CHAPITRE Vm. — SYSTÈME TERNAIRE OU RHOMBOÉDRIQUE
a. Lorsque les pôles sont situés dans les plans de symétrie, la notation est (211), et les axes binaires passent par les sommets de la section di'oite ; c'est le prisme hexagonal de première espèce,
6. Lorsque les pôles sont situés dans les plans verticaux qui comprennent les axes binaires ; le symbole est (101), et les axes binaires sont les apothèmes de la section droite; c'est le prisme hexagonal de seconde espèce.
Telles sont toutes les formes simples que Ton peut rencontrer dans le système ternaire ou rhomboédrique.
Toute la discussion précédente aurait pu être faite, plus aisément peut-être, en se servant de la notation à 4 caractéristiques. Les symboles des pôles supérieurs de la forme la plus générale s'obtiendraient alors en prenant dans le tableau des pôles de la forme la plus générale du système sënaire, ceux de la première colonne verticale par exemple, c'est-à-dire ceux qui sont formés par les permutations tournantes de p 9 r , puis ceux de la troisième colonne, c'est-à-dire ceux qui sont formés par les permutations tournantes de p r g. Le tableau des pôles supérieurs de la forme ternaire est ainsi, en négligeant la caractéristique verticale s qui est la même pour tous :
pq7 pjrq
"rpq qfr^
qrp rqp.
Les pôles écrits sur la même colonne verticale viennent en coïnci-
dence mutuelle par des rotations de — ; les pôles placés en face l'un
de l'autre sont symétriques par rapport aux plans de symétrie verticaux.
On convient de désigner la forme par le symbole de celui de ses pôles pour lequel les deux premières caractéristiques sont positives, c'est-àdire de celui qui est situé dans Tangle X Y.
11 est aisé de voir que les isoscéloèdres ont pour symbole W2/?s| ; les
rhomboèdres, ÏOppsl ou bOpsjî les primes dodécagonaux, WrOJ; le prisme hexagonal de deuxième espèce est, comme dans le système sénaire, r.otê |1120| et celui de première espèce IlOTOJ.
124 PREMIÈRE PARflE. — CRISTALLOGRAPHIE GÉOMÉTRIQUE.
Formes directes et Inverses. — Forme» blrhomboédrlqnes.
Lorsque le pôle {ghk) d'une face supérieure d'une forme simple tombe dans un secteur direct, les 6 pôles des faces supérieures tombent tous dans des secteurs directs ; on dit alors que la forme est directe. Dans le cas contraire, la forme est inverse. Le secteur de 60^ compris entre deux plans de symétrie x ei z (fig. 110) et dans lequel est situé le pôle (ghk) dont les caractéristiques satisfont aux inégalités algébriques gf>^>>A:, est bisséqué par un axe binaire u^. Les pôles situés sur Wj appartiennent à des isoscéloédres, pour lesquels on a g-hk = '2h. Lorsqu'on passe d'iin point de cet axe Wj, au demi secteur direct adjacent, en suivant une parallèle à YY,^ reste le môme tandis que algébriquement k augmente et h diminue ; les caractéristiques de tous les pôles contenus dans le demi secteur direct, et qui appartiennent à des formes directes, satisfont donc à Tinégalilé algébrique g-hk'^^h. Les caractéristiques de tous les pôles contenus dans le demi secteur inverse adjacent à Uj, satisfont au contraire à l'inégalité algébrique g-\-k<^^h. Les faces des rhomboèdres directs sont inclinées dans le même sens que celles du rhomboèdre primitif; les faces des rhomboèdres inverses sont inclinées en sens inverse. On peut dire encore que les arêtes des rhomboèdres directs sont inclinées comme celles du primitif, et les arêtes des rhomboèdres inverses, comme les diagonales des faces du primitif. Dans les scalénoèdres directs, les arêtes les moins saillantes sont inclinées comme les arêtes du primitif; c'est le contraire pour les scalénoèdres inverses.
Si Ton donne au cristal, autour de l'axe ternaire, une rotation de -^, les pôles d'une forme directe \ghk\ viennent coïncider avec les
pôles d'une forme inverse W/i'^'|. Les deux formes ainsi obtenues,
qu'on appelle souvent formes birhomboédriquesy ne sont évidemment que les deux formes conjuguées hémiédriques d'un cristal à symétrie hexagonale, dont le cristal ternaire {(eut toujours, comme on sait, être considéré comme dérivé.
Lorsqu'on emploie la notation à A caractéristiques, il est clair que si les pôles supérieurs d'une forme ternaire sont ceux des 1"* et 5* colonnes du tableau des pôles de la forme sénaire, les pôles supérieurs de la forme birhomboédrique seront ceux des 2® et 4* colonnes. La forme directe a l'un de ses pôles situé dans l'angle \u; la forme inverse a l'un
CUAPITKE VlJl. - S\STÈME Tt-RNAlRli OU RUOMBOÉDRIQUE. i'ib de ses pôles situé dans l*angle \u. Si une forme directe a pour symbole Ipçr^l on a p >9; la forme birhomboédriquc ou inverse de celle-là
est notée '|qpr«|.
11 faut remarquer que, suivant no$ conventions, les deux premières caractéristiques du symbole d'une forme étant toujours positives, la première sera plus grande que la seconde pour les formes directes, et pltis petite pour les formes inverses.
Q est maintenant facile de chercher quel est, dans le système de notation à 3 caractéristiques, le symbole j^'/tTl de la forme birhomboëdrîque de la forme Ighkl. Si, en effet, cette dernière forme est
\pqri
q = li — k
nolèe \vQrsU on a:
Hais la forme |9'A'A:i est notée wpr«! ; on a donc :
8 = g'-^h'-\'k' = g-hh-\-k qz=g'^h'=h—''k p=ih' — k'=k — g ^rz=k''' g'=k-~g.
d*où Ton tire aisément, en multipliant /, h!, k\ par le facteur commun 5 ;
g'=:^(g + h)--k W = ^(g-\-k) -/* ik' = 2(A-f-&) — gf.
Comme application de ces formules, on peut voir que le rhomboèdre
primitif |lOO| a pour forme birhomboédrique |22T|. Ces deux formes
coexistent souvent, comme il arrive pour le quartz, et donnent alors au cristal une apparence hexagonale.
Frojeeliom snomoniqne des pôles. — Les figures 120 et 120^'" (pi. lll)
montrent la projection gnomonique des pôles d'un cristal appartenant au système rhombocdrique. Le plan de projection est perpendiculaire à l'axe ternaire. Pour dessiner celte projection, on commence par tracer un trian-
lïO PKESIIÈHE l'AIITIE. — CRISTALI^UIIAPIIIE GÉOMÊTRlUliE.
g\e équilatéral, dont les sommets représentent les projections des pôles du rhomboèdre primitif. Le réseau paratlélogrammique construit sur ces trois points donne tous les nœuds du réseau polaire qui se trouvent dans le plan de projection supposé contigu du noeud pris pour point du vue. Les distances respectives de chacun des nœuds aux trois câtés du triangle (001) (010) [100) ou XYZ représentent les projections des cooi^
données du nœud prises par rapport aux trois arêtes du rhomboèdre; ces trois directions faisant des angles égaux sur le plan de projection, le rapport des longueurs des projections est en elTet le même que celui des coordonnées de l'espace. Pour trouver les caractéristiques d'un pôle quelconque, dont la position est connue sur la projection gnomonique, il suffit donc de chercher les distances de ce pôle aux trois côtés du triangle; les rapports de ces distances sont les caractéristiques du pôle.
