DU PRISME HEXAÈDRE RÉGULIER

66. J'ai déjà parlé du prisme hexaèdre régulier considéré comme forme primitive, mais seulement sous le rapport de sa structwe, et j'ai prouvé qu'il se résolvait, à l'aide de la division mécanique, suivant des plans parallèles les uns à ses bases et les autres à ses faces latérales , en une multitude de petits prismes triangulaires équilatéraux, qui représentaient les molécules intégrantes. J'ai fait voir de plus que tel était l'assortiment de ces prismes , qu'étant pris deux à deux ils composaient des prismes rhomboïdaux semblables aux molécules soustractives. Je vais reprendre le même sujet, et lui donner tin développement assorti au but de cet article , qui est d'aj)pliquer la théorie des lois de la structure à la déterniination des formes secondaires qui ont pour type le prisme hexaèdre régulier.

Soit abdfgh (fig. 1 1 6) la base supérieure de ce prisme, tel qu'on le voit (fig. 117), sdus-divisce eu une mul-

DE CRISTALLOGRAPHIE. iG5

tilude de triangles écpiilatéraux , qui représentent les bases correspondantes d'autant de molécules intégrantes dn (Agi 1 1 8). Il y a deux manières de partager ce prisme en trois prismes rhomboïdaux de 1 20^* et 60^; l*une donnera ceux dont les bases sont les rhombes chgf, cfdby chah y et l'autre ceux qui ont pour bases les rhombes cgIhOy cabcl\ cdfg. 11 est évident que chacun de ces prismes sera un assemblage de petits prismes rhomboïdaux semblables à loi-même, et composés chacun de deux molécules intégranties , en sorte qu'ils représenteront les molécoles soustractives.

11 suit de là que les décroisscmens qui naissent soit sur les bords B (fîg. 117), soit sur les angles A du prisme hexaèdre régulier, ont la même mesure que dans l'hypothèse où la forme primitive à lacjuellc appartiendraient ces bords et ces angles serait lin des prismes rhomboïdaux donnés par la sous-division du prisme hexaèdre r<^ulier. Cette corrélation peut être assimilée à celle qui existe entre le dodécaèdre rliomboïdal du grenat et chacun des rhomboïdes (|ue l'of i en retire à l'aide de la division mécanique , ainsi que je l'ai exposé plus haut (t. 1, p. 47)-

Je vais maintenant donner des formules générales «applicables aux incidences des faces produites [)ar 'les lois de décroissement sur les difFércnlcs parties delà forme primitive. Supposons d'abord un décroissement sur tous les bords de celte forme. Soit /ui (lig. 1 19) une molécule soustraclivc, et A^ une perpeii-

^ mn

i66 / TRAITÉ

diculaire sur tx. DesigocHis le côté tx par r, la hau« tcur tu par gj et l'exposant du décroissement par it»

L'expression dé hz sera y "Tj .'^^ <^* lo triangle mensurateur m/zy^ (6g. 1 20) nous aurons

jrr -.1 \/^ '. h.

Soit ea (fig. 121) la forme primitive augmentée des deux pyramides données par le résultat complet du décroissement, et soient hsgy Isg (fig. 122), deux faces paraUèles àx,âp(fig. 121), limitées par le plan hori-*zontal kgl et par le plan vertical ksL Menons so perpendiculaire sur' lly puis ogy ensuite ot perpendiculaire sur glj ou perpendiculaire sur gSy et enfin lu^ L'angle sto pkis 90^ mesurera Fincidence de x sur M (fig. 121), et l^ngle 02// (fig. 122) sera égala la moitié de l'incidence de x sur x. Mous aurons d'abord

o^(fig. x22)ios :: m/z(fig. i2o^:ny:: y — ^: A,

d'où l'on déduit l'incidence de x sur M (fig. 12 1).

Soito/= 1/— 7-}donco*=A,ce:o*:: 2 : v3*

Donc

og:=s^n^i^^=snry olz=z2ot^=i^^nFPy

gs = \/cy"+0J^=Vn^r^H->^% €ut .os . / ii*r*fc*

ce qm donne l'incideoce de x sur x (Bg. 1 2 1). Je femi plus bas des applications de ces deux formules.

Supposons un autre dccroissement rpii agisse par une loi ordinairesur les angles (1, i, rf, etc. (lig. laS), de la base. Les bords qu'il fera naître sur les lames de superposition auront des directions kg^ Igy perpendiculaires aux rayons ;ni, mf. De plus, la diagonale A/(fig. 1 19) de la base de la molécule étant ^ale à pty son expression sera r, cl si nous désignons par n le nombre de diagonales soustraites, nous aurons,dans le tiiungle mensurateur >ê3" ( lîg. 124)) >e :«3- ;: nr : h.

Si le décroissement atteint sa limite, la surfuce du solide secondaire sera composée de six hexagones M , M(fig, ia5), et de douze trapézoïdes *, 5, disposés six. à six autour des sommets, et qui seront le résultat du décroissement. Pour déterminer l'incidence de s sur », servons-nous de la fig, 1 22 , dans laquelle les bords gk , gl , du plan horizontal , répondront à ceux qu'indiquent les nièoies lettres (fig. \ a3), et le triangle ots (fig.Uaa), sera semblable au triangle mensurateur e3j-(fig,ia4)i nous pouvons donc faire o/( fig. i2i)^=Jir

tBB TRAITÉ

ment sur les bords , on trouve

al : ou :: \/n*r'-\-3h* ihf

lequel rapport ne difi'ère de celui auquel nous sommes parvenus, à l'aide de la marcIie indiquée, qu'en c< que le Ihcteur de la quantité nV* est augmenté d'uM unité. ^1

A l'égard de la détermiiiatiou de l'iacidonce de 4 surM(Iig. 125), etdecellede* sur une face parallèlq ù la base , lorsque le décroisscment n'a |iaâ atteint ^ limite, je les déduirai ilo la formule relative au rÔi sullat qui va suivre. "

Concevons que le décroisscment devienne intermédiaire sur les mêmes angles. 11 fci-a naître à 1{ place de chacun de ces angles deux faces parallèles j des plans tels que nuh, tuv (fig. 126), et qui se réuniront sur une arête commune ou- Soit anuh (lig. 1 37)11 segment inlerceplé par le plan nuh (Gg. laG). Détept minons successivement les inclinaisons de la face qui répond à nuh sin les laces primitives M et P (lig, 1 26^ Celle de nuo sur vuo sera donnée plus bas par un) autre formule.

1°. Pour l'incidence de nuh sux M. Considérons It segment comme imc jiyi-aniide triangulaire qui aiu'ait son sommet en a , auquel cas la base sera le triangle nuh. Menons la liautcur ak de Irf pyramide, puis ko perpendiculaire sur ««, et joignons les points o, A, par la droite ok. L'angle aok dont ah est le sinus , ligne ao étant prise pour rayon , sera le supplémcata

de l'incidence proposée. Désignons ak par H , et la solidité de la pyramide par S. Si nous menons ur perpendiculaire sur nh , le produit ur X hn sera le double du triangle de la base, et nous aurons

6S = H • z/r X nh.

Supposons, d'une autre part, le sommet en u , auquel cas nah sera la base et au la hauteur. Ayant mené ar^ qui se trouvera perpendiculaire sur nh, nous aurons

6S:=iau'X arX nh-, donc

H. iirX nh=^au X^ar Xnhy et H X ur^ssau X ar.

Cherchons les expressions algébriques de au , ar et ur. Soit x l'arête r de molécule multipliée par le nombre de fois qu'elle est renfermée dans la ligne an , y la même arête prise autant de fois qu'elle est contenue dans la ligne a^ , et £ le produit de la hauteur h de molécule par le nombre de fois qu'elle est comprise dans la ligne au. Faisant a/z=ap, aA=j^, nous aurons a2i=z, ce qui donne la première des expressions proposées. Pour avoir celle de ar, prolongeons na et menons kl perpendiculaire sur le proloDgement. Nous aurons

arxnh:s:zhlx.an^ nh=;\/(niy -^{hlf^, ia^an^al=:x+\{ah)z=:x+l:=^^.

donc

donc

donc et

De pluSy

a2«=;? Zy

ur= v/a^+a«-=-= y/^^^Z+J,

d'où l'on conclut

Cherchons oo.

un

sy

2**. Pour Fincidence de nuh sur P. Comparant les expressions de ar et de II trouvées ci-dessus, noii^

€xr

• ^ •• V 2(5+î;+yî Vi

ft*

Reste à déterminer l'incidence de mio (fig. 1 26) sur vuo. Ayant mené ar par le point Oy puis hg perpen* diculaire sur nv^ supposons que les plans nuo et vuo se prolongent en dessus du triangle nov^ et soient ndo^ rdo (fig. 128) deux faces situées sur leurs prolongemens et limitées par le plan ndp perpendiculaire sur le triangle nov. Si nous menons rt perpendiculaire sur do j puis vt^ l'angle vtr sera la moitié de Finddence proposée. Cherchons successivement vr et tr.

I*. Pour vr.

av{fi%.io&)=iXjap : vrll v/4 • V3î donc

3*. Pour <r(fig. ia8).

=(*+^)Vf,

17a TRAITÉ

ng-.nrV. hg:or,(x+v)\/\:x\/i:v^ -.on

X X /x* — xy\

ar=-,ao = ar-or= i-(,Sïq:^;=

128) : dr,

ao : au= A ::

+jr ox + ay* \ ay y '

Maintenant , si dans les expressions de vr et

de tr nous supprimons le facteur commun \/4-, et

si nous multiplions par y/3 le dénominateur de la fraction ^aleà /r, nous aurons

ce qui est le rapport entre le cosinus et le sinus de la

moitié de l'incidence proposée.

Les formules rcliiti*t'N m\ dccroisseraent intcruic-diaitv, d'oii l'on dçduit l'incitbnpe ije nur (fig. 1 36) A transformées

en d'autres beaucoup plus simples, qui donne celle d'une Êice auh (iig. 1 29), produite par un décroisseinent ordinaire sur les mêmes &ces primitives. Pour passer d'une formule à l'autre , il suffît de faire x=x dans la première , ce qui donne d'une part , au lieu

de ao:H::\/3i>;M^+^

ao : H :: V«'+4«' : V«*+;5%

et d'une autre part , au lieu de

ar:H::\/a?*+4jz* : \//^z\

67. Je vais citer plusieurs modifications du prisme hejmèdre régulier, dont la détermination dépend des résultats précédons , et je les choisirai parmi les variétés de la chaux phosphatée et de l'émeraude.

Les deux par lesquelles je vais commencer exigeront des détails p^rticuUers relatifs à une propriété géométrique dont elles réalisent Texistence , et qui est générale pour tous Içs prismes hexaèdres réguliers. Elle consiste en ce que toutes les fois que deux décroissemens qui agissent, l'un sur les bords B (fig. 117), l'autre sur les angles A de la base d'un de ces prunes , ont le même exposant , les faces produites par l'un et l'autre s'entrecoupent de manière que celles qui résultent du décroissement sur A , VAtt que s y s (fig. i3o), sont des quadrilatères init leurs angles et leurs côtés égaux. Je sup-

pose ici Faspeet de k fixnne ramené à sa limite géométrique^ qui dépend de la ccmdiliaa qée les. Sgamk d» fiKxa soieni k» piw amples posâiMes. Il est &cile de démontrer la corrâatioa dost |e yàam de parler.

Supposons que le décroissement sur les bords ait atteint sa limite , auquel cas il produira une pyramide semblable à celle qui repose sur la base supérieure du prisme que représente la fig- iSi.Sinous faisons passer un plan sabc par les côtés extérieurs lis y csjde deux triangles adjacens asz , C8z\ ce plan sera un quadrilatère dont les cotés et les angler seront égaux , c'est-à*4ire qu'il ne pourra être qc^on rhombe ou un carré. Car si nous menons cxr et ac , les triangles send^lables osy^yôz j donneront

qy '^ysV.yzlyb.

Mais <y — jr»^ donc jr«=y6. D'ailleurs ay:=^cy^ d'où résulte Fégalité dont j'ai parlé.

Concevons maintenant un second décrcnssemeiit qui agisse sur l'angle axc^ et dont telle soitk mesure, que les cotés ^ , £x , de la facette gxtl qu^ prodnÎFa soient parallèles aux côtés as y csj du premier quadrilatère. 11 est évident qu'elle sera semblable à ce quadriktère. Soit r le côté az de la base du prisme , h la hauteur 112 , et n le nombre de rangées souslixiiles en vertu du décroissement sur les bords. Si du centre o de k base, nous menons on perpendiculaire sur az^ puis «n, le triangle ans pourra être c

mme mensiirateurj nous aurons donc

= y-T » eton : oa :. n y -T : fi.

, si nous rapportons l'effet du décroisse- 1 plan oszy Iç triangle mensaralcur sera ozs, î que la dimension hi (fig. 119) remplace la lidîcutaire Az, 02 (fig. i3i}seraàoi :: nr '. h. le autre part, te tv'magiegxt étant parallèle au e asc , il est aisé de concevoir que le triangle pimsurateur relatif à la facette gxtl sera semblable X triaugleyo* ; et parce que dans les décroissemens la distance entre une lame et l'autre, Bsens de la largeur, est égale à autant de deniiteles— (fig. II g) (ju'U y a de rangées soustraites,

i nous désignons par n' le nombre de ces rangées, i le cas présent, nous aurons qy : os'- ^n'r ; h. s nous avons eu os ' oa ''• nr '• h. Donc

nr '. -^nr "oxlf^'.l^li; donc n =n.

Avant d'aller plus loin, déterminons, à l'aide

Pune formidc générale, l'incidence des làceltes *, >t

i3o), sur les trapèzes adjacens x, x. Soit ascz

i^) la même construction que (fig. 1 3 1 ), pins zu

, iSa) perpendiculaires l'une sur a«, l'autre

lolongement de «y, et réunies entre elles par

|He lu. L'angle zul sera le supplément de l'inci-

ice proposée, et si l'on prend zu poiu- rayon.

lyS TRAITÉ

zl sera le sinus du même aogle. Cherchons successivement les expressions de ces deui lignes, i". Pour su. ISoua aurons

E«=n«. — , ns= V{aoy-i~{os)*=ylr'-i-—, donc

s". Pour zl. Nous aurons

Comparant les expressions de zu et z/ , nous trouverons

• I .. . /Sn'r' +'4}^ . ^ / Â^

^" • -^ " V 4À*+4'»v • V 4ÂM^v-

Venons maintenant aux deux variétés dans lesrjuelles j'ai annoncé l'existence de la propriété géométrique dont j'ai pailé. L'une, qui appartient à l'émci-aude 5 es't représentée figure i33, et a pour »ii'ne IMIIBA. Gierchtm&JblHtf^^^BK les demi-

tlui <lc ay ày« ( fig. 1 3 1 ). Or, ay-^ \J\r* , ■ '"

Js — \/{py)'-lr W = y/ir- + ^.

Dans la forme primitive de l'émeraudc ffig. i34) le côté B de la base est égal à la hauteur G. Donc r=h. De plus, dans la variété cjui nous occupe n=a. Substituant ces valeurs dans le rapport précédent, nous aurons ly '.ys II y^ * Va; c'est-à-dire qu'eu •rtu d'une tle ces analogies que j'appelle de renntre, les laces s, « (fig. i33 ), sont des rhombes iblables à celui du rhomboïde primitif de la chaux prboDatée. Je donne à la variété d'émeraude dont

s'agit ici le nom d'émeraud); rhombifère. , Si nous faisions n= 1 , nous aurions

oy

:ys :: V^ : ^5,

t-à-dire que les faces *, s, seraient des rhombes semblables à celui du rbomlioïde inverse de la mêaiu substance; mais ce cas ne s'est pas encore rencontré tbns la nature.

L'autre variété qui se rapporte à la chaux pbose est représentée ( tig. 1 3u } , et son signe est

MÀBP.

s pnsme qui offre la forme primitive de cette ie cùlé de la base est à la hauteur à l'unilc. Faisant donc r*=3,/i=i ,

et n= I , on trouve ay (fig, i3i)=j'Sj c'est-à-dire qiic les ([iiadrilatères «, s {(ig, i3o), sont des carres. De là le nom de chaitx phosphatée qitadratijère que j'ai donné à Ja vaiiélc dont il s'agit. Si l'on supposait r=2, on trouverait

rapport (\m est le même que celui de rah, d'où il suit que les faces s, s , seraient des rliombes sembla-c blés à ceux du dodécaèdre iliomboïdal.

Lorsque n = i , le rapport de ao : H (fig. 1 37 d'où dérive l'incidence des carrés*, s (fig. i3o)sur est aussi celui de y/i à i , et ainsi celte incidence esaclenient do i35'^.

Les lacettes qui réalisent l'existence de la proprii indiquée existent dans plusieurs autres variétés , oà elles se combinent avec d'autres facettes qui ebangent leur figure en celle d'un polygone plus ou moins composé, et altèrent les traits caractéristiques de la même propriété. Je citerai deux de ces dernièi variétés.

L'une, qui appartient à l'émeraude, et (pie nomme émeraiide- soustractive , est représenti {fig. i35), et a pour signe ÎMPBliA. Les facettes deviennent alors des liezagones symétriques

■ P sur «, iSS*". Cette valeur est aussi rigoureuse. De P surf, iSo^; de Psui- u, i3o^53'.

L'autre variété est la plus composée de celles que présente la chaux phosphatée. Sa forme est représentée (fig. i36); elle porte le nom de cfuiux pfios-

phaUe doublante, et a pour signe MIÎBBA'A'P. Les

laceltes «, 5, sont ici deS octogones irréguliers. Lea mesures des principaux angles sont les suivantes. Incidence de M sur r, 1 1 a** 1 2' ; de M sur s , exactement I SS"* ; de M sur 3:, 1 ag"" 1 3' ; de M sur «, 1 49'' 3' ; de M sur «, i48'^3i';deP3ur r, iS']^^']' ^àeV sur «,

ItaS^iS'; de Psur«, r4o''46'i de P sur r, laii^aS'; |ie«sur u, iQS^B-]', 1" On trouve la variété qui vient d'être décrite, en cristaux incolores et d'une belle transparence, au Saiot-Gotliard , sur un feld-spath granulaire, ou dans ^un mélange de feld-spalh,demica et de talcchlorile.

^^ft 68. Nous avons vu (t. 1, p. 47) <]uc le dodécaèdre

^^Rnomboîdal soumis à la division mécanique se résol-

1 ï*il d'abord eu quatre rhomboïdes, qui représentent

1*8 molécules aoustractives, et ultérieurement en

^-quatre tétraèdres, semblables aUx molécules

rantes. L'analogie entre la forme de ce dodé-

MK fit celle du rhomboïde donne naissance à une

té qui la distingue des autres formes avec

DU DODÉCAÈDRE nHOiHBOÏDAF,,

i8o TftAITÈ

Joscjiiclius clic parliige le caractère de liiniic. conaisle cii ce qu'elle est susceplible d'olTrir <.lei systèmes de cristallisation , dont l'un se rapporte aaa grenat, à la sodalite , etc. , et l'autre jusqu'ici appartient cxcluBivcment au zinc sulftiré. Pour concevoir le preiulei*, par lequel je commencerai l'expositiou de la llicorie, il est à remarquer que le dodécaèdre ayant huit ongles solides composés de trois angles plans, on peut clioisîr à volonté, parmi les premiers, ceux dont les sommets sont indiqués par les lettres o, jn, n,Jc(l1g. 137), ou ceux qui ont leurs sommets a points l, p, r, it, comme résultats immédiats de | division mécanique. La cristallisation agit confomifil ment à ce double niécauisme de structure, c'est-àdire que les décroisseniens qui ont lieu autour de chacun des hml angles solides Irièdres sont dans le même cas que si l'angle était le sommet d'un rliom boïde, ou, ce qui revient au même, comme si 1 iirètcs qui leur servent de lignes de départ étaient les bords supérieurs d'un rhomboïde; d'où il suit que tous les angles solides irièdres et tous les bords sont ideuliqucs. Nous verrons qu'il en est tout autrcmenJ du point de vue auquel se rapporte le second systèni Gg. Mais avant d'en venir aux applications de h théorie, j'ai à déterminer deux forniides dont ( sontim bientôt l'utilité, et que je généra li^errii , pni qu'elles s'étendent att¥.t^tBphoiflpS| «luu ti-csespèa

it-à-

• de isle

lomAH

DE CRISTALLOGRAPHIE. i8f

a la fois l'on sur les bords supérieurs B (fig. i3d) 9 Fautre sur les bords inférieurs D d'ua rhomboïde quelconque, de manière que les faces qui eu naîtront fiissent de part et d^autre des aiigles égaux avec les rhombes sur lesquels ils agissent. Soit vl l'exposant du premier et n celui du second ; l'une de ces quantités étimt donnée , on propose de trouver l'autre.- ' Soit a//ifr{fig. i38) la coupe transversale du rhomboïde, que nous supposerons d'abord être obtus , a étant le point par lequel passe le bord supérieur. Soient au^ lu y \gs directions des faces produites^ qui correspondent au rhombe dont al est la diagonale oblique,, auquel cas le triangle l(ia sera isocèle. Menons us perpendiculaire sur al y ensuite uz parallèle; a arj puis mf perpendiculaire «ur ml. Soient e' el^^. les demi-diagonales ol et ao. Le triangle usz étant semblable au triangle mtlj on aura (t. I, p. 28G)

uzisziiml: k::^ np* : g^'*— />'*.

Déplus,

az : uz :: n' : 15

doue, d'une part,

= -7T — ^ , et de 1 autre e/r = -7-; donc

y/y L r»l ^'r» 1 oiit'W^fe *jar -«— ■» i

enant uz étant une dimension en •luiuleur deux décroissemens , on a

Iz laz •• n *n\

Or,

(lonc

mais

donc

iz = fc + SX = as + 3(«i:} ; az'^naz '. az '.l n '. n j

aZ , SZ II 2p ' '. *= ; J

et

B n— p„ Si le rliomlioïdc était aigu , on aurait

Supposons que le rhomboïde soit ceiui de la chan carbonatée, et que l'exposant du décroissement sur Bj soit l'unité. On aura

Ce cas a é<é réalisé par la cristallisation datis ! variété didodécaèdre de chaux carbonatée que repréd

sente la figure 140, et dont le signe est éDB.

Concevons maintenant que les deux décroîssemens c^ombinés agissent l'an sur l'angle supérieur A, l'autre &\XT l'angle inférieur e d'un rliotnboïde, de manière tjTie les faces qui en résultent forment des an^es é^ux avec le rhorabe auquel ils se rapportent. Soit n' l'exposant du premier, n celui du second, ces deux «Tuantités désignant les nombres de rangées soustraites, Clierchons une formule à l'aide de laquelle l'une étant connue serve de donnée pour trouver l'autre.

Soit adcb (fig. i4i ) la coupe principale du rbom- Ijoïde, que nous supposons être obtus, et soient ^ et p' les demi-diagonales de cliaque rbombe. afet bf étant les directions des faces produites par les deux, «lécroissemens , menons fo et ak perpendiculaire? l'une sur ab , l'autre cd, puis// parallèle à ad. Le triangle afb sera isocèle, et les triangles ayf, byfy pourront représenter les triangles mensurateurs relatifs auît deux décroissemcns.

le triangle yùj' étant semblable au triangle akd, >ns letjuel ak est le sinus et dk \c cosinus du petit :3gle de la coupe principale, on aura (t. I,p, 28SJ.

So:oy\:ak ; dk::\/Sg"p" — g'* :s"—p'\

î84 TRAITÉ

D'une autre part

donc

et d'après la première proportion

yf^'^sj^l-^s

donc

Déplus,

à cause de la dimension j^ commune aux deux d croissemens \ ou

ou

et mettant à la place de qj^ et qj^ leurs valeurs^

p^rî + 2g ^ — 2/?'* : p*n : : rî : /z' ; donc

p'*ri*+ 2g^V — 2/V =p^nn'y et

p''n'+2g'^—2p'' =p''ni

d'où l'on tire

DE CRISTALLOGRAPHIE. i85

et

„' = „îSl=:3Pl\

^i le rhomboïde est aigu , on aura

/!=/»' + -£— ^jT^-, et n' = n+-^.-^-

CDes deux formules s'appliquent au prisme hexaèdre ■"^^xilier de la chaux carbonatée. Faisant 71'== i , on ^»^^ve /z=2. Les angles formés par les deux faces I>^xiduites, dont l'une est la barse du prisme et l'autre ■^ pan correspondant, avec celles qui leur correspondent sur la forme primitive , sont alors de 45*^ > ^^ornme cela est évident, d'après ce qui a été dit de la *MKiite à laquelle se rapporte l'inclinaison de ces der- ^^ères Êices.

■70. Nous avons encore à déterminer le rapport entre

les deux demi-diagonales g^ et p des rhombes du

dodécaèdre qui est le sujet de cet article. Voici une

lanière très simple de parvenir à cette détermina-

^on. Si l'on trace les petites diagonales uxj nr, or^

^^ (fig. 137), des feces qui se réunissent autour d'un

^ênie angle solide, tel que i, composé de quatre

pI^Hs, il est évident qu'elles formeront un carré. De

plus , les grandes diagonales tsy sy^ hy^th^ des quatre

i*ices adjacentes aux précédentes forment de même

^^^ carré qui est parallèle au premier. Imaginons

^î^inlenant que celui-ci se meuve parallèlement à

*^ù^inéme le long de l'axe qui va de k eu /, jusqu'à

i86 TRAITÉ

ce qu'il coïncide avec le plaa de l'autre carré sth)ri il est clair qu'alors le point r se trouvera placé au milieu de la diagonale ^, le point o au milieu de la diagonale st^ etc. , de manière que le carré orxu sera inscrit dans le carré sthy^ comme on le voit (fig. 142); d'où l'on conclura que la grande diagonale est à la petite, ou, ce qui revient au même, que g est kpj comme le côté du carré circonscrit est à celui du

carré inscrit, c'est-à-dire comme V^ est à Funîté.

Je donnerai aussi une solution analytique du même problème. Si parmi les quatre axes qui passent par les angles solides trièdres nous en choisissons un à volonté , tel que celui qui serait mené par l'angle o ( fig. 1 43 ) > nous pourrons considérer le dodécaèdre comme un prisme hexaèdre régulier, ayant pour faces latérales les rhomhes y rsu ^ «^^> 6*^c. , et terminé vers chaque sommet par trois rhombes, tels que krso , soU^ utoh. Maintenant , ayant mené Ix perpendiculaire sur tn^ si l'on fait passer par Ix un plan siti^é perpendiculairement au rhombe If ni , il est évident que la section de ce plan dans le prisme sera un hexagone régulier. Ayant mené les grandes dia^nales ksjStj kùy des rhombes supérieurs, supposons que le triangle équilatéral qu'elles composent s'abaisse, en restant parallèle à lui-même, jusqu'à ce qu'il coïncide avec l'hexagone dont j'ai parlé. Il se trouvera inscrit dans cet hexagone , et parce que Ix est un des côtés de celui-ci , si nous désignons par g la moitié de la diagonale sty prise pour exemple,

nous aurons

Otj l'angle Uo étant ^1 à l'angle ///i, et ces deux angles ayant pour côté commun l'arête //, si nous menons U perpendiculaire sur oty nous aurons

d'où l'on tire, g^ = 2p*î donc g*p'** X/â : i , ce qui est le même rapport que ci-dessus.

71* Soit Ik (fig. i44) ^^ rhomboïde dont les faces supérieures sont désignées par les mêmes lettres (^. i43)- Ayant abaissé ox (fig. i44)> perpendiculaire sur le côté U , nous aurons

otitx II g^+p^ : g^ — p* :: 3 : i ,

d'où il suit que le cosinus du petit angle plan des faces du rhomboïde est le tiers du rayon. D'une autre part , le rayon est au cosinus du petit angle saillant , tel que celui que forment entre eux les rhombes sotly cltUy :: 3p* •g^'^p^ •• ^ • 1} c'est-à-dire que sou cosinus est la moitié du rayon, d'où il suit que cet angle est de 60^, et le grand angle de 1:20^.

A l'yard des tétraèdres qui sous-divisent le dodécaèdre, leurs faces sont des triangles isocèles égaux et semblables soit entre eux, soit aux moitiés des

i88 TRAITÉ

rhombes du dodécaèdre , sous-divisés dans le sens Je leurs petites diagonales. Pour le prouver, je remarque d'abord que, dans chacun des rhomboïdes composés de six tétraèdres, la valeur de l'axe Vgp* — 3|f'> ou ^3 est égale à \/g'-h^, qui est celle de diaqae côté du rhombe. Gela posé, soit toujours rf(fig. i44} le rliomboïde dont le sommet extérieiu: est au point o (Qg. 143). Ayant mené l'axe oe(fig. i44))^tlespetites diagonales o/^ c«,des rhombes ostt, rcls, considérons le tétraèdre quia pour faces, les* triangles os/, est, ocs^ col. 11 est d'abord évident que chacun des deux premiers a pour'base une petite diagonale , et pour côtés deux de ceux qui terminent un même rhombe. Deplus , le triangle ocs a pour base la petite diagonale es, et de ses deux côtés os, co, l'un lui est comnuin avec le rhombe sotl, et l'autre est l'axe du rhomboïde qui est égal an côté du rhombe. Enfin , le triangle coi a pour base la petite diagonale o/, et de ses deux côtés , l'un cl lui est commun avec le rhombe crsl , et l'autre co est l'axe du rhomboïde. Donc , etc.

Dans le même tétraèdre, les deux triangles oaly ocjî, font entre eux un angle droit; c'est une suite de ce que le plan mené par la petite diagonale ca et par l'axe os est perpendiculaire sur cdui du rhombe crsf. Far une raison semblable, les deux triangles col, k Ci/, fuut entre eux nii angle droit. D'une autre part ,

Tanglc que forment entre eux les detu triangles oêl y tt csly est de Go^|^itt|ftsflitt^B supplément de l^h-

DE CRISTAl.LOGRAPÏirE. iRg

t deux iriangles os/, col^ font entre eux le même hgte <lc 60'' , comme étant la moitié de l'incidence I rhonibe sotl sur le rhombe kosr. Il semble qu'à uclquc endroit ([ue la Géométrie touche le dodécaèdre rliomboïdal, elle eu fasse sortir on caractère tle symétrie.

73. Je vais maintenant exposer les résultats de la nstallisation du dodécaèdre dont il s'anit, en le con- ^tlérant sous le rapport du premier des systèmes que W»i annoncés, et d'après lequel sa notation sera celle ue présente la fig. 1 45 , où tous les Lords sont dési-' [DUS par la même lettre B. Supposons des décroisse- ( qui aient lieu par une ran};ée de molécules nustraclivesrlioniboïdalcs sur les bords dont il s'agit, s décroissemeiis feront naître au-dessus de clirique tombe, le! que ir^o {lig. i43 et i46), une pyramide «jnadrangulaire krsoy , dont les faces seront de^ triangles scalèncs. Et parce que le décroissenicnt qui agit de part et d'autre d'une même arête, telle que o«, suit la même loi, les deux faces adjacentes osj', offv, dans les pyramides voisines seront sur un même plau^ct formeront des trapézoïdes«^f>f, vsyl, etc., eu sorte que la surface du cristal secondaire sera composée de 34 de ces Irapézoïdcs, égaïut et semblables entre eux. De là le nom de grenat trapézoïdal que onne à la variété de ce minéral , qui olfi-e la forme eje viens de décrire, et que représente la (ig. 147. : est lî.

tys TBATTÉ

J'ai démontré plus haut qae le cube , consiâéré comme forme primitive, était susceptible de produire un solide semblaMe, en vertu d'un décroissèment par deux rangées sur ses difierens angles. Noua verrons bientôt que les lois de la structure se prêtent à deux nouvelles solutions du même problème , dont Tune appartient à la théorie de Toctaèdre r^ulier, et l'autre à cdle du tétraèdre r^uber.

11 est &tâle, sans avoir recours aux fonnnles, de . détenniner les incidences mutuelles des trapécoides. Soit^K la hauteur de la pyramide qui a son scHnmeC eny. Je mène zp perpendiculaire sur oa y paisyp. Q est visible que le trapézoïdey5i«, étant paiement incliné sur les deux rbombes sotl , aokr , qui font entre eux un angle de 1 30^, doit en &ire un de 3a4 avec chacun d'eux, d'où il suit que^z=3o<'. Donc

pi'.yz :: V^ • i-

Mais

donc

te f|ui suffit pom* déterminer le reste. On trouvera , d'après ces données, que l'incidence de sy-o» sur /lyo^ est de i4G'*26' 33", et que iTlle kyoX sur fyrp, est de i3i<i48'36*'.

! détail la structure du

lolidc trapézoïdal. Soit fcc(fig. i/jS) une ïIps lames de uperposilion, dont la pyramide rsnky (fig. i^G) est 'assemblage. Le décroissement qui produit cette lame étant censé avoir* lien par une rangée sur [tuttre arêtes, c|ui, étant prises deux à deux, reirésentent les bords supérieurs d'un rlioniboide btus, les rpiatrç faces latérales tyvi , pxvi, etc. , feront es angles obtus et égaux avec la face supérieure vvc» de la lame dont il s'agit. Menons par >£ le plaa i^é^, de manière que j-T soit parallèle à vi, et par ea: B plan ^txjjL, en sorte que x(a soit parallèle à vi. Ces dansintercepteroiit autant de demi-rhomboïdes qu'il ^ a d'arêtes comprises dans les lignes £x,yi, plus une lyramid^ quadrangulaire^Ç'aS", représentée séparé- BCQt (fig. 149)» et qui est im assemblage <Ie deux êlraèdres que l'on séparerait à l'aide d'un plan mené or les points^, e, A. Soit de nombre d'arêtes contetoes dans chacune des lignes e.T, >«. La totalité des etits rhomboïdes interceptés par les dea\ plans

lont J'ai parlé sera égale à (-^=0+5. U est

['ailleurs évident que le nombre de rhomboïdes

ODipris dans ce qui restera de la lame de superposi-

iou sera représenté par c'. Ainsi la lame, considérée

ànusoD premier état, a pour expression c' + c + y,

^'où il suit qu'elle n'est pas uniquement formée de

imboïdes complets. Mais si l'on prend la somme

tous ceux qui composent les douze lames qui ré-

ident à un même terme, on aura !2c'+ i3c+4>

ce qui équivaut à un ensemble de rhomboïdes complets, sans aucun reste. Après tout , le point essentiel est que les molécules intégrantes restent entiètes, et rien ne s'oppose à ce que parmi les molécules soustractives il y en ait une qui subisse un retranchement, pour que l'assortiment qui en résulte s'accorde avec la marche particulière des lois auxquelles est soumise la structure du dodécaèdre considéré comme ayant tous ses bords identiques.

Tel est donc l'effet que produit sur la lame de superposition la suppression des molécules intercep* tées par les plans TryeSr , ^ex/A , que ses nouveaux bords , qui passent par les points /e^, tt , parallèlement aux premiers, sont plus reculés que ceux-ci d'une quantité égale à une dimension de molécule. Il en résulte que la lame se trouve alors dans le même cas que si le rhomboïde auquel elle correspond étant isolé , avait subi un décroissement par deux rangées sur ses bords inférieiu^. Mais parce que les lignes ex, €7, restent fixes tandis que la lame diminue d'éten* due, par la surface inférieure, les Ëiccs qui naîtraient du décroissement dont je viens de parler conser\eraient la même incHnaison. Cest effectivement ce

€jae prouve la formule jî=/i'-+-^ ?^,qui a été

donnée plus haut , et dans laquelle n' désigne l'exposant du décit)issement qui a lieu sur les bords su- ]KTieurs, et n celui du décroissement (]ui agit sur les bords ioferienrs^ n' étant ici égale à l'unité ^

a n^ I H ^ 3 , comme cela doit être tl'aprùs

e qui vient d'être dit.

Je vais faire utie application de cette formule à la liriété de grenat représentée figure 1 5o, que j'appelle 'Jenat émarginé^ et <juî ne diffère du grenat trapézoïdal qu'en ce que les décroisseraens qui agissent sur les bord» du dodécaèdre n'ont pas atteint leur lite, en sorte qu'il reste sur la surface de la forme ndaire douze rhombea parallèles aux faces priiîtives.

Imaginons que le rhomboïde auquel appartiennent i (aces P', P", P'", soit isolé, et qu'il ait subi un veinent par deux rangées seulement sur les si\ Is inférieurs des trois rliombes qui correspondent : faces dont il s'agit. La forme cjui en résultera ora l'aspect que représente la figure i5i , dont il sst facile df làire le rapprochement avec le solide " iromplel que l'on voît(fig, i5o). Or, les faces ra, n', n" ( fig. i5i ), ont cette propriété, que celles qui sont désignées par n', n', ou par n, n, forment entre elles un angle de 109'' 28' 16", égal à l'angle plau obtus . des rliombes du dodécaîsirc primitif. Car n étant le nombre de rangées soustraites (pii a lieu généralemeutdans le cas où cette propriété est réaUsée par la

nvé (t. !, p. 333), et ici H=: £^ =

«m aus faces n, n , /»', etc.

alUsati

;ion, on a n=-

comnic il a été jni con-

Vue seconde propriété qui est liée à la précédente , coDsiste en ce que Tanglç stx , ou tout autre semhlablemcDt situé, est droit. Mais cet angle étant masqué dans lesplide complet, par Tintervention des fiices qui naissent suKles bords supérieurs (6g. i5o), ou peut lui substituer celui que forme chacune des iàces telles que n", n", avec le rhombe adjacent ostr, lequel doit être aussi de go*^ , d'après ce qui a été dit (L I, p. 33a); d'où il suit que FiDcidence de n" sur F' , qui est susceptible d'être mesurée immédiatement sur le solide complet , a la même valeur.

Il existe une troisième propriété qui est de même une suite de la première. Pour la concevoir, supposons que le décroissement par deux rangées qui donne les faces n', n" (f^. i5i ), se répèle du côté opposé à celui sur lequel il prend naissance, comme cela aurait lieu si le rhomboïde que nous considérons ici était isolé. La lliéorie prouve que , dans ce cas , l'inàdence des Êices n', n", sur leurs adjacentes vers le sommet inférieur, serait égale à celle de deux l'iiombes situés autour d'un même sommet du rhomboïde primitif, c'est-à-dire qu'elle serait de lao^. Cette incidence disparaît sur la variété dont il s'agit ici, mais on y trouve son équivalent. Car il est aisé de voir que, par une suite de l'incidence dont je viens de parlizr , ceUc de n' onde n" sur la &ceP" qui lui est adjacente est de iSo^jetcomnKsurle solide complet, il existe ^ers le bord opjiosé du nièiiie rliombe une sfconde i itntrP^eslUniCDie ^

DE CRISTALLOGRAPHIE. ijj5

fine celle de n , il en résulte que l'incidence de n' sui- s'' est de lao'', ce qui réalise d'une autre manière ia propriété énoncée.

Ainsi , cette variété offre la répétition de trois des

an§;les du dodécaèdre primitif, savoir, de l'angle plan

obtus de ses rhombes, qui est de lOQ^'aS' 16"; de

l'angle droit que forment entre eux les rliombes oslt,

rsmy^ etc. (fig, 1 37), et de l'angle de 1 20'' qui mesure

Vinddence mutuelle des rliombes msîf,lsot, h}tu,eXjc.

Je ne dois pas omettre que l'tingle de 109"^ a8' 16"

dooite l'incidence des trapézoïdes tels queyspo,

wjj'»(fig. i4<i),ou vlys,ys7rr, situés de deux côtés

Ofjposés autour du point s, et que l'angle de 120** est

tcfui qœ forment entre eux les Inipézoïdcs, tels que

J'»**o, ju-ryk, ou ^yo\,ys7rr, situés de même de deux

o6fc«5s autoiu- du point y.

IjCS cristaux des doux variétés que je viens de dé-

cri rc, surtout ceux de ia première, ont quelquefois

leu&v surlace sillonnée de titiies situées dans le sens

de^ bor(l=i des lames de superposition, qui décèlent

la Tnarcbe du décroissenient auquel ils doivent leur

foK-me. Mais dans le grand nombre de ceux que j'ai

otfcservéspendantlong-tempSjjen'cn ai Iroiivéancun

«{VU fiât comparable, sous le même rapport, aux deux

dont je vais parler, et qui offrent séparément l'une

et l'autre variété, sous «ne forme complète et isolée,

tAont le diamètre est de 22 millimètres (environ dix

lignes ), Le progrès de la structure y est si sensible ,

l'on serait tenté de croire que l'accro"

ti,6 TRAITE

aurait eu lieu par une succession du lames décro saules qui, en pnrtniit du noyau, seraif-nt venues 9 placer les unes au-dessus dos autres. L'ob^iervatioi parait avoir prêté son langage à la théorie pour 1 faire parler aux yeux. Les ligures iSa et i53 peuvei donner une idée de l'aspect qui caraetérise cristaux.

Mais ce qui ajoute beaucoup à la satisFactloQ c j'ai de compter ees produits de la cristallisatioi parmi les ornemens les plus intéressans de ma coti Icction , c'est celle de me les représenter ornés eiucM mêmes du nom de M. le comte de Romanzow, grand chancelier de l'empire de Russie, qui rappelle tant de grandes qualités, dont l'éclat semble rejaillir sur les présens sortis de sa main (i).

(1) Ces cristaux ont élé découvens en Finlande, dana mica schiatoïde (gliranieracliiefer, W, ) , par M. Foi ingénieur des mines de Eusitc , distingué par l'étendue de J aea connaîasancea en Minéralogie. Il y vit une preuve «piî Ji parut décisÎTe en faveur de la théorie des lois auxquellt soumise la structure , et a'empressa de les montrer à M. k comte de Romanzow , dont le goût très éclairé pour 1^ science lui en lit (jorlec le m^me jugement. M. Fourman ). pria de vouloir bien lui-même me les envoyer. C'était, j^'? pour en doubjerla 'cat où ;„

AvaDt (le passer à une nouvelle variéU' , je remarierai que la mauière (l'agir desdécroissemens, dans Byslème que nous considérons ici , ne difl'cre de le qui se rapporte aux rhomboïdes ordinaires , que itivement aux deux angles obtiis de chaque lombe, qui sont censés être identiques. Mais elle laisse subsister les fonctions des angles aigus, coninie ai le rixombotde auquel appartiennent ces angles était en sorte qu'à cet égard les deux systèmes s'asilent l'un à l'autre, ainsi que nous le vei'i'ons ientôt.

La variété que j'ai annoncée, et que représente la figure i54, est celle à laquelle appartient le grenat le j'appelle uniternaire. Elle dilTère de la précéite par l'addition des facettes c,c, etc., qui remplacent les bords <f , (T, ele. (fig. i5o). Si l'on prcmt deux de ces facettes, telles que c, c" (fig. '54) , situées de part et d'autre d'im raènie hexagone P', d est -aisé de voir que le décroissement qui les donne agit Burles angles latéraux durhombe primitif situé parallèlement à P', et auxquels répondent les angles rsn , rfei (fig. 1 46). 11 en résulte que le triauglej-sï (fig. 1 4^*) «t censé mensuralcur à l'égard de la Kicelte c

L de8 milliiaèires ( environ 3 lignes et demie) de (iiad ont été trouvéa aux environs de Philadeljihie ,'et t Indices marqués de leur slrucluri:, comme les y à'ia nuiio di-dquels Jt^ ont clé uaturisllcnient sâ « ma coUecliun.

tflS TRAITÉ

(lig. i54) liHuéc en detisous de P'. Or^

sz : j'z :: v^ : 1 y/s :: 3 : i (p. 190).

.De plus y si l'on désigne par n le nombre de rangées soustraites , on aura

Faisant ^= V^, etp^i , ou trouve b^3. Ainsi le signe de la variété sera PB'E'.

^3. Je passe au second système, où la cristallisation semble donner la préférence à quatre rhomboïdes ^ choisis parmi les huit que Ton peut extraire du dodécaèdre à l'aide de la division mécanique, pour a^r sur chacun d'eux comme sfU eiiistait séparément. La figure i55 représente ce dodécaèdre , dans lequel j'indiquerai par A, A', A'', A'", les quatre angles solides qni doivent être considérés comme les sommets des rhomboïdes dont il s'agit, et par «, e', «", e"'j ceux dont telle est la fooctioo, que chacun des angles plans qui le composent est l'angle inférieur d'un rhombe qui appartient à l'un des rhomboïdes dé^gnés. Je vais décrire plusieurs variétés que présente le zinc suliuré, auquel se rapporte ce second système^ et je déduirai SQÏt de leur aspect géométrique, soit de la marche des luis de leur structure , les îndiwijjtiiiTWrii QO 1^ reconnaît pour lui appar-

i"*. Zinc suUuré tétraèdre 'A' ((ig. i56). La forme

de cette variété, qui est celle Ja tétraèdre régulier, met dans tout son jour Taclion élective des lois de structure, dépendante du système (jue nous considérons. On y voit que parmi les iiuit angles solides composés de trois plans qui paraissent identiques , si l'on s'en tient à l'aspect de la forme primitive, il n'y a que les quatre désignés par la lettre A qui entrent comme tels dans le plan de la cristallisation. On remarquera de plus que le télraùclre régulier , qui est une forme remarquable par sa simplicité, naît ici de la plus composée des formes primitives, savoir, le dodécaèdre, à l'aide de la loi de décroissement la plus simple de toutes ; et les molécules intégrantes qui produisent cette forme par leur assortiment sont elles-mêmes des tétraèdres, mais qui eu diJl'èrent en ce qu'ils ont pour laces des triangles isocèles, et qui, moins symétriques, ont une pi-opriélé dont est privé le tétraèdre régulier, lors(|u'il fait à son tour la tbnction de molécule intégi'aute dans l'octaèdre régulier, savoir, celle de se réunir exactcmeut et sans aucLiii \ide par leurs latus d'alliuilé.

a". Zinc sulfuré octaèdre 'A' e (fig. 157 et i53). « " Konsavons vu plus liaut qu'à une loi quelconque de

\ décroissement ((ui agissait sur l'angle supéiieur d'un lomboïde, répondait une autre loi qui , en agissant

|«ur l'angle inférieur, donnait une face égidciiiL'iil ia-

aoo TRAITE

clméc de la uiûmc quantité eu sens contraire, sur le rliombc correspondant, que celle qui insultait du premier décroissemenl. n étant Texposant de celui-ci, et a' l'exposant de l'autre, on a

Dans le cas présent, les faces g, g' (fig. 157) de l'octaèdre répondent à celles du tétraèdre (llg. i56), produites en vertu d'un décroissemont par une rangée sur les angles supérieurs des rhomboïdes auxquels se rapporte la cristallisation. Les autres faces m, ni (fig. 157), étant le résultat du second décroisse-mcnt , la formule devient

ainsi que l'indique le signe.

Dans les cristaux dont la forme est représentée | (fig. i57),Ia distinction entreles deux ordres de face». | s'annonce par une différence d'étendue qui donne à ces cristaux l'aspect d'ua tétraèdre légèrement tronqué sur ses quati-e angles solides. Dans ceux qui ! rapportent à la figure i58 , toutes les faces de I'cm taedre sont égales, en sorte que !a forme se t ramenée à sa liniite géométrique. Le cuivre jjyriteu fournit un exemple «l'une dilierenee du n dans les dimensions des faces de la variétéj pelle triépointéef^

DE CRISTALLOGRAPHIE. aji

dans lequel tes fhccttcs additionnelles et les faees primitives sont égales , et composent la surface d'un octaèdre régulier.

3", Zinc sulfuré cubo-oclaèdre alterne, 'A'e'E'

g nt

(fig. iSp). Pour bien concevoir la structure de cette variélé, supposons d'abord (jue sa forme ait l'aspect de celle que présente ordlnairenieut l'espèce de solide <jue j'ai nommée cuho-octaèdre , et dont la suriace ramenée à la limite géométrique est composée de six carrés s, s, etc. , comme on îe voit fig. i6o, et de liuit triangles équilatéraux gy m, etc. Les faces g, m, étant communes à cette forme et à celle de l'octaèdre r^ulier (fig. i58), il reste les faces *, s (fig. i6o), qu'il s'agit de déterminer. On voit d'abord qu'elles naissrait sur les angles latéraux E, E ( fig. 1 55 ) des rhomboïdes auxquels se rapporte l'action élective des lois de la structure. Cela posé , soit AeA'e'E (fig. 161 ) la pyramide dont la base passe par les mêmes pointJ>(tig. i55), auquel cas la faces (fig. 160), situéecntremctm', pourra être considérée comme produite par un décroissement sur l'angle AEe (fig, 161). Menons sn perpendiculaire sur l'axe de la pyramide, située dans le plan qui passe par cet axe et par ièuie sy du triangle AE^, d'où il suit qu'elle 3tion de la face que nous considérons; menons rib perpendiculaire sur sy, .mensurateur à l'égard de la même n le nombre de rangées sous-

cluiéc fie la niciuc quaDliLc eu sens cotilt'aire, i rliombc correspondant, que celle qui résulta premier décroissement. n étant l'exposant de co et a' l'exposant de l'autre, on a

Dans le cas présent, les faces g^g' (fig. l'octaèdre répondent à celles du tétraèdre (fij produites en vertu d'un décroissement rangée sur les angles supérieurs des rliombof quels se rapporte la cristallisation. Les aulit m'(fig. 167), étant Icrésultatdusecontf' ment, la formule devient

n'=ti H- ^-^^^3,

ainsi que l'indique le signe.

Dans les cristaux dont la forme 4 (Hg. 157), la distinction entre tes deuxfl s'annonce par une différence d'étentlp ces cristaux l'aspect d'un tétraèdre \i ■ que sur ses quatre angles solides. D . rapportent à la figure 1 58 , toutes ' tacdre sont égales, en sorte que I:i ramenée à sa liqiile géométrique. L fournit un exemple d'une différent dans les dimensions des faces de h pelle triépointée, qui tantôt offre le , ' légèrement modifié par des thcetl 8CS quatre ungles solides, et tantôt

DE CniSTALI.OCRAPHIE. «o5

T'ïatre anglc-s solides composés de trois plans, pris parmi les liuit qui existent sur le dodécaèdre priiD>Uf. Je donne le nom de didodécaèdre à la variété qW offr« cet assortiment de faces de deux ordres.

Les triangles isocèles qui se combinent avec les &ces primitives ont deux manières d'être difiërentes, doat l'une les làit dépendre d'une loi simple, et l'autre d'une loi intermédiaire de décroissemeni , Qîins l'hypothèse de la preaûéi'e, les sommets des ^uat^e riiomboïdes auxquels se rapporterait le sys- '*^rïxe de cristallisation , seraient situés aux points de reurjion^ jg ,m,f, des triangles isocèles pris trois ^ trois, eu sorte que ces points coïncideraient avec 'es « ngles supérieurs A , A' , A", A'" (fig. iG3), des '"•'omlics qui appartiendraient à ces rhomboïdes; et '"^ angles inférieurs des mêmes rhombes seraient situés aux. points e , e',e", e". Mais si l'on admet la *c*XïDde loi , les sommets dont il s'agit coïncideront Ce les points p, j-, 6, a, qui sont isolés; et les igles supérieurs et înlerieurs des rhoiobes cliauge- ***nt de rôle , en sorte que les premiers seront ceax *nû portent les lettres A, A', A", A'" (fig. i64), «t 'es seconds ceux qui sont marqués e,e', e",c'". J'exposerai d'abord la première loi, quoiqu'elle *oil pas celte qu'indique l'analogie, parce qu'où ut tenté de la regarder comme la véritable , ù en par Faspccl de la forme considérée en clle- " abslraclimi Ciitcdcscs rapports avec celles

Sec

Ao€ TRAITÉ

Wous allons maiiUenanl considérer la même variété sous le point de vue qui la met en rapport avec le second système , daus le([uel la notation de la fbrni primitive est celle que l'on voit fig. 1G4. Le but e de ti-aduire dans le langage de ce système l'expre»sion qui a été donnée plus liaut de la loi de décrois— sèment relative aux tàces c/cl, ttj'Ï, etc. (fig. 162)» dans riiypothèse du premier système. Choisissons 1 triangle nyi , et supprimant par la pensée le trîau^ nmi qui repose sur la même base in , voyons ce rjiw deviendra l'autre. Soit e'AeA'E' (fig. iGG)la pyramidl dont les côtés passent par les mêmes points (lig.i64] elsur laquelle les deux triangles e"ii.'A, AE'e (lig. iG^ serontles moitiés des rhorabeHe"E'AA5E'AEe(fig.i 64) situés sur le rhomboïde qui a son sommet en A , el II triangle eE'A" (fig. 166) , sera la mnilié d'un rliomb appartenant au rhomboïde voisin dont le sommet « en A". Soit /yt le triangle indiqué, prolongé jusqu'à o qu'il coupe le côté e" E'. Ce triangle se changera en tn trapézoïdej'/i^t, en sorte qu'il se trouvera augmen(i du petit triangle niÇ, qui, dans le solide compIlT (fig. 163), avîlit disparu en conséquence de ce qiie II plan du triangle nyi était entrecoupé à l'ondroil ât sa base ni par le plan de l'autre trianglo imn, tpti à son tour, se serait changé en un Irapézimlc ■^•■i.x Uable , sans l'intervention du premier plan.

Si l'on mène dans le trapégoi,dj est facile de voir q .scalèoea.!

DE CRISTALLOCnAPHIE. 207

Mevaeni relalifaurlioniboïdudonl l« sominel est en A, et l'aulrej'if résultera «lu décroisscmcnt qui se rapporte au rhomboïde dont le sommet est en A". C'est un cas analogue à celui cgui a lieu dans une multitude de formes, où deux décroissemens soumis à nnc même loi, qui agissent de part et d'autre d'une même arête, se combinent de manière que les deu\ £ices qui en naissent coïncident sur un même plan. Bomons-nousà considérer le décroissemcnt qui donne le triangle ynÇ. 11 est d'aijord facile de voir (p.ie ce décroiseement est interméiliaire sur l'angle latéral E' (fig. 164 eL 16G) du rhomboïde qui fait ici la fonction de forme primitive. Désiguons par x le nombre d'arêtes de molécules comprises dans, le bord ^E% et par jr celai que contient la partie E'n du bord E'A. Désignant par n le nombre dérangées soustraites, nous aurons - pour l'expression de la parti vE% du

hord EV. Or, E'n étant le cosinus du petit angle du ïhombe, qui est j du rayon, comme on l'a vu plus Wl, nous pouvons faire j'E'=3, et E'«= i. Reste ï trouver l'expression numérique de <f^. E'n étant le tias du côté AE' et E'i le tiers du côte E'A", si nous ne oî , la partie tt^ de la diagonale eÇ iptera sera aussi le tiers de cette dîagnla partie EV de Taxe E'at do la ^tc la même ligne i>i est à oct à E'A , nous aurons aussi

5io8 TRAITÉ

Le triangle EVy étant égal et semblable à la moitié d'un rliombe primitif divisé dans le sens de la grande diagonale, soit ftjy^(fig. 167) le rliombe complet, dans lequel cTâ» sera la même ligne que figure i66. Menons par le tiers de «Te» (fig. 167) la ligne ^wÇ, qui sera aussi la même que figure 166. Nous aurons

cTsTiTra* :: |: I :: I : 5;

et à cause des triangles semblables iTrt^^yTttF^

Donc aussi cTi^ : J'ii :: I : 5. Mais l'expression Je J^ (fig. 1C6) est ar=3. Donc J^ ou -(fig* 167)^^=1; doi

le décroissement rapporté au rhomboïde qui a so sommet en A (fig. 164) a pour signe (E'B'B'' ).

J'ai supposé que dans la forme de la variété qu vient de nous occuper, l'assortiment des faces él celui que présente la figure 162, où tout est d'accor*** avec l'ordre de la structure. Mais , comme je l'ai dit ^ cet assortiment n'est point celui de la nature, a^^ moins dans les cristaux observés jusqu'ici, et il fai y substituer celui qu'iindique la figure 168. Pouravoi une idée nette de ce dernier, supposons que clioses étant d'abord dans l'état QO^ * (igure 162, le rbomboW'* tourné autour '^

sixième partie d'une circonfiTcnce de cercle, en emportant avec lui les six triangles gmh, qfh, ufx, ugx , ogr, omr, qui interceptent ses bords latéraux. Oaos ce cas le point m, pris pour exemple, sera venu st^ placer en m ( fig. i68 ), et tous les autres points a vust tourné à proportion, l'assortiment des six triaïjglcsse trouvera disposé comme sur la même figure, <lout il est facile de saisir les difFérences avec la précéc]«;iite, d'après la correspondance des lettres. IDans le polyèdre de la figure 162 , à cbaque trapé- ^oï(3e supérieur, tel i\ueynpc , répond dans la pai-tic '"Snferieuie un autre trapézoïde aqfu, qui lui est parallèle. Maifidans le polyèdre de la figure iG3, c'est aii contraire une arête au', qui répond au trapéeoïJej'wpc, de manière qu'elle est parallèle à ladiagcmale qui serait menée de p en y.

IMais si tout se réduisait au changement de posilion d'un des rhomboïdes composans, il resterait un YBcSe entre ce rhomboïde et la concavité qui lui ser- ^ ^it etimme de moule avant son déplacement. Or , il en est de ce cas comme de celui de l'arragonile et de Ji-verscs autres substances, où plusieurs cristaux, qui piiraissent se pénétrer auraient laissé de même un vide dans fcspace intermédiaire enli'e eu\,. si quelques-ans au moins n'avaient pris une estension qui a rempli ce vide, et j'ai prouvé que les plans auxtioels elle se terminait , et que j'appelle plana de jonction, sont louioui"S situés ^urallelemeut à des iacçs produites pai- des lois de déci'oisseinciit soit sin-

aïo TRAITÉ

ics angles , soit sur les bords des cristaux groupes ,

ou (lu moins de quelques-uns.

Pour concevoir la manière dont la cristallisation a satisfait à cette condition dans le cas présent, remar- <|uon3 que par une suite de ce que le mouvement du rliomboïde qui a tourné a pour mesure un arc de 60^, les trois bords contigiis à son sommet supérieur correspondent aux diagonales oblirjues des rhombes qui composent la surface de la concavité, d'oùil résulte ([ue les plans de jouctioD sont des riiombes é^xa. et semblables aux précédcns, inclinésdela même quantité en sens contraire que ceux qui sont restés & jour vers le sommet inférieur du même rliomboïde. Or, lu lui d*o{t dépendent les rliombes dont il s'agit est

celle qui a pour signe c, et (jui, en supposant son eflèt complet, prmluit, comme forme secondaire, un rliomboïde semblable au noyau.

On voit, par tout ce qui précède, que le plan de la cristallisation se trouve encore ici ramené à l'Iiypotlièse du dodécaèdre considéré comme un assemblage de quatre rliombuJides déterminés , et c'est ce qu'indique surtout le clian^ement de position qu'a subi l'un d'eux , qui parait s'être détacbc des autres , comme pour avertir l'observateur qu'il jouit duos le dodécaèdre d'une existence partieulière , que l'on doit ^.ilemeut supposer par analogie à cliacuu des trois autres.

çâuUuré composées

DE CRISTALI.OGRAPniE. au

lames fpii oITrcnt l'indicp du dt^placcment dont je lens de psrlei-, par la manière dont elles s'entrcliscDt à certains endroits. En soumettant une de masses à la division niécanicpie , j'ai réussi à com- >lnner les directions des plans coupans de manière à obtenir pour résidtat un dodécaèdre que je eonservc dans ma coUeclion, et qui est semblable à celui de la figure 168, abstraction faite des triangles isocèles. Je terminerai cet article en indiquant une variété <|ue représente la figure 1G9 , qui diffère de la précédente, par l'addition des faces qui répondent à celles da tétraèdre. Si l*on en trouvait des cristaux dont les &ces n'eussent subi aucun déplacement, je lui donnerais le nom de zinc sulfuré apophane, auquel oit d«it ajouter ici l'épitbète de transposé^ pour désigner le déplacement dont il s'ajjit. Cette variété est rcmar- <[uable par le retour dos faces du tétraèdre , qui font cnicore mieux ressortir l'empreinte du système de cristallisation, déjà indiquée par le changement de position d'un des rhomboïdes composans.

^ DE I.'uCTAÈDRE (l).

74- L'octaèdre , que la crislallisalinn emploie type d(> plusieurs espèces minérales, est un

(l) C'est à M. Deiafosse que je suis redevable de cet article, iaa» leqad il expose , avec autant de clarté que do précision , haàv de calcul qui lui eat particiOère , et qui nian- (^talitigraphic.

solide terminé par huit faces triangulaires, qui, prises deux à deux , sont égales et parallèles. Ses arêtes se réunissent quatre à quatre sur trois plans différens pour former autant de parallélogrammes dont les a centres répondent aux milieux de trois axes qui Jl passent par les angles solides opposés. Les figures ^ de ces parallélogrammes, en variant d'une espèce à ««e

l'autre, déterminent diverses modifications d'oc-

taèdre , dont chacune influe à son tour sur le çys-

tème de cristallisation qui en dérive : ces modifica-

tions ont été décrites sous des noms particuliers ^^ss

dans les considérations générales qui précèdent l'ex

posé de la théorie ( tom. I , pag. 1 7 et suiv. ).