j-îrragonite mésotome basé

Cet agrégat, dont la coupe transversale est représentée figure 298 , renferme un assortiment de six prismes appartenant à la variété basée, indiqués par les lettres O, R, R', o', r, r, et disposés autom-d'un prisme central de la même forme, avec ijualre prismes triangulaires isocèles T, T', ï, (', produits par les extensions qu'ont subies plusieurs des prismes élémentaires , ainsi que je l'expliquerai bientôt. La somme 696'' des six angles de 1 16'', for-

Imés par les côtés extérieurs des rbombes O, il, r*, o', r, étant plus petite de 2/]"^ que lii somme

TRAITÉ rrespondai

•jùo^ des angles correspondaiis sur l'Iiexagone r lier, il en résulte que les côtés E'n , M'I, Eh, Ex, des riiombes R , / et R', r , forment deux auglcs rentrans, chacun de iGS*^, dont la difl'érence avec 180^ est de la**. Les côtés du rhombe central étant les prolongemens de ceux des rhombes 0, o', se trouvent dans l'ordre de la structure, en sorte qu'il n'y a (ju'un seul plan de jonction qui se répète entre les rhombes O et R , O et R', o' et /, o' et r, ce qui nae paraît d'autant plus digne d'attention, que la variété qui nous occupe est la plus composée de toutes , eu égard au nombre de solides élémentaires dont elle ofilî l'assemblage.

Aucune observation n'ayant indiqué juscpi'ici la positions des plans de jonction , on pourrait appliquer à chacun des triangles T, T', etc. , ce qui a liei à l'égard des triangles j'oj''j j-oy (fig. 29 1 ) , auxquels! ils sont semblables, en supposant qu'Us fussent divisés en deux parties ^ales par les plans dout îSË

Dans celte hypothèse, les moitiés des triangles ' proviendraient des extensions qu'auraient subies les six prismes désignés par O, R, R' o', r, r' (fig- 298), et ledécroissementqui déterminerait les positions dea ■ plans de jonction , aurait pour exposunt -^. Eu at- 1 tendant que l'observation en ait décidé , j'adopterai de préférence une autre hypothèse , d'après laquelle les prismes O, o', qui déjà s'assimilent au prisme central S parleurs positions, auraient encore cela de

cammim avec lui, qu'ils ne contribueraient en rien aux extensions désignées parles triangles T, i,etc,, en sorte que celles-ci auraient été uniquement fournies par les prismes R , R', r, r , qui de même se correspondent par leurs positions, soit entre eux, soit relativement à l'ensemble. Dans le même cas , les plans de jonction coïncideraient avec les côtés ft, /w, etc. des prismeB O, O', dont l'eflet se serait borné à limiter les prolougcmens des autres prismes. I.,es déoroissemens auxquels se rapporteraient ces jilans dériveraient alors d'iuie analogie entre la stuiclure de la variélé qui nons occupe et celle de la variété semi-parallélique (fig. 283). C'est ce qu'il sera facile de prouver , en prenant pour exemple le prisme l<dont la coupe est le rhombe r (fig. 298), et dont le t>longement est indiqué par /. Je reprends ici la t^ure 289, qui a ser\'i pour la tbéorie de la variété aî-paralléljque. Si l'on prolonge les Ugnes ha^fd, isqu'à ce (|u' elles se rencontrent eu n, le triangle ■An sera silué, à l'égard du rliombc abpd^ comme ! triangle ( (lig. 2g8) par rapport au rbouibe r, et ■de plus il lui sera semblable.' Car l'angle dan est î supplément de l'angle primitif bad. Il résiJte Kiâ'ailleurs de ce qui a été dit à l'occasion de la vairiêlé semi-parallélique, que l'angle dna, qui est égal ■'à l'angle dar, est aussi le supplément de l'angle pri- T niitif. Donc, puisque chacun des angles E'ui, E'/« r^llg. 298), est égal au même supplément, par une nuitc de la position du triangle /, relativement au»

rhombes primitif o\ r, les deux triangles que nous comparons ici sont semblables; et ainsi, le décroisa sèment d'où dépend la position du plan de jonction désigné par fi est le même que celui qui , en agissant sur l'arête latérale menée par le point d (fig. 289), produirait une face "dirigée suivant dn. Soit deg le triangle mensurateur ; nous aurons

de \ eg V. da l an.

Or, il est facile de voir que le triangle adn est semblable au triangle pfd. Donc

da l an :: pfl dp\

^^ds nous avons eu plus haut ,

pf: dp :: g* H-p* : 3(5^*— />•) :: 8 : 7.

Or, ici^ dal an ou delgellnl i -, d'où l'on tire n = f; c'est-à-dire que l'exposant de la loi dont il s'agit est la fraction inverse de celle que nous avons trouvée , relativement à la variété semi-parallélique. Ainsi , le décroissement^ rapporté à l'angle E', considéré comme angle latéral d'un octaèdre primilif,

a pour signe E'^.

lie. Dans les descriptions que Je viens de donner de cinq variétés d'arragonite qui résultent de la réunion de plusieurs cristaux en un seul corps , j'ai supposé que le nombre de ces cristaux était le plus petit possible, et j'ai ramené le mécanisme de la structure à« son maximum de simplicité. Mais il arrive sou-

DE CRISTALLOGRAPHIE. 35.c,

vciil cjue chaque cristal est Iiii-nièine un groupe de ci'istaux semblables, tournés dans le même senSj et de là vient que quand le solide élémentaire est un octaèdre primitif ou appartenant à la variété ternaire, la base de Fagrcgat est clini^ce de saillies séparées par des espèces de cannelures ou de striijs plus ou moins profondes , qui divergent en allant du centre à la circonférence. Quel(|iiefoia il y a sur-ooniposiûon, en sorte que les diilerens agrégats, en se groupant à leur tour, ajoutent un nouveau genre de complication à celui que présente chacun d'eux considéré en lui-même.

J'aurai occasion, dans la suite, de ]>arlcr des caractères géométnijues et physiques qui disliuguent rarragonite de la cliaux carbonatée. Je me buruerai, eu terniinaut cet article, à une réfleiLion que doit iiatui'cllenient iùire naître la forte tendance qu'a la cristallisation de rairagonitc, pour imprimer un caractère d'unité à des assemblages de corps dont chacun peut exister séparéuieiit, comme individu de son espèce; c'est qu'elle suQlrait seule pours'oppo- 6er à la réunion de ce minéral avec la chaut carh(;iialée, dont les nombreuses modilicalions u'oifreiit •rien qui approche d'un pareil assortiment^ et ce '■ tjui achève de faire ressortir le contraste , c'est <jue iion-senlement le caractère dotil ilémanecst presque inséparable de IWragonite , mais qu'aucune autre des substances connues ne le partage avec lui , en borte qu'il ne permet de le comparer f[u'à lui-même.

Jie la détermination des rapports entre les dimensions des molécules intégrantes.

III. Les rapports qu'ont entre elles les dimensions respectives des molécules int^rantes des cristaux fournissent a la théorie des lois auxquelles est soumise la structure de ces corps, le terme dont elle part pour arriver à son but, qui est d'appliquer le calcul à ces lois , et de déduire de ses résultats une description fidèle des formes auxquelles elles ont donné naissance. Dans les formes qui sont les limites des autres, les rapports dont je viens de parler sont donnés à priori, d'après les seules indications de la ^ loi de symétrie. Ainsi, dans le cube , la répétition des mêmes décroissemcns , soit sur tous les bords, soit sur tous les angles, garantit l'identité des uns et des autres, et en même temps l'égalité des angles que font enti^e elles les différentes faces du même solide , en se réunissant deux à deux sur les différens bords , d'où il suit nécessairement que tous ces angles sont droits. Il est presque inutile d'ajouter que cette conséquence s'étend également à la molécule intégrante. On peut appliquer le même raisonnement au dodécaèdre rhomboïdal, et en conclure que les inclinaisons mutueUes de ses diverses faces sont exactement de 120^; et en combinant avec cette forme le résultat de la division mécanique , on démontre que les molécules intégrantes sont des tétraèdres qui ont pour faces des triangles isocèles

DE CRISTALLOGRAriIIE. Mt

é^uK et scmhlal>les entre eu\. 11 en est île nièinc des autres formes qui présentent le. caractère d'une limile. Leur détermination est indépendante des résultais des mesures mécaniques , et les petites diiTérences que celles-ci pourraient Taire soupçonner entre leurs angles et ceux qui dérivent des indications de la loi de symétrie doivent être regardées comme nulles, et rejelées sur les imperfections des mêmes mesures.

11 existe des formes piûmilives qui (wrticipcnt des limites par le rapport de leurs dimensions dans le . fiens latéral , mais oij il disparaît dans le sens de la hauteur. Telles sont le prisme à base carrée et le prisme hexaèdre régulier. Les indications de la lot de symétrie à l'égard des décroissemens sur les bords ^ latéraux prouvent que, dans le premier, les quatre ' eûtes delà hase sont égaux enti-e eux , et qu'il eu est de même de ses quatre angles, et que, dans le second , il y a aussi égalité entre les sLx cotés de la base et entre les angles (|u'its fout entre eux. Mais le rapi)ort entre le côté de la hase et la hauteur rcsle de part et d'autre indéterminé.

Dans les rhomboïdes qui fout la fonction de forme piimilive, le rapport, soit entre les diagonales decliaque rliombe , soit entre le rayon et le cosiuusdu petit angle solide, suQirait seul pour que l'on pût en conclure celui des autres dimensions, s'il était donné à priori.Muis c'est ce qui u'a jamais lieu. D'autres formes , telles que l'octaèdre rectangulaire , exigent , pour èti-e com- L plèlcmvut dctermiuécs, la comiaissance de detUL

34a TRAITÉ

rapporls, dont aucun n'est donné à priori. On peut en dire autant des *formes qui dépendent de trois rapports , telles que Foctaèdre à triangles scalènes.

Or , dans tous les cas de ce genre , les rapporls entre les dimensions ne peuvent être détenninés que d'après les mesures des angles que font entre elles^ soit les faces de la forme primitive, soit celles des formes secondaires. La détermination qui concerne ces dernières formes est fondée sur ce que les côtés des triangles mensurateurs qui mesurent les nombres de rangées soustraites en vertu des décroissemen» qui ont lieu sur les bords ou sur les angles de la forme primitive , ont une relation nécessaire avec les dimensions de cette fonne j et parce que les inclinaisons des faces qui terminent les formes secondaires dépendent du rapport entre les côtés des triangles mensurateurs qui correspondent aux faces dont il s'agit, il en résulte que la connaissance de ces inclinaisons conduit à ccUe du rapport entre les dimensions primitives.

Mais d'abord les angles dont je viens de parler ne peuvent être qu'approximatifs. Les mesures dont ou les conclut n'ont qu'une précision indéfinie. De ])liis , en supposant que dans l'évaluation de ces mesures on néglige tout ce qui est au-delà d'une certaine quantité dont le choix est nccessaircment arbitraire, les nombres représentatifs des sinus et des cosinus offriront toujours des séries de décimales qui n'auront point de terme, en sorte qu'il faudra encore y

négliger quelc^uc cliose , pour en <léduirc des rapports susceptibles d'être soumis nu calcul. Mais il faut à la tiiéorie des points fixes d'où elle puisse partir pour arriver à son but, et qui ne soient pas susceptibles de plus ou de muicis. Les rechercbes c[tie j'ai faites siu" ce sujet me paraissent donner une grande vraisemblance à la supposition que ces points fixes coïncideut avec ceux (jui existent réellenient dans la nature , et que pour y ramener les résultats des mesures mécaniques, il suifit de faire subir aux rapports qui s'en déduisent un cliangement assez léger, pour qu'il soit permis de négliger la différence qui eu est la suite.

113. Dans les applications de la métliode que j'ai adoptée pour déterminer les points fixes dont il s'agit, j'ai représenté par des quantités radicales les deu\ tenues du rapport qui les donne , du moins toutes les fois que la forme s'y est prêtée. La raison en est que les rapports entre les dimensions des niolécutes intégrantes qui appartiennent aux formesllnûtes doivent être considérés, d'après ma manii^re de voir, comme les types de ceux qui ont lieu dans les autres formes. Or, les expressions des premiers sont toujouiy coin])osées de radicaux. Ainsi, en prenant pour e.\emple le rapport entre la per|ientlicnlaire sur l'axe et la parlie de cet axe qu'elle intercepte, nous trouvons qu'il est dans le cube celui de I ù yâ ; dans le dodécaèdre rbomboïdal , celui de \/a à i , qui est l'inverse du précédent ; dans le tétraèdre régidJer, celui de i à V^B, et daus IW

taèdrc régulier, celui de i à \/^9 1^ même que dans le cube.

J'étais donc conduit par l'aijtalpgie à consenrer, autant qu'il était possible, le même mode d'expresr sion à l'égard des rapports entre les dimensions des formes qui n'ont pas le caractère de limite. Un autre avantage joint à celui de l'uniformité qui en résulte, est de faciliter et de simplifier les calculs, entre autres ceux qui concernent la résolution des trian-* gles rectangles, et qui se présentent à chaque instant dans les applications de la théorie.

1 1 3. Avant d'aller plus loin, j'ajouterai une obser-* vation fondée sur la nécessité de faire intervenir les> lois de la structure dans la détermination des rapports entre les dimensions des molécules intégrantes, toutes les fois que les mesures des angles ne donnent les termes de ces rapports qu'en fonctions de ceux qui ont réellement lieu dans les molécules employées par la cristallisation. Pour obtenir ces derniers , il faut multiplier les autres par un facteur entier ou fractionnaire, que la théorie seule peut indiquer.

J'exposerai ici les principes d'où dérive cette indication. Lorsque la forme des molécules intégrantes est donnée à priori^ avec ses dimensions, comme dans le cas du rhomboïde ou de l'octaèdre , on trouve que les lois de décroissement auxquelles le calcul mène le plus ordinairement , et dont la mesure dé-, pend alors de la forme seule , sont les plus régulières etjes plus simples.

DE CmSTALLOCRAPniE. 3^5

Ainsi, en parcourant b série des signes représentatifs (les i6o variétés que m'a offertes jusfju'ici la îstalli!>atiou de la cliau\ carbonatée, on remarque ^e iarliÀ e, qui donne des faces parallèles à l'axe , St indiquée 76 foisj la. loi D, qui est celle du dodédre mélastatique, 5r fois; la loi B, qui est celle 1 rhomboïde équiaxe, 5o fois; La loiE"E,qui est «lie du rhomboïde inverse, 46 fois; la loi A, qui tonne des &ces peqiendiculaircs à l'axe, 87 fois; la , qui est celle du rheriiLoïde contrastant, 34 fois;

t la loi e, qui est celle de la variété cuboïde , et qui déjà s'écarte de la simplicité des précédentes , seulement 8 fois. Chacune des lois directes plus compo- ;, et de celles qui donnent des décroissenicns inmédîairos , s'y montre plus ou moins rarement. Or, j'ai résolu le problème inverse, relativement aux formes dans lesquelles le rapport enti'e les dimensions n'est pas donné par l'observation , c'est-àdire que j'ai cherché quelles élevaient être ces dimeusions, pour que les lois de décroîssement d'oîi dépendraient les formes secondaires fussent les plus tnplee possibles dans leur ensemble. Alors ces dipiensions, sur le rapport desquelles l'observation n'eu * dit pas assez , fmissent par être à noire égard comme si elles avaient été connues d'avance. Leur rapport est suflîsamment motive , par cela seul qu'il ne fait autre ^Lditise (]uc metlrc lu nature d'accord avec elle-même.

wes,e

aepei ^ump] ^nieDs

MainteDant j'observe que, dans tous les cas dont je viens de parler , les rapports donnés par les mesures mécaniques correspondent à oeux qui existent entre les côtés des triangles mensurateurs relatifs aux Ëices dont ces mesures indiquent les inclinaisons. Qr^ chacun de ces côtés pouvant être composé d'une ou plusieurs dimensions de molécules, suivant que le décroissement auquel il correspond suit une marche plus lente ou plus rapide , sa valeiu* dépend du rang que l'exposant de ce décroissement occupe, dans la série qui offre l'ensemble de lois le plus simple , et c'est par cette raison que les considérations théoriques sont nécessaires, dans le cas présent, pour ajouter ce qui manque aux indications des mesures mécaniques^

114. Tout ce qui précède s'éclaircira encorfe par les exemples que je vais donner de «la méthode que j'ai suivie dans la détermination des points fixes dont j'ai parlé. Le premier me sera fourni par les cristaux de quarz, dont j'ai déjà développé la structure dans l'article relatif au dodécaèdre bi- pyramidal. Je rappellerai seulement ici que sa forme primitive , qui est un rhomboïde, est une des formes dont les dimensions sont données à priori.

Quoique les cristaux du minéral dont il s'agit soient sujets à de fréquentes anomalies qui occasionnent de légères variations dans les positions de leurs faces, surtout celles qui sont parallèles à l'axe, cependant il n'est pas diflicile d'en trouver , sur le grand nombre de ceux qui sont répandus dans les

rollcctioiis , dont la forme ait toute la régularité que l'on peut désirer, pour se prêter aux mesures mécaniques. Tels sont en particulier ceux qu'on a nommés hyacinthes de Compostelle, dont beaucoup sont

isolés et complets, et dont tous les plans sont lisses et parfaiteinent de niveau.

Je me trouvais donc , à Fégard de ces cristaux , dans une circonstance favorable pour ramener le rapport de leurs dimensions à une limite simple, susceptible de conduire à des résultats sensiblement d'accord avec ceux de la cristallisation.

J'ai pris pour donnée l'inclinaison d'une des faces gsl ou P (fig. 299) de la pyrarnide sur le pan adjacent r. Je trouvai qu'elle tombait entre i4i^r et 14^^ 'y je l'ai supposée de 14^*^4- Dans cette hypothèse , si , du centre c de la base de la pyramide dont C8 est l'axe, on mène une perpendiculaire cr sur un des côtés , puis la ligne rs , on aura

ers = 5x^45' et cri es II sin38*^t5' : sin5i^45'.

Pour avoir le rapport cr l es exprimé en quantités radicales , je prends les logarithmes des carrés des deux sinus, et cherchant dans la table des nombres natiiixîls ceux auxquels ils répondent , je trouve que

l'on a cr : es II \/3833 : v/6 167 , à peu près comme V/38 : V^ > ^u comme V^ • V/3 ^ > ce qui donne

cr5 = 51^56',. et esrz=38^4\ dont le premier est trop fort et le second trop &ible^

par une suite des quantités que j'ai négligées. Je vois que si j'ajoute une unité à chaque terme dii rapport , cr se trouvera plus augmentée , à proportion , que €B y ce qui tend à rapprocher les deux angles de ceux qae donne Tobservation. JTaurai donc

crics :: x/âô : Vsâ, aa v. \/5 : V»,

et ainsi le rapport a toute la simplicité convenabli? pour lui imprimer le caractère d'une limite. Ce rapport donne 5i^ 4^' pour la mesure de Tangle srcy et i4i^4^' 16'' pour l'incidence de Isg sur Igdhy résultats qui touchent de bien près celui de la masure mécanique.

Dans la même hypothèse , le rapport entre les" deux demi-diagonales g et p^ des faces du rhomboïde primitif est celui de \/i5 : V^i3, et le cosinus de l'angle qui mesure la plus petite incidence des faces du rhomboïde est 7^ du rayoji, ce qui donne pour cette incidence 85^ 36', et pour la plus grande 94^ 24'. En partant du même rapport, on a i33*^4S'4^"p^"'^ l'angle que font entre elles deux Êices adjacentes Isg, gst, sur la même pyramide.

On trouve dans le bel ouvrage publié par M. M alas sur la double réfraction , une détermination des incidences mutuelles des faces du rhomboïde du quarz , cpie ce savant célèbre a prise à l'aide de la réflexion , en se servant du cercle répétiteur. 11 indique 94*^ 16' pour la plus grande, et 85*^ 44' P^^ ^^

DE TRISTALLOGRAPHIE. 349

us petite ( 1 V La diflëreace avec les angles cités plus iiaut est de 8'.

J'ai tiésiré de savoir jusqu'où iraient aussi les ^ilTérences entre les deux déterminations, relativelent aux autres incidences, et quels seraient les ipports qui résulteraient des mesures de M. Mains «Dire les dimensions principales du rhomboïde du larz. J'ai trouvé , en suivant une marche analogue à celle qni m'a conduit au rapport y 5 ; yâ, ique , dans l'hypothèse présente, on aurait

S:p:: Vv^: Vô^i ique le cosinus de la plus petite incidence des faces «erait les ^Ij^ du rayon, et fjue le rapport entre jcretc* serait celui de v' '57 à V?!^- On aurait p l'incidence de Igs sur le pan Igdn ,141*" 4*5' 1 3", au lieu de 141'' 4°' ^^"i 1"' ^^^ c'^^'^ que j'ai iridijquée; dilTérence, 6'; et pour celle de Igs sur gts^ «33'' 44' 46", au lieu de iSS^ 48' 46"; dillërence, 4'. On peut substituer au rapport de y 1 157 a \/7t8, entre crêtes, celui de v 149 à ^240,*!"' "^stphis sunple et qui ne donne qu'une demi-minute de dilféreiice, dans les angles qui en dépcndenl,avec ceux

(0 Théorie de la double réfraction, page 24a. M. Phillipa , qui a mesuré les angles des mêmes crislaux avec le gtinlnmètre à réflexion . indique j)4'l i5' et 85'' 45' , dont la différence n'eat que de i' avec les résultats obtenus par

IW. Malus. Elle provient de ce que le gnniomv-trc dont s'était ■eryi M. Phillips n'était diyiâé que de cinq eu cinq mînulcj.

S5d TRAPUE

eoxcpiels oonduit le premiar (ij. Ceci me sug^^ Une râOexion qoe- je ne crois pas devoir omettre. Si jé^uiohtraiÀ à. un physicien géomètre le rapport de

t^i49^VMo> ^A 1^ disant ^qae c'est celui quia lieu dans la pytamide du qnàns, enfare la perpen- Scolaire menée du centre de lÉ'lMise sur un des

côtés â'ia longueur de Faie, il ^«tt.tres prpliaUe qi^aprâv Taroir considéré, il y trouverait une petHe çorrdo^m à fidre pour le transformer en un.autre rapport beaucoup plus' simple; il ne s'agirait que d'ajouter une unité au dernier chifire du terme

\/i4g9 et alors le rapport deviendrait, au moyen de la division des deux termes par 3o , celui de

\/§ à \/8» Cest .précisément celui auquel je sms parvenu* Je répondrais que l'extrême précision de l'instrument qui a servi à déterminer le rapport dont il s'agit^ ne me permet pas de l'altérer. 11 pourrait me demander jusqu'où s'étend la différence entre Findinaison des faces de la pyramide donnée par ce

rapport, et ceUe qui résulte du rapport de v/5 à V^ (2) , et si je lui disais qu'elle se réduit à en-

(1) M. Malua paraît avoir négligé les secondes ^ en mesurant leis angles cités ci-dessus.

(a) On aurait pu prendre pour angle fondamental celui qui dériva de cette inclinabon tout aussi bien que celui qui a lieu entre les faces du rhomboïde, et dans ce cas riustrunieut^ pour être d'accord avec lui-même , aurait dû donner immédiatement Tangle de i33(l44'46^

viron 4') je doute s'il ne serait pas Icuté tla la rejeter sur l'observation, plutôt que de l'impuLer à la nature.

Ii5. Je tirerai le second exemple des cristaux d'étain osidé , dont la forme primitive rentre, comme la précédente , parmi celles qui ont leurs dimensions données à priori. Cette forme est celle d'un ortaèdre symétrique P, P' (fig. 3oo), dont je donnerai la détermination dans un instant. Je la déduirai d'une mesure prise sur la forme secondaire que représente la figure 3oa , et (jue je nomme étaifi oxidé hisfiexdécimal. La mesure dont il s'agit est celle de l'anfi^Ie que font entre elles les faces j, g. j^^Jé l'ai clioisic de préférence, soit parce <pie ces faces ^■feient très nettes sur plusieurs cristaux ([ue j'ai eus ^B^tre les mains, soit parce que le résultat que j'en tirerai me fournira un terme de comparaison que je croisdigne d'attention, avec celui auquel M. Pliilliiw ia. été condmtparles observations qu'il a faîtes sur ^Bks formes des cristaux, de la même espèce , en se ser- ^Dmnl du goniomètre à l'éQexiou, qu'il manie avec ^Bjlie grande habileté.

^K Soit niaiulcuanl st (fig. Sot) le même octaèdre "-que figure 3oo. Si je fais passer un plan nsl par les apothèmes des triangles /«a, èsa, ce plan .sera parallèle à la face s {Hlj. So-i), et quant à la face g, elle est parallèle au plan qui passe par les côtés du rhomhe hsbt (fig. 3oi). Cela posé, si je mène la dia- P^nalc ag de la base commune des deux pyra,mijes

35a TRAITÉ

dont Poctaèdre est l'assemblage , il est facile de voir que Pangle soc plus 90^, sera égal à riuclinaisoii de s sur g (fig. 3o2) y en sorte que le rapport de es il^co (fig. 3oi), sera celui du sinus au cosinus de l'angle dont il s'agit. Je mesure y à l'aide du goniomètre ordinaire, l'incidence de s sur g {fig. 3o2)y et je trouve qu'elle est sensiblement de i33** 3o', d'où il résulte que l'angle soc (fig. 3oi) est de 43^ 3o', et l'angle ose de 46^ 3o^ Je me sers de la méthode que j'ai employée pour la détermination de la forme du quarz y et je trouve que le rapport de es k ce est

celui des quantités ^4745 à VoaSS. Or , il suffit de jeter un coup-d'œil attentif sur ces quantités , pour en conclure que leur rapport doit approcher

beaucoup des quantités ^4^^* V/5Ô, ou 3 : vTô. J'essaie ce dernier rapport, et j'ai pour la valeur de l'angle soc 43^ 29' 29", qui ne difiere que d'une demiminute de celle qu'avait donnée le premier rapport .

Si je fais co == V/îo et c5=\/9j j'aurai \/4o:v/9 pour le rapport de la demi-diagonale ac à la hauteur c^, et 7:3 pour celui de l'arête oblique bs à la même hauteur. 11 suit de là que le rapport entre la perpendiculaire d menée du centre de la base sur le côté ab , et la hauteur es , est celui des quantités

V^20 à 3. Ces difFérens rapports ayant toutes les inditions requises pour déterminer un point fixe, n'hésite pas à les adopter.

Il me reste à comparer le résultat précédent avec

celui qu'a obtenu M. Phillips. Ce savant s'est servi, pour mesurer l'incitlence de *sur g (fig. 3oa), d'un f^oiiiomètre dont la division allait jusqu^aux demiminutes. On sait combien le comté de Cornouaillei est rifhe en cristaux d'étain oxidé , et il était facile à M. Phillips d'en choisir, sur le nombre, dont la fonue iïit d'une perfection qui ne laissât rien à dêsiier. Ce savant indique i33'' Sa' 3o" pour l'incidence proposée; d'oii il résulte, selon lui, que les angles soc, ûsc (fig. 3oi) sont, l'un de 43^ Sa'So", et l'autre de ^Ù^ 57' 3o". Le rapport qui s'en déduit entre le sinus et le cosinus du premier, est celui de \/4738 à V/Satia. La comparaison de ces deux quantités conduit à la même conséquence que celle qui se lire du rapport auquel je suis parvenu ; c'està-dire que le point fixe que le résultat du calcul touche de près , est le rapport de \/Tô à 3. La différence eutre les deux mesures n'est que de 3'; je laisse aux cristallographcs physiciens qui liront cet article , à juger si elle doit être imputée à la nature, tpïi ne ferait ici que se conformer à sa simplidté ordinaire , ou à l'observation , qui substituerait à cette simplicité une complication dont il est inutile de discuter le fondement : il sufiit de la montrer.

1 16. Je prendrai la cristallisation de la chaux.

phosphatée pour le sujet de l'exemple suivant. La

iorme primitive de ce minéral est un prisme hexaèdre

^, régulier, c'est-à-dire qu'elle participe, par ses di-

H tiionsinns latérales, dos Tonnes qiil sont les limites

354 TRAlt£

des autres, mais s'en écarte dans le sens de la hauteur , en sorte que le rapport entre le côté de sa base et chacune de ses arêtes longitudinales , ne peut être déterminé que par des considérations théoriques. Mon but , pour le présent , est d'exposer la méthode que j'ai suivie pour arriver à eette détermination. J'ai décrit, dans l'article relatif au prisme hexaèdre régulier, plusieurs variétés de forme du même minéral, entre lesquelles je choisirai celle que représente la figure i36, et que j'ai nommée doublante; je reprends

son signe représentatif, qui est MBBBA*A*P. J'ai à

fH z X r s u V

faire voir que ce signe est celui qui résulte de l'ensemble le plus simple des lois de décroissement dont j'ai Élit dépendre les différentes faces qui terminent la forme dont il s'agit , parmi lesquelles la face x est

donnée par le décroissement B; d'où il suit que le côté horizontal du triangle mensurateur est égal à l'apothème du triangle qui coïncide avec la base de la molécule intégrante, et que le côté vertical est égal à la hauteur de la même molécule. Il en résulte que dans celle-ci, le côté de la base est à la hauteur

comme Va à l'unité.

Supposons maintenant que la véritable hauteur soit double de celle que j'ai prise pour donnée. Il e^t Êioile d'en conclure que le signe précédent se chan-

IJL JL

géra en cet autre, MBBBA"A*P. Or, il est visible

DE CmSTALLOOR APHTE. 355

nie ce dernier signe est moins simple que le premier, où le plus grand nombre de rangées soustraites l'est que de deux , au lieu qu'il est de quatre dans elui que je viens de lui substituer. D'aillenrs, ce lernier renferme quatre dècroissemens en hauteur, au lieu d'un seul , ce qui est moins conforme à la larche la plus ordinaire des lois de la structure. Supposons, au contraire, qucla véritable hauteur ne soit que la moitié de celle qui se rapporte au sigue ^e j'ai adopté. Pour ramener celui-ci à l'iiypothèse dont il s'agit, il Ibudra le transformer en cet autre :

MliÙbAf'A*B*G')P. Or, ce dernier siane est encore

moins simple qiie le précédent , puisqu'on y trouve aussi un décroissement par quatre rangées, et de plus un décroissement intermédiaire.

Si l'on suppose d'autres facteurs communs, tels que 3,4) 5, etc., d'une part, et ^, J, f, elc. , de l'autre, on aura un ensemble de déci'oissemcos dont la complication ira toujours en augmentant j et ainsi le signe que j'ai préféré est celui qui satisfait à la Cimdition de la plus grande simplicité possible.

Les sid)Slances qui n'ont olfcrt jusqu'ici que des cristaux produits en vertu d'iuie seule loi de décroissement, ou dans lesquels le nombre de ces lois est très borné, ne se prêtent pas paiement à la solotioQ du problème cjui nous occupe. II pourra arriver que les lois qui ont d'abord été adoptées comme les plus simples, SG trouvent remplacées par

d'autres 9 dans le signe représentatif auquel conduiront de nouvelles variétés amenées par de nouvelles découvertes. Mais il sera toujours facile de traduire les premières expressions en celles qui devront les remplacer , pour que le signe remplisse la condition proposée.

117. J'ajouterai un second exemple, qui me sera fourni par le feldspath. Si l'on excepte les cristaux dérivés des formes qui sont les limites des autres , il en est peu qui aient un aq)ect plus symétrique que la plupart de ceux qui appartiennent au minéral dont il s'agit, et l'on est en quelque sorte étonné de l'air d^rrégularité sous lequel se présente , au premier coup-d'œil, le parallélépipède obliquangle qu'on en retire à l'aide de la division mécanique. Mais le contraste, disparaît , lorsqu'en le soumettant à des observations précises, on parvient à des mesures d'angles et à un rapport de dimensions qui le ramènent à la symétrie dont il semblait d'abord s'écarter , et qui sont la source de celle que la cristallisation a répandue sur les variétés secondaires qui en dépendent.

Pour mieux faire concevoir ce que je viens de dire , je partirai de la forme que j'ai nommée déciduodécimale , que représente la figure 3o3 , et qui réunit aux pans d'un prisme décaèdre symétrique , des sommets à deux larges faces P , j^ , qui se réunissent sur une arête perpendiculaire à l'axe, et dont la première a ses deux bords les plus longs

DE CRISTALLOGRAPIUE. 557

remplacés par deux trapèzes adjacens à deux autres qiii remplacent les angles solides, à la rencontre de Tarète terminale et des pans M, M.

La division mécanique des cristaux de cette variété a lieu parallèlement aux faces P, M, T. Les joints qui répondent à P, M, sont très nets et faciles à obtenir. Celui qui répond à T est souvent ineensible, ou se laisse seulement entrevoir. J'ai cependant des fragmens sur lesquels on le distingue presque aussi facilement que les deux premiers; mais il en diffère en ce qu'il est moins éclatant. ÏjCS lace» P, M sont exactement perpendiculaires l'une sur l'autre ; la face T fait avec la face M un angle de lao'', et avec celle de retour un angle de Go**. On voit déjà, d'après ces premières données, cpie le parallélépipède offre la réunion de trois angles earaclérisliques des formes les plus régulières, savoir, l'angle droit et ceux de 120"* et de Go''. Use rattache encore à la symétrie, par le rapport de ses diiiicn- ' sions, ainsi qu'on va le voir.

Soit AR (fig. 3o4) ce même parallélépipède, dont nous supposerons les faces BRGO, GOAD, B<)AH, respectivement parallèles aux faces P, M, T (lig. .So3). Je remarque d'abord que k facey, d'après sa position, doit résulter d'un décroissenient, soit simple , soit intermédiaire, sur l'angle IlliO {fig. 3o4). Or, il est d'autant plus naturel de le supposer simple ^ que d'autres variétés offrent de» làcettes dues à de* , décroissemens qui ont lu même ligue de départ, avec J

558 • 1 RAITÉ

des inclinaisons diflerentes, et que ces sortes de successions n'ont lieu que relativement à un ensemble de décroissemens ordinaires, c'est-à-dire dont les actions sont dirigées parallèlement à des arêtes ou à des diagonales.

Maintenant, uy (fig. 3o3), qui est parallèle à la ligne de départ, fait sensiblement un angle droit avec la face M prolongée , ou , ce qui revient au même, sa position est horizontale, dans le cas où les faces M, T sont situées verticalement. Or, par la nature du décroissement, uy est parallèle à la diagonale OR (fig. 3o4). Donc aussi cette diagonale est située horizontalement. Cette observation va d'abord nous donner le rapport entre GP et PL perpendiculaires sur AO. ' Menons OZ parallèle à PL, puis ZR. Le plan OZR sera horizontal ; donc il sera perpendiculaire sur le plan vertical BRNH. Mais BOGR, d'après l'observation, est aussi perpendiculaire sur BRNH ; donc, la commune section OR des deux plans OZfl, BOGR, sera de même perpendiculaire sur BRNH ; donc eUe le sera sur RZ. Donc l'angle ORZ est droit ; mais OZR, qui mesure l'incidence de BOAH sur BRNH, est de 60^; donc 0Z=2RZ, ouPL = 2GP.

Nous connaissons déjà deux des angles saillans du parallélépipède, l'un de qo*^, que font entre elles les faces M, P (fig. 3o5) (i), et celui de 120**, qui donne l'inclinaison de M sur T. Nous pouvons main- Ci) Cette figure représente le même parallélépipède que figuce 3o4i avec sa notation.

DE CIllSTALLOGUAPlUE. 3j;)

tenant déterminer le troLsième, qui mesure l'incidence de P sur T, ou de P sur la face opposée à T. Je prendrai pour donnée celui que forme la face P (fig. 3o3) avec l'arête sp, et qui est le même que DGO (11g. 3o4). Supposons que tbns le triangle GOP, on ait GP ; OP :; 3 ; \/^. Ce rapport donne aS'' 14' pour l'angle OGP; d'où il suit que DGO, ou l'angle formé par la face P avec l'arête ep (fig. 3o3), est de ii5'' i4', ce qui s'accorde avec l'observation. Il 's'agit maintenant de déduire du même rapport l'incidence de BOGll sur GRND (fig. 3o4). Si du poiut R nous menons IlE perpendiculaire sur ZO , ensuite EX perpendiculaire sur la même ligne , puis RX ^ l'angle ERX-f-t)o'' donnera l'incidence proposée. RZ étant égale à GP , et BZ égale à PO , soil RZ=3, d'où il suit que BZ = v'3. Soit OZR(fig. 3oGj le même triangle que figure 3o4- L'angle RZE étant de 60**, nous aurons

RZ : ER :; a : Vj.

Donc ER ^ V^ ) et à cause de ROE ^ 3o'' ,