SYSTÈME TERNAIRE OU RHOMBOÉDRIOUE
Syst. hexagonal avec hémiédrie rhomboédrique (Naumann, etc.] ; Dreigliedriges Syst. (Quenstedt) ; Sechsgliedriges Syst. (Weiss); Quatrième Système Grist. (Dufrénoy).
La symétrie du système est indiquée par le symbole
Dans mi plan réticulaire normal à Taxe ternaire, le réseau est figuré par des triangles équilatéraux juxtaposés dont les directions sont celles des axes binaires (fig. 114). La trace, sur ce plan, d'un axe ternaire, peut, dans ce système, coïncider avec un somùiet ou un centre de ces triangles. Soit 4 plans superposés, 0, 1, 2, 5 ; Aq étant un des nœuds du réseau 0, on considère Taxe ternaire passant en Aq. Les triangles du plan 1 ont les côtés dirigés comme ceux du plan 0, mais les nœuds ne peuvent venir se projeter sur ceux de ce plan, car alors Taxe sérail non plus ternaire, mais sénaire. Il faut donc que Aq coïncide avec la projection du centre d*un des triangles du plan 1, et ce triangle ne peut occuper que Tune des deux positions E^ E/ E^" ou E, E/ E,"; on supposera qu'il occupe la première. Les nœuds du plan 2 ne peuvent se projeter ni sur ceux du plan 1, ni sur ceux du plan 0, car dans Tune et l'autre hypothèse, l'axe serait sénaire ; les triangles du plan 2 viennent donc prendre l'orientation E, E,' E,". Quant au plan 3, .on voit aisément que les nœuds ne pouvant coïncider ni avec ceux du plan 2, ni avec ceux du plan 1, coïncident avec ceux du plan 0.
En joignant à Ao les trois nœuds E^, E/, E/'; à A, les trois nœuds E,, E,', E," et en traçant l'hexagone en zigzag E^E^'E/EjE/' E/, on
CRISTALLOGRAPHiB. 8
Ili l'RENlÈKE PARTIE. - CltlSTALLUGRAl'HlE CÉOHÉTRIQIE.
forme un parallélipipède dont toutes les arêtes, également inclinées su Taxe ternaire A, Aj, sont égales entre eiles ; toutes les faces sont ai rliombes égaux, sont également inclinées sur i'aïe-temaire, et former entre elles des angles égaux ou supplémentaires. Ce parallélipipède qui est la maille du système, puisque tous ses sommets sont de
fi(. m.
nœuds, et qu'il ne contient aucun nœud dans son intérieur, est ce qu'on appelle un rkomtioèdre.
La figure 113 montre les projections de ce rhomboèdre sur un plan perpendiculaire à l'axe ternaire et sur un plan passant par l'axe ternaire et par un des axes binaires. La Hgure 114 en est une perspective.
On peut distinguer dans un rhomboèdre : 1° trois arêtes culminantes supérieures aboutissant en Ag et dont les exti'émilés forment un triangle équilatéral situé dans un plan qui coupe normalement, au tiers de sa longueur à partir de A,, la ligne A, A, dont la longueur est le paramètre
CfLVPlTRE Vm. - SYSTEME TEfL\AIHE OU RHOMBOÉDRIQIIE. 115
ie Taxe ternaire; 2** trois arêtes culminantes inférieures aboutissant m Â. et dont les extrémités forment aussi un triangle équilatéral dans un plan qui coupe normalement, au tiers de sa longueur à partir de .4-, la longueur A^ A3; 3® enfin six arêtes latérales formant une sorte dhexagone en zigzag E^E,*...., dont la projection, sur un plan perpendiculaire à l'axe ternaire, est un hexagone régulier, normal aux axes binaires, et ayant pour rayons les projections des arêtes culminantes. Si Ton coupe le rhomboèdre par un plan médian passant par le centre
et normal à l'axe ternaire, Tintersection est un hexagone régulier
«1 a, (Ks , dont les rayons sont les axes binaires du réseau.
Le cube peut éti*e considéré comme un cas particulier du rhomboèdre dans lequel Tangle que forment les faces enti*e elles est égal à 90".
Syatéafte d'axes coordonoéii adopté. — On peut prendre, COmme
dans le système sénaire. Taxe principal ternaire comme axe des z, et les 5 axes binaires comme axes horizontaux. On aura une notation à 4 caractéristiques identique à celle qui a déjà été étudiée dans l'examen du système précédent.
On peut aussi prendre 5 axes coordonnés obliques également inclinés les uns sur les autres et qui sont les 3 arêtes du rhomboèdre formant le parallélipipède générateur du système réticulaire.
Les formules de transformation qui permettront de passer de l'un de ces systèmes d'axes à l'autre sont faciles à établir.
Projetons en effet sur sa base, que Ton placera dans le plan du tableau, l'hémisphère ayant pour axe l'axe ternaire. Soient x, y, 2, •Tig. 145) les points où 5 parallèles aux arêtes du rhomboèdre partant
du centre de la sphère viennent renconti*cr la sphère. Les plans verticaux dont les traces sur le plan de la figure sont z^ x^^ Z| y^ z^ u^, sont les ^plans de symétrie; les axes binaires x^, y^, u^ sont les bissectricts des angles foimés par les droites ZiX^Ziy^z^z, On suppose qu'en regardant en face la partie positive de Taxe des jr, on a à droite Taie positif des ar^.
Appelons g^ hj k les coordonnées numériques d'un point prises par
rapport aux 3 arêtes du rhomboèdre comme axes coordonnés, et p, qy r, 8 les coordonnées numériques du même point prises par rapport aul 4 axes des x^, des y^ des m^ et des z^. Ces derniers axes étant parallèles aux intersections des faces (iH), (il2), (21i), (121), les caractéristiques de
X| sont 110 y, - OlI
Ui
Les formules de transformation pour passer des x, y, z aux x^ y^ <^ sont donc
et, en vertu de la relation p -i- </ -t- r = 0,
