CHAPITRE YIII. — SYSTÈME TERNAIRE OU RHOMBOÉDRIQUE

Quant aux paramètres des nouveaux axes, ils se tirent des formules rènérales. En appelant a le paramètre de Taxe binaire horizontal, h !elui de Taxe ternaire, et b celui des arêtes rhomboédriqucs, on obtient les expressions

h-=h\J% v^l + 2cosa-t/

3 a« i — CCS xy

2 S* 1 -h 2 CCS xy.

Entre 1* angle plan xy et Tangle dièdre du rhomboèdre, la trigonométrie sphériqiie donne la relation

cos Ç = — cos' Ç -h sin* Ç cos i^, ou encore

cosÇ

cos xy = 1 = .

* 4 — cos Ç

On peut donc écrire

5a«-i-~2cos^i''"2^^""^^, 2rf>"" l+cosÇ —2 . A, -'

d*où

cosÇ=

WTl'

Si Ton voulait, inversement, passer des axes x^, y^^ tt|, 2| aux axes ^» yt ^f on aurait les formules de transformation

Cttlc«l des aaifles des «réte» ci d«i teces. — Lorsque les arêtes du rhomboèdre sont les 3 axes coordonnés^ on tire des formules générales, pour l'expression de Fangle R H' de deux arêtes [g h k) et {g' h'k):

Uj^, gg' -h hh'-^ kk" + cos xy (gh' -h g'h + gk' -{-g^k-^- hk' + h'k)

l/|9*+** + A:«4-2cosa;î^(SfA4-^A + AAî)||^'H-A'« + Àj'»4-2cosxy(^'A' +

■vf

et en remarquant que

ghf + g h ^ etc. = (g 4- /» + k)(g' 4- V + k') - (gg^ + hh' -^kk') , on peut écrire symboliquwnent

V^(2gf«-|-2 cos xt/ 2j^/i) {2^« -4- 2 cosa:^2^7r)*

Quant à l'angle P F des deux normales aux deux plans (p 7 r) el (p'çV), on a :

coc PP :^ ^PP' " ^^^ ^ ^^^ ^ ^^' ~ ^^^^

\/2p« — 2 CCS ^ 2;?g)(2/}'« — 2 ces Ç Ip'q*)

tangPP=D sin i\/u*-tv'''\-w*-\-rcosl(uv'\-uw-h vw)

Ipp' — cos l (Ip X 2p' — 2;>p')

expression dans laquelle D, u, v, ic; ont la signification indiquée page 25.

Lorsque Vaxe ternaire et les trois axespinaires sont les axes coordonnés, on déduit des formules générales à 4 caractéristiques pour l'angle RR' de deux arêtes [ghkl\ et [^h'k'V] :

cosRR'=

il' + \%W +hh' ^kk')

\J\ ^+ \t (9* + ft' + **)l j '" + B?.<î^+''"-^*"^(

et pour Tangle PP' des noimales aux deux plans {pqrs) et {p'qr's*) :

cos PP' =

3 a* ^j^S9^-\-pp'-¥qq''\-rr'

\/ij,^s' + P« + 7» + r'}S|g.-^/>--^ç'' + r-

holoédriqncs. — Projetons le cristal gnomoniquemeiit sur le plan perpendiculaire à l'axe principal (fig. ii6 et i20). On aura dans ce plan trois axes binaires ox^y oy^y ou^ disposés comme les axes binaires de première espèce du système sônaire, puis trois droites ox, oy, oz disposées comme les axes binaires de deuxième espèce du système sénaire, mais qui seront ici les traces des trois

CEUPITRE VIII. — SïSTÈUE TEILNAIRE OU ItlIÛilBOÉDlUQUE. 119 plans de symétrie, et les projections des trois axes coordonnés de l'espace lorsque ces sxes coordonnés sont les arêtes du rhomboèdre primitir.

Hachons de deux en deux les secteurs de 60° compris entre un axe binaire positif et un axe binaire négatif; nous distinguerons ainsi trois secteurs non hachés et trois secteurs hachés. Trois secteurs de même teinte viennent mutuellement en coïncidence lorsqu'on fait tourner le cristal de 120° autour de l'axe ternaire; ils sont donc identiques ou de même espèce. Les secteurs hachés que l'on rencontre en partant d'un axe binaire positif et tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, seront appelés iecteun directs ; les trois autres seront les tecteun imenea.

Soit dans un des secteurs, que nous supposerons haché, pour fixer les idées, un p61e (gkk) ; il y en aura nécessairement deux autres avec

lesquels celui-ci viendra coincider par des rotations de -=-; on en

iibtiendra les symboles en effectuant les permutations tournantes

Le plan de symétrie qui divise en deux parties égales le secteur

direct oii se trouve (ghk), entraine, dans le même secteur, l'existence

d'un p61e, symétrique du premier et qui, ayant le même x, sera

noIé (gkh). Ce nouveau pitlesera nécessairement accompagné de deux

2n autres avec lesquels il peut coincider par des rotations de ■=■■ On a donc,

120 PIltlflÈRE PARTIS. — CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE,

m-dessus du plan médian, six pAles ayant respectivement pour sym loles

ghh

hkg kitg.

Les trois pAles de la même colonne verticale se superposent par de 'otations de 120'; les pôles situés en regard sont symétriques l'un d< 'autre par rapport à un plan de symétrie vertical. Les symboles de ce lix pôles sont les six permutations des lettres gkk.

Au-dessous du plan médian, on aurait six auti'es pôles symétriques de: lix premiers par rappoil au centre, et dont les symboles seraient le! )récédents changés de signe. Sur la figure 116 on a marqué, par de petite cercles, les projections des pdies inférieurs au plan médian, avec leurs lymboles. Dans cette figure, on a marqué d'un même signe tes pâles ]ui viennent en coïncidence mutuelle par des rotations de 120*.

Dans la discussion précédente, nous avons épuisé la symétrie du 'éseau, car nous avons fait successivement appel à l'eiistence de l'axe einaire, à celle des trois plans de symétrie, et à celle du centre. !,'existence des trois aies binaires est une conséquence nécessaire de :elle des éléments de symétrie précédents. La forme la plus générale lu système ternaire a donc 12 pôles et 12 seulement.

Nous conviendrons, pour Éviter toute confusion, de désigner une 'orme par le symbole de celui des 12 pôles qui est situé dans le secteur le 60' compris entre la trace du plan de symètiie sur laquelle se projette Ox, et celle du plan de symétrie sur laquelle se projette Oz. Avec cette convention, la forme étant représentée par le symbole (f Ail:|, dans lequel g,hetk sont des quantités algébriques, on a les inégalités algébriques

Dans cette forme simple, les six faces correspondant aux six pôles de rhémisphère supérieur, viennent concourir en un même point de l'aie ternaire; les six autres faces correspondant aux six pôles de l'hémisphère inférieur viennent concourir aussi en un même point de l'axe ternaire symétrique du promier par lapport au centre, et la forme simple la plus générale se trouve ainsi donnée par la réunion de deux pyramides hexagonales accolées. Hais comme le plan perpendiculaire h l'axe ternaire et passant par le centre n'est pas un plan de symétrie, ces deuxjpyramides ne se raccordent pas en général suivant un hexagon ,