur à 2, nous pouvons répéter le même raisonnement ; mais après q rotations successives autour des sommets du polygone sphérique régulier, Pj, P„ P,,.. P^, le côté P^P, est venu en coïncidence avec P^P^, le point a, étant par rapport à P^P^ dans la même position que «^ par rapport à P^P,. Après q rotations successives, lorsque q est impair, on arrive donc au même résultat que par une

rotation de — autour de Q qui est ainsi le pôle d'un axe d'ordre q.

Lorsque q est impair, si l'on fait tourner le polyèdre de — autour de

Q, PiP, vient en PjP,, mais on peut obtenir le même résultat en faisant

tourner le polyèdre de — autour de P„ ce qui amène P^ en P3, puis en

faisant tourner de 180** autour du milieu r du côté PjP^. Le point r est donc le pôle d'un axe binaire. Lorsque q est impair^ les bissectrices des angles formés par deux axes contigus d'ordre p sont donc des axes binaireSf

En faisant tourner le polygone régulier sphérique autour de ses sommets P^, lorsque P^Pj coïncide avecP^P,, le polygone régulier vient prendre une nouvelle position PjPjP^P'jF, et chacun des sommets est encore le pôle d*un axe d'ordre p: En faisant tourner le nouveau polygone autour d'un de ses sommets, il viendra former un nouveau po lygone égal au premier et ayant avec lui un côté commun, et ainsi de suite. Or en effectuant ainsi toutes les rotations possibles autour des sommets des polygones successivement formés, on doit nécessairement arriver à couvrir la surface de la sphère de polygones réguliers, égaux et contigus. Autrement, en effet, en continuant les rotations successives, on arriverait à trouver le pôle d'un axe d'ordre p, qui serait plus