CHAPITRE Vf. — SYSTÈME CUBIQUE OD TERQUATERNAIRE
el, pour les fonner, il suffit d'écrire les caractéristiques à la suite les Lini's des autres el toujours dans le même ordre pqrpq, . . .,
de prendre d'abord les 3 premières lettres, puis les 3 lettres qui devien- Denl les premières après avoir supprimé p, etc.; c'est ce qu'on appelle Us permutations tournantes des trois letlres p^r.
Le triangle gauche qui contient (pgr) est séparé, par un plan de simélrie, du triangle droit que l'on rencontre en tournant toujours dans le mime sens autour du pôle ternaire. L'existence d'un p6le dans le triangle gauche entraine donc celle d'un pAle symétrique dans te triangle droit. Si le plan de symétrie considère passe par \, les deux pAles auroDt le même X, et leurs ¥ et Z seront inversés. Les caractéristiques du pdie symétrique seront donc iprtfj, et les symboles des pAles situés dans les trois triangles droits du quadrant XY s'obtiendront en formant \h permutations tournantes des trois lettres prq.
Od a ainsi, dans un des quadrants, 6 pèles; et, comme tous les quadrants sont identiques, on en aura 6 dans chacun des 8 quadrants, ce qui fera bien 48 pâles. Il ne peut pas y en avoir d'autres, car il est aisé de voir que nous avons utilisé, pour les obtenir, tous les éléments de s;iinétrie du système.
Quant aux notations des piMes, elles sont identiques avec celles du quadrant des XYZ que noua avons considéré d'abord, sauf que, dans le quadrant des XYZ, il faudra affecter du signe — le paramètre correspondant à l'axe des X, et ainsi de suite pour les autres quadrants.
La forme holoédrique la plus générale du système terquatemaire est donc un polyèdre à 48 faces ; la posîlion des pôles sur la sphère nous montre d'ailleurs que ce polyèdre a 6 sommets à Haces sur les axesqualemaires, 8 sommets â 6 faces sur les axes ternaires, et enfin 13 sommets à 4 faces sur les axes binaires.
Ces données suffisent pour se faire une idée précise de la forme de ce polyèdre qui *st représenté dans la figure 34 et que l'on appelle hexoclaèdre.
T'aptxoèdre. — Trioctaèdre. — Il est tlair qne, lorsque le pile (pqr) se trouve sur l'un des plans de symé- We binaire, 2 pôles symétriques se confondent en un seul ; chaque
quadrant ne comprend pins que 5 pôles» et la forme simple ne possède plus que 24 faces.
il faut et il sufût, pour que ce cas se produise, que deux caractéristiques soient égales entre elles ; la notation de la forme sera donc
Il peut se présenter deux cas suivant que le pôle placé sur Tun des plans de symétrie binaire tombe dans la partie de la médiane du quadrant comprise entre le sommet et le centre du quadrant, ou dans la partie comprise entre le centre et le côté.
Dins le 1^' cas, les longueurs interceptées sur les deux axes placés symétriquement par rapport au plan de symétrie sont plus longues que la lon^eur interceptée sur le troisième, et on a p<^r.
Dans le second cas, Tinverse a lieu, et l'on a p>>r.
l^'oa* :/i<r. Traptzocdre. — La projection stéréographique des pôles est représentée figure 55. La forme simple a des sommets à 5 faces sur les axes ternaires, des sommets à 4 faces sur les axes quaternaires
e< des sommets également à 4 faces sur les axes binaires. On obtient un solide représenté, figure 36, que Ton appelle icositéiraèdre ou trapézoèdre. parce que les faces sont des quadrilatères.
2* cas : p^r, Trioctaedre. — La projection des pôles est représentée figure 37. La forme simple a des sommets à 5 faces sur les axes ternaires, des sommets à 8 faces sur les axes quaternaires; 2 faces viennent se rencontrer, suivant des dn^ites perpendiculaires
CHAPrrRE Tl. — SYSTÈME CUBIQUE OU TEROUATERNAIRE. 75
aux axes binaires sur lesquels il n'y a aucun Eommet. On obtient ainsi le solide, représenté figure 38, que l'on appelle trioclaédre pour rappe-
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1er que la forme générale est celle d'un octaèdre régulier dont I<>s faces sont remplacées par des pyramides surbaissées.
Octaèdre. — Lorsque le pôle tombe au centre même du triangle trirectangle, le solide se réduit à 8 faces perpendiculaires aux axes quaternaires; c'est l'oelaèdre régulier (fig. 39), dont lesymbole est
Hi
Cet octaèdre est la limite commune des trapézoédres et des trioc- Uïdres dont les 2 caractéristiques symétriques convergent vers la troisième.
Les arêtes de l'octaèdre sont perpendîcolaires en leurs milieux sur les axes binaires; les faces sont perpendiculaires en leurs centres sur les axes ternaires; les Mmoiels sont placés sur les axes quaternaires.
Deai faces adjacentes de l'octaèdre font entre elles un angle égal au supplément de p^^ ;g,
celui des diagonales du cube, c'est-à-dire i 180* — 70»31',7 = 109* 28',3, angle dont le cosinus est- Taces opposées font entre elles un angle égal i 70" SI',?.
BaaU'traèdre. — Il ne nous reste plus à examiner que les cas dans
{. Deux
lesquels les pôles sont placés dans les plans coordonnés, c'est-à-dire dans les plans de symétrie perpendiculaires aux axes quaternaires* La condition nécessaire et suffisante pour que ce cas se produise est que lune des caractéristiques soit nulle; la forme est alors notée :
11 y a sur chaque côté d*un des triangles trirectangles deux pôles placés symétriquement de part et d*autre du milieu de ce côté correspondant au pôle d*un axe binaire. La projection des pôles est donc ccl le qui est représentée figure 40.
La forme simple aura 24 faces dont chacune sera parallèle à un axe quaternaire. Il y aura un sommet à 4 faces sur les axes quaternaires.
Pig.Al.
des sommets à 6 faces sur les axes ternaires, et les faces se renconti*eront deux à deux suivant des arêtes perpendiculaires sur les axes binaires et parallèles à un axe quaternaire. Le solide, représenté figure 41, a la forme générale d*un cube dont les faces seraient, remplacées par des pyramides à 4 faces surbaissées. On l'appelle hexatétraèdre ou tétrabishexaèdre.
Dodécaèdre rhomboïdal. — Lorsque les pôles coïncident avec les milieux mômes des côtés du triangle trirectangle, c'est-à-dire avec les pôles des axes binaires, on a p =9, et la forme est notée
Elle est compos(>e de 12 faces perpendiculaires sur les axes binaires.
