ER : OE

Donc OE 6= v^- Maintenant,

OZ(fig. 3o4)=3RZ=6, Ba= \/OZ'-i-BZ~^>/38 , B0:BZ::0E:EX, ou \/38V2"\/V:EX=v'Pi, ER:EX:: v^: VU" VT^: V^;

ERX= 21'' 4o'. Donc l'incidence

36o TRAITÉ

db P sur la &ce opposa à T(£lg. 3o5) est de 1 1 1^ 4<>S ^ ^^® de P sur T est de 68^ ao'. Lepremier de ces angles est celui que fonne la &ce P avec celle qui est adjacente à gp (fig. 3o3), derrière le cristal, et qui est parallèle à T. Cet angle , mesuré sur des cristaux où les deux &oes dont il s'egit sont d'une grande netteté, est très sensiblement d^ 1 1 1^ f.

Pour compléter la détermination du parallélépi-» pède, menons AG et CS (fig. 3o4) > perpendiculaires Tune sur GO , l'autre sur le prolongement de BS. Si nous connaissions la loi du décroissement qui^ en ag^ant parallèlement aux bords GO, BR, produit les &cettes cgioy bzap (fig. 3o3), nous aurions le rapport entre AG et GS. L'incidence de ces fiir cettes, tant sur la baseP (fig. 3o3), que sur les fiioea latérales M , est très sensiblement de 1 35^, et de plus^ celle de M sur P est de 90^. Or, l'idée qui se présente comme d'elle-même , et que confirme une observation que je citerai bientôt, est que le décroiasement dont il s'agit a lieu par une simple rangée ; d'où il suit que GA (fig. 3q4) = GS, et que les deux &ces BRGO, GO AD, sont aussi ^ales.

Il est fitcile maintenant d'avoir le rapport entre OR et OT , perpendiculaires l'une et l'autre sur B0« D^unepart,

OKxBOssPLxAO.

I^une autre part,

OTxBO?=ORxGO,

DE CRISTALLOGRAPHIE. 3Si

ea, à cause de réalité des faces BRGO, GOAD,

0TxB0 = GPxAO=iPLx;AO,

par une suite de ce que PL = 2GP. Donc

OK X BO : OT X BO : : PL X AO : i PL X AO.

D'où l'on tire OR == aOT.

Il résulte de ce qui précède, que le parallélogramme qui passe par les points A, C, S est un carré; que dans celui qui passe par les points G, P, L, et dont le» angles sont de i ao'^ et 60'', le côté PL est double du côté GP, et que dans celui qui passe par les points K., O, T, et dont les angles sont de m'' ^o' et 6S^ ao', le côté OK est aussi double du côté OT. Par une suite nécessaire, les deux face» BRG(), GOAD, sont égales en étendue, et la face BOAH est double de cbacune des deux autres. Cesdinu'iisions, qui sont aussi celles de la molécule inlégianlc, Raccordent avec une observation que j'ai citée ailleurs, et qui consiste en ce qu'en général les joints naturels les plus éclatans et Ii» plus faciles à obtenir répondent aux facettes de la molécule qui ont le moins d'étendue, et réciproquement. Dans les cristaux de feldspath, ceux qui sont parallèles aux faces P, M, ont le même degré d'éclat et de netteté, ce qui est d'autant plus remarquable, que les faces qui leur correspondent ne sont pas semblables, en même temps qu'elles sont égales en étendue. Celte égalité, q^ui dépend de la couUîlioii que les décroisscmeus

qtii ttonnent Ica luccttes agio, bxav r%. 3o3), :i lieu par uoe simple rangée, achève de motiva l'existence de celte loi, A l'égard des joints pan lèles aux faces T (fig. 3o5) , (pli soûl doubles premières, on conçoit comment ils résistent l>eaii coup plus rpie les autres à la divisiou inécatiicjueJ cl ont moins d'éclnt, dans le cas où ils se inunli-ei le plus sensiblement.

On trouve, aux environs de Clermont, dans ) département du Puy-de-Dôme , des cristaux i et nettement prononcés, qui présentent lu l'urill primitive donnée immédiatement par la nature. IjCS feldspalbs porpliyriqiies du même pays rculermcnl pUisieui-s variétés secondaires du même minéral, parmi les<^|uclles on distiutpie celle que j'ai nomn déciduodécimale, et qui a servi à nous diriger c ta recberclic des angles et des dimensions de la forma dont je viens de parler.

P4ous pouvons maintenant aller plus loin , et aebever de déterminer le» différentes lois auxqnelluB c|^h soumise la slructurc de cette variété , dont une seo^l nous est connue, savoir, celle du décroisscmcnt pair une rangée sur les bords D, C (fig. 3o5), d'où dépendent les tâcettes n, rt (llg. 3o3). Mais je auparavant faire remarcjticr une propriété c|ni parallélépipède du feldspatli partage avec d'auti formes primitives, et spécialement avec le rbomboïdal oblique. Elle consiste en ce que desi ( croissemeiis qui out Lieu simultaaément par d

ftéral.

DE CRISTALLOGRAPHIE. 3fj3

dillïrciites, sui- des parties ((ui ne tiont pas idenliriaes, peuvent feire naître des faces q^alementinclitiées en sens contraire. 11 en résulte un aspect symétrique cjue la loi de symétrie n'exige pas, mais qui ne lui fait pas exception. INous commencerous par les faces latérales.

Soit cryp (fig. Soy), la coupe du noyau prise par un plim perpendiculaire au\ faces M, T (iig. 3o5), et aux arêtes G, H; et sous-divisée en petits parallélogrammes qui tieront les coupes analogues d'autant de molécules intégrantes. Le décagone ;m/Kiac(/s^0', représente la figure de la même coupe , prolongée jusqu'aux pans du prisme, de mauiàre que mn ré- .pond à M (fig.3o3),^m (flg. 307) à z (iig.3o3), jy à /,6n à z', ao k T, cl ainsi des autres. Or, lesdécroissemensqui donnent les faces /, z, s.\ etc. (ii^. 3o3), aynnl lieu sur les arêtes verticales qui passent par les angles y, r, etc. (Iig. 307}, il est aisé de voir que l'assortiment de tous les petits parallélogrammes situés au-delà des eûtes M, T, etc., est composé des coupes des dîQ'érentes lames de super- . position qui s'appliquent sur les pans M, ï (Iig. 3o5), eu vertu des lois de décroissement dont il s'agit.

Maintenant , si nous comparons la face / (Iig. 3o3) , qui est dirigée suivant /j (fig. 307), avec la face adjacente à l'arête 3" (fig. 3o3}, (|ui est l'analogue delà face T, et dont la direction est (?/" (fig. Soy), il est aisé devoir que, relativement à celle-ci, le ' décroissement est séro , et qu'à l'i'gard de l'autre,

364 TRArrÊ

il a Keu par deux rangées en hauteur sur Taréte verticale qui passe par j. Or, le grand côté fcr de chaque petit parallélogramme , tel que gi\jLf y étant double du petit côté gfi , il en résulte que les deux côtés gi ,fê du triangle fg6 sont égaux; et parce que FangleyÉjÇ=6o^, le triangle ^e/^est équilatéral. Donc

C'est-à-dire que la fiice / qui résulte du décroissement indiqué , a la même inclinaison en sens contc^ire, que la &ce adjacente k T, relativement ai laquelle le décroissement est zéro.

Comparons de même la face z (fig. 3o5), dirigée suivant my (fig. 807), avec la face z! (fig. 3o3^> dont la direction est on (fig. 3o7). La première naît . d'un décroissement par quatre rangées sur Parête verticale qui passe par l'angle ^ , et la seconde est parallèle à celle qui naîtrait d*un décroissement par deux rangées, sur l'arête verticale qui passe par l'angle r. Or, dans le triangle y km , l'angle k est de 60*^ , et le côté ky est double du côté km ; d'où U suit que l'angle m est droit , et l'angle kym de 3o*** D'une autre part, dans le triangle ozn^ l'angle r est de 120^, et les deux côtés zo, zn sont égaux. Donc les angles r/zo, zon sont chacun de 3o^; et ainsi la face z\ qui résulte d'un décroissement par deux rangées , a la même inclinaison en sens contraire que la face z , produite par un décroissement double du premief . Les mêmes conséquences s'ap-^

nliquent au?c.au(rcs iàces latérales, qui sont la répétition des précétlentes.

On voit, par ce qui vient d'être dit, que les pans M, T, Z (fig. 3o3), et les trois qui leur sont parallèles, ibnt entre eux des angles de ijo"^, comme ceuK d'un prisme hexaèdre régulier; et si l'on rétablit les quatre autres pans, et que l'on suppose Fies arêtes ^^,f^, remplacées par deux nouveaux pans paiement inclinés sur leurs adjaceus, on aum le ■'«outour d'un prisme dodécaèdie dont tous les pans {.formeraient entre eux des angles de i5o'^.

PJous avons supposé que la lacc^ réstdtait d'un K^roissement ordinaire sur l'augle I (fîg. 3o5). 11 est l&cile de s'assurer que ce décroissement a lieu par une ■pingée. Car l'angle ROG ( fig. 3o4) étant droit, ainsi rque l'angle ROA , il en résulte que dans le triangle Lmensuralcur bcd (lig. 3o8), le côlé cd qui représente ■l'excès eu largeur d'une lame de superposition sur ■la suivante, sera au côté cb, qui représente l'excès 1 liauteur, comme GO (fig. 3o5} est à OA. Remarquons d'abord que la ligne OR est parallèle et la petite diagonale du parallélogramme qui r les points G, P, L, et dans lequel l'angle H

paf se par les points >

I est de 1 ao*' , et le côté PL est double du côté GP. f Donc

OR : GP :: \/3 : i.

^Mais, à cause de Tégdlité des faces GOAD, GOBR, GPxOAeORxGO.

Donc

^ OA : GO :: (MR: GP :: \/3 : i :: ftc :cc?(fig. 3o8).

D'ailkun l'asigle bod^=;s 64^ ^&ià^9Lprès ces données^ on trouve .34^. 2^' pour la yaleur de l'angle cb^^ .et ajoutant celle de l'angle GOA (fig. 3o5) = 64^ 46^, OQ a ggl^a9^p0or l'incîdeDoe de P sur jr (fig. 3o3), ce ipà 49opurde arec ifdbeerratkm.

La prpprîété de donner^ par des lois difl&enle» dedécroisseDient, des fiices également inclinées en Beus contraire.) détend à cdles qui naissent sur les bords ou sur les angles de la base. Nous en avons un exanple dans les faces s y à' (fig. 3o3) , dont la* première résulte d'un décroissement par deux ran-^ gées en largeur sur le bord F (fig. 3o5) de la base^ et la seconde, d'un décroissement par deux rangées &i .hauteur sur l'angle Aie ( fig. 3o5 ), et que nous considérons comme tel^ pour plus de simplicité , parce que si on le rapporte à l'angle AIO de la base y il devient intermédiaire. Yoici comment on peut démontrer la corrélation dont il s'agit.

Soit ar (fig. Zog) la forme primitive déjà représentée figure 3o4. Si je mène rc (fig. 809) par le milieu de &> , le triangle ver sera isocèle. Pour le prouver 9 je mène oz perpendiculaire sur i/i, et c/* perpendiculaire sur oz. co étant la moitié de 06, ijfsem aussi celle de oz j mais le triangle ozr étant perpendiculaire sur obha et bmh, et Fangle ozr étant de 60^, il en résulte qaefr^s^rz. Donc le triangle

DE CRISTALLOGRA.PHIE. 3G7

rfz esl équiiatéral , cV-^t-à-dire que fr^^fz^of;

OIIC oc := cr.

Mamtenanl, je remarque qae as (Hg. 3o3) coïn-

jteïîe avec le bord supérieur B (fig. 3o5) «le la face

Btérale parallèle à T. De plus, cy (lig. 3o3) , qui

Best la ligne de départ du décroissement d'oii dépend

Kib facette s, est sensiblement parallèle à as, d\)ù il

lit que ce décroissement a Heu sur l'arête F. Sup-

Mons deux rangées de soustraites en largeur. Ayant

li>roloDgé le plan goad (fîg. 3o()) d'ime quantité é^ale

^à lui-même , de manière que oxza représente le prc-

longement, si je mène ou par le milieu de xz , et

jpk par le milieu de oa , la facette s ffig. 3o3) sera

larallèlc au plan bon (lig. 3og) ; et par une suite né-

»ire, au plan rgk.

Soit mnr (lïg. 3 10) le triangle mensuratcur, dans

feequcl l'angle mnr sera égal à l'angle TOK (fig. 3o5),

p^est-à-dire de SS"* 20', et mn (fig. 3io) sera à nr

»mme OT (fig. 3o5) est à î OK.; d'où il suit que

mmn (fig. 3 10) ::^nr. Donc cliaciui des deiL\ angles

Wnmr, mrn:=:55'^ 5o'. Ajoutant à l'angle ra/nr68'' 20',

fquiest la valeur de l'angle TOK ( lîg. 3o5), j'ai

la^** 'o' pour l'incidence de s sur P (fig. 3o3^ , ce

qui est conforme à l'observation.

Je passe à In facette s', et j'observe que sou bord t est parallèle à sa, qui a la même inclinaison, en sens contraire, que as, d'oîi-il suit qu'il est aussi incliné de la même quantité^ en sens coatralre.

qM cy. Mais cy est parallèle à oc ( fig. 3og ) , et puisque or est horizontale, et que le triangle ocr est isocèle y il en résulte que cr, qui a la même inclinaison, en sens contraire , que oCj est parallèle à uz. Maintenant, si je mène nf parle milieu de bhy die. sera parallèle kou ou à gk'y d'où il suit que le plan , rcp est incliné de la même quantité , en sens con* traire , que le plan cou , et ainsi il est parallèle à la facette s' (fig. 3o3). Or, bc=^ioby bp^=^\bhj et

br est un des côtés de la base. Donc le décroisse^

I 1 ment a pour signe (fig. 3o5 ) "1.

Le signe complet de la forme est

G-G^M'HTÎPCDn.

II 8. Je vais décrire quelques autres fi^rmes du même minéral, que je choisirai parmi les plus simples, à l'exception de la dernière, parce qu'elles me paraissent remarquables par l'aspect symétrique qu'elles empruntent de cette simpUcitéw

La première est le feldspath unitaire (fig. 3ii),

dont le signe est MIP. Les faces P, y étant des

rectangles, et la face M un parallélogramme obliquangle , on voit que cette variété s'offre sous l'aspect d'un prisme rectangulaire obUque , dont la base sera P , d'après la position indiquée par la figure. Mais l'idée qui se présente à la vue d'un cristal de cette forme, est de le mettre dans la position contraire,

DE CRISTAJLLOGRAPHIE. 369

où ses pans seraient les faces P, M, et sa base la &cej^y parce qu'elle s'accorde mieux avec les dimensions ordinaires des prismes , dont la plus longue est dans le sens de l'axe. Ainsi, il ne faut qu'un seul décroissement par une rangée po|p* transformer le parallélépipède primitif en un autre, dans lequel il ferait difficile de la reconnaître, sans le secours de la théorie. L'incidence de P suip y^ d'après ce qui a été dit plus haut, est de 99^ 29^ On trouve des cristaux isolés de cette variété, dans le département du Puy-de-Dôme.

La seconde variété est le feldspath ditétraèdre

(fig. Sis), qui a pour signe G'XIP* ^ forme est

celle de l'octaèdre que j'ai nommé rectangulaire^ et qui appartient, comme primitive, à l'arragonite et à diverses autres substances , où sa position naturelle est la même que dans le cas présent , c'est-à-dire que la plus courte des arêtes situées au contour de la base commune des deux pyramides dont il est l'assemblage est horizontale, comme ici Faréte €. Cet octaèdre est alongé dans le sens de l'axe qui passe par les milieux de € et de son opposée, en sorte que ses angles latéraux sont remplacés par deux arêtes longitudinales d", 9i, et c'est ce qui a lieu encore fi équcmment dans l'octaèdre de l'arragonite, et des autres substances. L'incidence de P sur x est de 138^ 5i^ On trouve des cristaux de cette ferme au Saint-Gothard.

La variété précédente se résout en deux autres , dont Fune, que Ton rencontre très rarement, est le feldspath binaire (fig. 3i3). Son signe est K^TP,

et sa forme est celle d'un prisme rbomboïdal oblique, dont les pans sont inclinés entre eux de lao^ et 60^, et dont la base P fait avec l'arête y un angle de 115^14'.

La même forme se retrouve dans l'autre des variétés dont j'ai parlé , avec la différence que sa base est située en sens contraire, ainsi qu'on le voit figure 3i4*

Elle a pour signe G*TI , et porte le nom de /eld-

l Tx

spath imitatif. L'incidence de sa base sur l'arête {A est de II 5^ 55', c'est-à-dire plus forte d'environ f de degré que celle qui a lieu dans le feldspath binaire. On trouve au Saint-Gotliard des cristaux très prononcés de cette variété.

Parmi les formes que je viens de citer, il en est trois qui appartiennent, comme formes primitives, à diverses espèces de minéraux, savoir, l'octaèdre rectangulaire, le prisme rectangulaire oblique , et le prisme rhomboïdal oblique, qui est double, ainsi qu'on l'a vu. Mais aucimô de ces formes ne pourrait être substituée, comme noyau hypothétique, au véritable , qui est le parallélépipède que l'on obtient à l'aide de la division mécanique 3 car il est facile de concevoir que l'on ne pourrait en faire dériver la forme de celui-ci, qui alors devrait être consi-

dérée comme secondaire, sans contrarier la loi de symétrie (i).

Je terminerai par la description de la variété ap- ^élée feldspath quintuplant, que représente la figure 3i5, et dans laquelle la coïncidence des faces s et X donne naissance à un caractère particulier de symétrie, qui consiste en ce que les intersections de s avec M et Xy où les lignes tt, €, 'qui sont les plus longs bords de s , sont parallèles entre elles. C'est ce qu'il est facile de démontrer.

Soit bd (fig. 3 16) le parallélépipède primitif, tel qu'on l'a déjà vu figure 3oq. Le plan rof{fi^. 3 16), qui passe par le milieu de bh , est parallèle à la face X (fig. 3 1 5). Par un point quelconque de l'arêteg^o, je mène /tz^ parallèle à rfj et ensuite ty parallèle à qf'y le plan mty est de même parallèle à la face x (fig. 3i5). D'une autre part, le -plan grfh (fig. 3 16), qui passe par les milieux de oa et bhj est parallèle à la face s (fig. 3i5). Or, les sections mf, gk des

(1) Rome de Tlsle^ qui avait d'abord assimilé la forme primitive da feldspath à un parallélépipède rhomboïdal, dont il n'indique paii les angles , a fini par se conformer à Topînion de Saussure^ d'après laquelle cette forme serait celle de la variété unitaire. Mais il s*est trompé au sujet de Tincidence de P sur y y qu*il suppose être de ii5^> au lieu qu'elle n'est que de 99'^ 4o^ ( Crbtallographie , t. II , p. 4^7 et tuiv. ) Suivant M. Jameson, la forme primitive dont il s'agît est celle du feldspath dttétraèdre. (System ofMineralogv, 1. 1» p. 568, éilit. 18 16.)

deux plans m/y, grfk , sur un même plan goady étant parallèles, la commune section yv des mêmes plans sera parallèle , soit à mij soit à gk ; mais yv répond au bord supérieur tt de la face a (fig. 3 1 5) , et mt (fig. 3i6) à son bord inférieur £ (fig. 3i5); donc ces deux bords sont parallèles l'un à l'autre. A l'aide de ce parallélisme, les deux parties du sommet auxquelles appartiennent les faces P^ :r, s'assimilent entre elles , et toutes celles dont se compose l'ensemble de la forme se trouvent en harmonie les unes avec les autres. J'ai observé cette forme sur des cristaux du département de l'Isère.

Le feldspath présente aussi des hémitropies, mais elles sont du même genre que celles qui ont été décrites dans l'article où j'ai traité de ces modifications.

1 19. Le dernier des exemples relatifs au but de cet article aura pour objet la détermination de la molécule intégrante de l'épidote. Les cristaux de cette substance se divisent parallèlement aux pans d'un prisme d'environ 11 5^ et 65*^. Les joints naturels que cette division met à découvert sont très nets, surtout dans les cristaux d'Arendal, en Norw^e. Le prisme se sous-divise , mais avec moins de netteté, dans le sens d'un troisième joint, qui £dt des angles inégaux avec chacun des premiers j et comme ce joiut correspond à la petite diagonale de la coupe transversale, il en résulte que les côtés de celle-ci sont inégaux. La di> isiou mécanique donne

DE CRTSTALLOGRAPinE. ^

«m autre joinl perpendicuIaireàravccIucnsUil, mnis Bioitis SL'nsiljIe que les précédens. Aiiisi la forme pri- Jmilive est uo prisme droit PMT (fig. 3 17), qui a pour base un parallélogramme obliqiiangle. Ce prisme représenle la molécule soustracûve dont U s'agit de -déterminer les dimensions.

' Pour y parvenir, je choisis la variété ijue je nomme amphihexaèdrt; , et que représente la ligure .'îrfi. Je Tcniarque d'abord «pie les faces M, T sont parallèles Bux pans de la forme primitive, et que la liicc r est daus le sens du joint quisous-<livisecette forme diagonalement. Soit im (lig. 319) cette même forme; ayant mené uk perpendiculaire sur dm, je cbcrclic le ra|>port entre cette ligne et dft, en prenant l'angle udm pourdonnée. Cet angle, mesuré avec soin , se trouve un peu plusgrandqueGS''. Pour faciliter la recherclie ëoiit il s'agit, j'ai recours à un procédé dont je fais «cuvent usage , lorsque l'angle que je me propose de déterminer approche de celui qui est donné par un rapport simple entre les côtés analogues à uk et (M, 4)1 sorte que ce dernier rapport m'est resté dans la ttiémoire.

Dans le cas présent, ce rapport est celui de 2 à i , d'après lequel l'angle kdu est de 63'' j. Cet angle étant trop petit, j'essaie le rapport de V5 à l, ^oix je déduis pour l'angle cherché 65^ 54', qui est sensiblement trop fort. J'en conclus que le vrai rapport est entre celui de V4 à i et celui de V^ à 1. Doublant les termes de ces deux rapports, pQUc av(

un inlermédiaire, j^ai, d^une part, \/8 a V^> et

de l'autre Vio à ^2. J'essaie l'intermédiaire V9 à

Va , qui me donne l'angle de 64** 4^', un pfeu trop faible. Je triple les termes des deux rapports , et

j'ai*v/i5 r \/3 et \/T2 à \/3> avec les deux intermédiaires v/Ï4 à v/3 et v/î3 à V^ j le premier donne 65^ 10'; je m'en tiens à ce rapport, dont le résultat s'accorde sensiblement avec l'observation. Dans le même cas , l'incidence de M sur T est de ii4^5o'.

Maintenant , mon but est de déterminer le rapport entre les côtés C, B (fig. 3ig), en nombres rationnels, pour faciliter les calculs relatifs aux décroissemens sur les différentes parties du noyau. Soit dulm (fig. 820) le même parallélogramme que figure 3 19. Je mène la diagonale mu y puis dg parallèle à mu y et prolongée jusqu'à la rencontre de gu.

La face r (fig. 3 18) étant parallèle au joint naturel qui sous-divise diagonalement la forme primitive, l'angle gdm (fig. 32 o) sera égal à l'incidence de M sur r (fig. 3 18). Or, la mesure mécanique donne pour cette incidence un peu plus de 1 16^. Je suppose, pour un instant, qu'elle ait exactement cette valeur; j'aurai donc W77ic?=64^ (fig. 320), et dum=:5o^5o\ La demi-somme des angles dmu^dum sera donc de 57^ 25', et leur demi-diflférence sera de 6^ 35'. Je fais cette proportion,

du-i-dmldu^dm r. tan^ 57^ 25' : tang 6^ 35'.

Retrancliant le logarithme du quatrième terme de celui du troisième, j'ai pour différence celui de 1 3,56 à peu près. Je substitue 1 4 à ce nombre. Dans cette hypothèse,

dêù^dm : du-^-dm :: i4 : i ,

et la proportion devient, en laissant le quatrième terme inconnu ,

i4 : I :: tang 57^25' : tang -.

Je trouve - = 6*^ ^3', d'où je conclus que Pangle

rf/iitt = 63^ 4Ô', et que l'angle gdm'=. ii6** 12', ce qui s'accorde avec l'observation citée plus liaut. 11 suit de là que

du (fig. 319) : dm :: i5 : i3 :: B : C.

11 reste à déterminer, de même en nombres rationnels , le rapport entre C et G , ou entre B et G. Je choisis le second. J'ai besoin , pour le trouver ^ d'une donnée qui me sera fournie par les positions des faces n^ ri (fig. 3 18). Je remarque que l'intersection y de la^ face n avec la face r est perpendiculaire sur l'arête d*; d'où je conclus que la face n résulte d'un décroissement ordinaire sur l'angle udm (fig. Sig), ou E (fig. 317). Soit ^«^^(fig. 32i) le triangle mensurateur; si je mène ci^ (fig. 3 ig) perpendiculaire sur la diagonale mu^ et si je suppose que le décroissement ^ lieu par uoe rao '

(fig. 3a i) sera à iJ^ :: efe (fig. 319) IdxoxkG. Fai:^ sant df£/ = i5 et dm^=: i3, conformément à ce qae j'ai trouvé ci-dessus, je cherche l'expression du logarithme de de. Or, cfe=: — • — , uk;=: i5 Vi^y

dm:=i3y ri sip i^mdf ==: sin 63^ 4^^ :: umluky

ce qui me donne

log um=i i,i8ioi33.

Substituant à uk^ dm et um leurs logarithmes, j'ai

log eZ^ = 1,0668609.

Maintenant, la mesure mécanique ayant donné sensiblement laS^ 3o' pour l'incidence de n sur r (fig. 3 18), il en résulte que dans le triangle mensurateur (fig. 3a i), l'angle J^s est à peu près de 35^ 3o'. Or, l'angle de 35^ 16', qui en difiere peu, est un de ceux qui se présentent souvent sur les" cristaux; par exemple, il est la moitié du petit angle du rhombe , dans le dodécaèdre rhomboïdal , et de la plus petite incidence des faces de l'octaèdre ré-* guher , et le rapport entre son sinus et son cosinua

est celui de i à V^a , en sorte qu'on l'a toitjours^ présent à l'esprit. En l'adoptant, dans le cas présent, et en se rappelant que le logarithme de de (figw 319) est 1,0668609, on trouve pour le logarithme de dz 0,9208187, qui répond à peu près à 8 -H ^ ; mais ce nombre étant un peu trop faible , parce que j'ai supposé J^e (fig. 32 1) =35*^ 16', je

lui substitue S-f-j) ou -/. L'angle 9y^ qui s*en déduit est alors de 354 3a', et VincideDce de n sur r (fig. 3 18) est de 12$^ 32^, conformémeot à Fobserr Tation.

J'aurai donc

du (lîg. 319) est à dz ou mn :: i5 : îr :2 9 î5.

J'ai eu d'ailleurs

du\dm\\ \^\i^^ et «A: dît :: V/I4 : v/3,

ce qui suffit pour être en état de déterminer les résultats de tous les décroissemens sur les différentes parties du noyau.

lao. J'ajouterai ici les descriptions de deux autres variétés du même minéral.

La première , que représente la figure 3a3, et que ]'ai nommée épidote sexquadridécimal y se trotive dans le département de l'Isère, en cristaux d'un petit diamètre et d'une forme alongée, qui, dans une partie des morceaux , passent à la forme aciculaire.

Son signe est TM'G'CBE P. Yoici les mesures de

TMr, oatfP

SCS principaux angles. Incidence de M sur T, i i4^5o^; de M sur o, lai^ a8'; de M sur r, iiG* 12'j de T sur Zy 124^ i5'; de M sur P, 90^5 de^surr, i45**. La seconde variété, qui est très rare, a été découverte à Arendal , en Norw^e , où ses cristaux sont d'un volume plus ou moins considérable. Le plus gros de ceux qui sont dans ma collection a

5 centimètres (enviroxi 20 lignes) de hauteur, sur une épaisseur dé 3 centimètres (environ 1 3 lignes) ; mais on en a trouvé de beaucoup plus volumineux. On voit (figure 333) la projection de leur forme.

Ces cristaux, ainsi que d'autres du même pays, qui offrent des variétés difierentes , avaient été rangés, par les premiers observateurs, sous le nom à^akanticone {pierre de serin) , tiré de la ressemblance entre la couleur jaune verdâtre de leur poussière, et celle du plumage de cet oiseau. L'examen de leur structure me les fit reconnaUre pour une nouvelle variété d'épidote, et ce rapprochement est aujourd'hui généralement adopté.

Le signe de la variété à laquelle ils appartiennent

est 'G'G'G^MT'GÈCCÀBBE E» (1).

r S i MTlnhoduzqy

Cette variété, dont la surface est un assemblage de 48 faces, 18 pour chaque sommet , et 12 pour la partie moyenne, naît du concours de douze lois de décroissement , dont les effets se combinent avec les pans M , T de la forme primitive. C'est la plus composée qui ait été observée jusqu'ici , et cette espèce de maximum sert à mieux faire ressortir la simplicité qui règne dans l'ensemble de ces lois, que Ton

(1) Le signe E» est réquîvalent, sous une forme plus simple, de celui que j'avais adopté dans mon Traité, et qui exprimait un décroissement intermédiaire sur les angles E , )tf (fig* 3i7) de la base.

croirait avoir été choisies parmi celles vers lesquelles la cristallisation semble être entraînée de préférence, ' par cette même simplicité, et dont les résultats s'ofilrent de toutes parts dans les formes ordinaires.

121. Les exemples qui précèdent me paraissent suffire pour donner une idée des principes sur lesquels est fondée la métliode qui en est le sujet, et de la marche qu'elle doit suivre pour arriver à son but. 11 me reste à exposer diverses considérations qui, je l'espère , répandront un nouveau jour sur ce que j'en ai dit et achèveront de la motiver.

J'expliquerai d'abord en quoi consiste l'artifice de la méthode. Les rapports qui portent le caractère de simplicité auquel on reconnaît les points fixes d'où part la théorie , se montrent par intervalles dans la série de ceux que donnent les divers angles qui sous-divisent la circonférence. Si un de ces rapports simples se trouve à une assez petite distance du rapport compliqué auquel conduit la valeur de l'angle qui a été mesuré immédiatement a l'aide du goniomètre , pour que la différence entre cet angle et celui qui dérive du rapport compris dans la séi^ie paraisse susceptible d'être négligée, je substitue ce dernier rapport à celui qu'a donné la mesure mécanique.

Quelquefois , au-delà de ce rapport , on en rencontre un autre qui n'en est pas éloigné, et qui, considéré en lui-même , satisfait à la condition exigée. Mais ordinairement l'angle dont il dépend diflere assez de celui que donne le premier rapport, pour

58o TRAITÉ

qu'on ne soit pas exposé à prendre un terme fixe pour l'autre. Je vais en citer un exemple que ]e

tirerai du quarz. Je reprends le rapport \/i49 ^

V24^9 qui dérive de la mesure trouvée par M. Màlus, pour l'inclinaison de chacune des &ces de la pyramide sur labase. J'ajoute d'abord unie unité à 1 49,pour avoir

le nouveau rapport v/i 5 à V^-J'^joutedemême

une unité à 24?^*^ j'arrive au rapport V^i5 à y^Ty

ou V^3 à V/5, qui ne diffère que de ^ en plus^ .

du rapport V^5 à \/8 , et qui est même plus simple. J'en déduis l'inclinaison qui <;orrespond à celle dont j'ai parlé, et je trouve qu'elle est de 142** i4'> ^^ lieu de i4i^ 4^% c'est-à-dire qu'elle en difiere de 34' en plus. Or , cette difiérence étant de celles qui ne peuvent échapper au goniomètre, j'en conclus que le

véritable point fixe est le rapport de \/5 à v/8.

Je me propose maintenant de faire voir que les" diverses applications de la' théorie, telle que je lar conçois , aux différens cas que l'on peut considérer dans la détermination des molécules intégrantes et de tout ce qui en dérive , ont leur source dans cette idée si satisËdsante et si vraie , qu'en général la nature tend vers l'uniformité et la simplicité. Les rapports entre les dimensions des formes limites possèdent éminemment cette dernière propriété. Les points fixes qui représentent ceux dont les autres formes dépendent la font reparaître ; et dans les cas où ces formes sont prismatiques, un autre genre de simpli-

'nié, savoir, celui qui naît des lois de décroisseiiieut giriscs dans leur ccseiuLIe, se présente pour compléter la détertnitialion des rapports dont il s'agit.

J'ajoute que les lois de décroissement elles-mêmes, lorsqu'elles ne sont pas iudiquées jiar l'aspect de la forme, peuvent être déterminées avec certitude d'après la raison <le la plus p;rande simplicité. Ainsi eu mesurant, à l'aide du goniomètre ordinaire, l'inclinaison respective des pentagones du fer sulfuré dodécaèdre à la rencontre de leurs bases, je trouve qu'elle îipproclie Iicaucoup d'être égale à 137''. De plus, le «.'alcul m'apprend que dans l'hypothèse où le décroissement qui produit ces pentagones aurait lieu par eux rangées en largeur sur les bords du cube pri- Bilif qui leur servent de lignes de^ départ ,1 -iiicliiaison dont il s'agit sei'ait de la&'Sa' 12"; j'en conl«clus que cet angle est celui de la nature , et la lliéorie me donne la valeur exacte de cette petite différence de 7' 48", que l'instrument ne peut saisir.

Je vais citer un autre exemple que je tirerai de 1» loi de décroissement qui donne les faces r, r (fig. Soa) de la variété d'étain oxidé qui m'a servi pour déterminer l'angle fondamental de l'octaèdre primitif de ce minéral. Nous pouvons, pour plus de simplicité , substituer à l'octaèdre primitif, comme noyau hypothétique, le prisme symétrique dont la base coïnciderait avec celle qui est commune aux deux pyra- ^^piuides dont cet octaèdre est l'asseinblage ; d'où il suit ^H^e les palis coïncidcraieut avec ceux qu'iiidi<jucnt

38a TRAITÉ

les lettres /, / (fig. 3oa). Soit abcd (fig. 324) '^^ coupe transversale de ce prisme. Dans notre hypothèse , les faces r,r' (fig. 3o2) résulteront d'un décroissement sur les arêtes longitudinales qui passent par les points a 9 b. Soient am, bfo y les triangles mensurateurs relatifs à ce décroissement , auquel cas l'angle anr ou bof mesurera la moitié de l'incidence de r sur /. M. Phillips indique pour cette incidence 126^ 4^ > ^^^^ ^^ moitié^ 63^a2'3o", est la mesure de l'angle a/zr, ou bof. Si la mesure est exacte , les nombres de rangées soustraites en laideur et en hauteur doivent être entre eux comme le sinus de 63^22'3o'' est au cosinus. Je trouve que le rapport entre l'un et l'autre est celui des nombres SgSSg, 443^^9 abstraction faite des secondes. Comparant ces nombres , je m'aperçois que leur rapport ne diffère presque pas de celui de 2 à l'unité. J'en conclus que ce rapport est le véritable. J'en déduis l'incidence de r' sur r, qui se trouve être de 127*^ 62' 16", et qui diflfère de 7' 1 2'' en plus, de celle qui a été indiquée par M. Phillips. J'observe que cette diflférence, qu'il est indispensable de négliger, est plus que le double de ceUe que j'ai cru pouvoir regarder comme nulle, pour ramener à une limite fixe le rapport entre es et cm. La mesure mécanique semble se tourner ici contre elle-mcmc.

122. Dans cet exemple, et dans ceux qui précèdent, je n'ai fait autre chose que me conformer à la marche générale des sciences physiques. Nos expériences ne sont jamais rigoureuses. Mais nous sommes

d^autant mieux fondés à les regarder comme décisivQS , lorsqu'elles ne donnent que de légères différences avec les résultats de nos théories, qu'on aurait plutôt lieu d'être surpris qu'elles n'en donnassent aucune.

Lorsque le célèbre G)ulomb fit les belles expériences à l'aide desquelles il démontra que les forces électriques et magnétiques suivaient la raison inverse du carré de la distance, les expressions numériques de ces forces , déduites des moyens mécaniques qu'il employait pour les mesurer, ne représentaient jamais bien exactement la loi à laquelle il supposait que ces mêmes forces étaient soumises. Mais elles la tou* chaient de si près, qu'il avait droit de rejeter la différence sur les petites erreurs inséparables de l'observation. Ainsi, dans une expérience relative au magnétisme, où la mesure des forces dépendait du carré du nombre d'oscillations que faisait, en 60", une aiguille ainuintée suspendue librement, et placée successivement à deux distances du centre d'action d'un barreau aimanté , dont l'une était double de l'autre , il observa que les nombres d'oscillations correspondantes étaient l'un de 4^ ^t l'autre de 2^ et quelque chose. Or , pour que les carrés de ces nombres, déduction faite du carré de i5 qui représentait Faction du globe sur l'aiguille, fussent entre eux dans le rapport invei'se du carré des distances, il fallait supposer que l'aiguille, dans sa seconde posi* tion, faisait 2^ oscillations plus ^, à très peu près.

Le calcu} dontiait ainsi la valeur précise d^une cor* rection que robservation laissait dans le vague.

On dira que le véritable résultat se présentait ici de lui-même, à la suite de la loi de la gravitation imirerselle, qui est la grande loi de la nature. Mais on ne peut douter que l'affinité, quoique sa manière d'agir nous échappe encore, dans l'état actuel de nos connaissances , ne soit aussi soumise à des lois également simples et constantes. Or, ce sont ces mêmes lois qui, en déterminant l'arrangement et les fonctions mutuelles des principes qui composent les molécules intégrantes, donnent naissance aux rapports entre les dimensions respectives de ces dernières, et c'est une raison de croire que la simplicité qui les caractérise a dû laisser son empreinte sur les rapports dont il s'agit.

En admettant donc que la méthode que je propose s'accorde avec la marche de la nature , on concevra éisément que le goniomètre ordinaire doit sutTire pour les mesures mécaniques, qui se réduisent à de simples tatonnemens autour des points fixes que l'on cherche. Mais j'avouerai, si l'on veut, la supériorité des instrumens qui ont été employés par des savans distingués pour mesurer , à l'aide de la réflexion , les angles des formes cristallines. Supposons que divers observateurs exercés à ce genre d'opérations, qui exige beaucoup de temps et une grande adresse , aient entrepris de déterminer chacun de leur coté le même angle fondamental sur des cristaux qui appai>-

tîenoent à une espèce récemment découverte. U est certain que les résultats de leurs mesures différeront plus ou moins les uns des autres. De plus, ils seront forcés de négliger quelque chose, pour déduire de ces résultats des rapports entre les dimensions de la molécule , qui aient la forme convenable pour être employés à manier la théorie relative auK formes secondaires ; et s'ils déterminent à volonté , et oonune par aperçu, la quantité qu'ils croient pouvoir se per* mettre de négliger , ib n'auront é\'ité un inconvénient que pour tomber dans un autre qui ne sera pas moindre. Supposons , au contraire, qu'ils se dirigent ^ diaprés la méthode qui me parait être la seule admistkible, tous leurs résultats, qui jusqu'alors étaient pour ainsi dire errans, viendront se rallier autour de oe point fixe qu'il leur sera facile de reconnaître, en sorte qu'ils paraîtront s'être concertés sur la manière d'arriver à une théorie uniforme. Si ce point ùnej tel que je le conçois, n'est pas le véritable, et s'il en existe un autre qui me soit inconnu , c'est aux savans qui ont publié les résultats des ohsen alions faites à l'aide de la réflexion, qui jusqu'à présent ont dû être laissés intacts^ à compléter leur omrage et à en déduire eux-mêmes les données nécessaires pour la solution des problèmes qui en dépendent. Mais ce que je crois pouvoir assmcr^ c^est que ces domiiées laisseront subsister le fimd de la théorie ; qu'elles n'apporteroiitaiicaa rh mur m ni tableaux des signes repré88Dtati& tiaoéi J^aptàê

les lois auxquelle;s est soumise la structure ; qu'elles ne feroDt enfiu que déplacer un peu le terme d'où la théorie devra partir, et qu'elle a dès maintenant tout ce qu'il lui faut pour arriver par une routç également sûre et facile à son but principal.

Réflexions sur la mesure des angles du rhomboiâe -primitif de la chaux carbonatée,

• 1 23. Dans toutes les descriptions que renferme cet ouvrage des diverses formes cristallines que j'ai choisies pour y appliquer les lois de la structure, j'ai ' indiqué les incidences mutuelles des faces que présentent ces formes , telles que je les ai déduites des résultats les plus précis que j'aie pu obtenir à l'aide du goniomètre ordinaire. Une bonne partie de ces résultats comparés à ceux qu'avait donnés le gonio- •niètre à réflexion , se sont trouvés d'accord avec eux, à une petite différence près, qu'il a fallu négliger pour avoir des rapports simples entre les dimensions des molécules intégrantes. En cela je me suis conformé à l'usage reçu dans les science^ physiques.

Mais il est une substance minérale dont la forme primitive soumise aux mesures de l'instrument que je viens de citer , a donné une différence trop sensible avec la limite à laquelle j'étais parvenu , pour qu'il semble être permis delà négliger, et l'inconvénient qui résulte de ce défont d'accord^ pourra être jugé d'autant plus grave qu'il s'agit de la chaux car-

bonalée , c'est-à-dire du minéral dont les formes vas prouvent beaucoup plus que celles d'aucun autre ^ fécondité de la crislatlisalion. Que l'on me permette de raconter ici la manière dont j'ai été conduit i cette limite, et d'exposer les divers résultats qui depuis ont paru concoury- à en moliver l'adoption. En divisant des cristaux de la variété de chaux toarbonatée que j'ai nommée prismatique, ponr en extraire leur noyau rhomboïdal , j'observai que clia- ^un des joints naturels qui interceptaient trois arêtes prises alternativement sur le contour de la base ■«tait incliné sensiblement de la même quantité, tant ïur cette base que sur le pan adjacent. Par une suite Xiécessaire, la demi - perpendiculaire sur l'axe dn ^rhomboïde était égale au tiers de cet axe, c'est-à- &ire qnel'on avait \/^g*^~ Vqp' — Ôg', d'où l'on tire g '■ p '•'• \/3 : y/a. Il résultait encore de là que j cosinus de l'angle égal à la plus petite incidence ^des faces du rhomboïde était exactement un quart du rayon , ce qui don nait 75*^ 3 1 ' 20" pour cette incidence , et io4''28'4o" pour la plus grande. Dans le même cas, l'angle obtus du rlionibc était de i o i ^32'4", et l'angle aigu de 78'' 27' 56".

Ainsi la détermination géométrique du rhomboïde se rapportait à une Umite dont l' existence s'accordait ^vec un principe admis par les diverses sciences qui .ont pour objet l'étude de la nature. 11 consiste en ce que deux quantités sont censées être rigoureuscuien

te en ce ■

Liscuien ^H

égales, lorsque l'observation ne donne entre elles aucune différence appréciable ; et s'U m'est permis d'employer ici une de ces comparaisons qui rapprochent les extrêmes, je dirai qu'il en était de ces deux inclinaisons égales des faces du rhomboïde sur unplan horizontal et sur un j)lan vertical, comme des durées des deux moyens mouvemens de rotation et de révolution de la lune, dont l'égalité, regardée comme absolue par les géomètres et par les astronomes , sert comme de point fixe dans les calculs relatifs à l'Astronomie.

Les mesures prises un grand nombre de fois , à l'aide du goniomètre , par des hommes très exercés et par moi, sur des rhomboïdes dits spaths cTls^ lande, d'une forme très nettement prononcée , ont paru confirmer l'incidence de io4^ j entre les faces les plus inclinées l'une sur l'autre. J'ajoute une considération dont on verra bientôt le but. C'est que la manière d'opérer avec cet instrument est directe , et d'une précision plus que sufïisanle pour indiquer une différence d'un demi-degré. On a de plus cet avantage , qu'en faisant mouvoir le point de concours des alidades de l'instrument le long de l'arête comprise entre les faces dont on cherche l'incidence , on est le maître de choisir parmi les portions de surface adjacente à cette arête celles qui par leur poli et par leur niveau se prêtent le mieux à l'exactitude du contact avec les alidades.

Les résultats qui depuis amenèrent successivement

Ib découverte de plusieurs propriétés remarquables que j'ai fait connaître précédemmetit , et qui dépcrideot de celte même lioiite, comme celles qui eut lieu dans le dodécaèdre métastatique , dans le rhomboïde inverse, dans le contrastant comparé à l'é- .quîaxe, etc., donuèrcut une nouvelle force à l'opinion qu'elle avait été tracée par la nature elle-même.

Cependant, un an après la publicutiou de mou Traité, c'est-à-dire en i8oa, M. Wollaston, auquel on est retievable des recherches qui ont constaté IVxistence de la loi d'Huyghens, relativement à la Rouble réfraction, ayant mesuré, à l'aide de l'ingé- .oieux instrument dont il est l'inventeur , les angles des rhomboïdes calcaires ((ui avaient servi à ses .«xpérieuces , indiqua 105*^5' pour la plus grande [incidence de leurs faces. Huit ans après, un travail très intéressant sur le même sujet , conduisit M. Ma- 'îus à déterminer la même incidence, au moyen du cercle ré|>étiteur, en employant la réflexion des images sur les faces des rhomboïdes , et son résultat fit reparaître l'angle de lUJ'*^ déjà trou^'é par M.WoUa5ton(i).

On ne douta pas que cet angle ne (lit le véritable,

(t) M. Biot a publié dans les Annales de Chimie et de Physique (tom. XIV, iSao) nii Mémoire sur les propriotés optiques de la chaux carbonatée magnéaifère, où il annonce

^P ^u'il a trouvé également loS^^B' pctir la meiurc de l'inci-

^H^ deijcc dout il s'agit.

et malgré toutes les probabilités que la première sure avait en sa faveur , on regarda la nécessité de l'abandonner, comme un sacrifice commandé par la scienee. Je pense que cette sorte d'arrêt prononce contre la mesure dont il s'agit provient de ce qu'on n'y a vu qu'un i*ésultat isolé d'observation, et je vais prouver , en la considérant relativement à l'ensemble dont elle fait partie, que les conséquences qui paraissent tendre à l'écarter ne vont pas , à beaucoup près, aussi loin qu'on serait tenté de le croire. J'observe d'abord que la mesure donnée par la réflexion, outre qu'elle dérive d'un moyen indirect , n'a pas un caractère de limite, et ne peut être regardée que comme approximative. De toutes les manières de la représenter , à l'aide du rapport entre les diagonales du rhomboïde calcaire , la plus simple

est ceDe qui donne pour ce rapport V'Vrj ^* encore l'angle qui en résulte est-il plus fort d'environ 1 2" que celui de io5*^ 5'. On voit qu'il suffirait d'ajouter une unité au dénominateur de la fraction, pour

qu'elle devînt ^ale a \/î , qui est la valeur à laquelle j'étais parvenu. Dans la même hypothèse, le sinus de la plus petite incidence des faces du rhomboïde est les fl du rayon , au lieu de ^ que donne la limite à laquelle se rapporte ma mesure (i).

(1) Le rapport ff se change en celui de ^, par le retranchement d*une unité a chacun de ses deux termes.

DE OUSTALLOGRAPilIE. 3qi

J'ai désiré desavoir jusqu'où iraient les ditTérences entre les angles des cristaux secondaires qui se déduisent des deux rapports, dans la supposition où on laisserait subsister la même simplicité dans les lois de décroissemeiit, et j'ai été en quelque sorte surpris de voir à quel point ces rapports convergeaient l'un vers l'autre, eu passant dans la jilupart des résultats de ces lois. Une des plus fortes différences est celle qu'a donnée le rhomboïde inverse, dans lequel la plus grande incidence, d'après la nou- Tclle mesure, est de loi'' 8' 56", au lieu de ioi''33'i3' que j'avais annonce, c'est-à-dire qu'elle est plus faible de23'i7"en nioins(i). Dans le rhomboïde contrastant, l'incidence est de ii4"'io'a", toujours en parlant de la nouvelle mesure , au lieu de 1 14'' 18' 5G"; diflcrencc en moins , 8' 54"- Dans le dodécaèdre métaslalique, l'une des incidences est de i44''24'i6"iet l'autre de io4''37'53', au lieu de i ^^\^ :io' ^G" el lo4''38'4o*; différences en plus, 3'5o" d'une pari et 9' 12" de l'autre. Dans le dodécaèdre qiiî a pour

(1) Dans la variété équiaxe , U difTérence prîmilive subsisle tout entière, par une suite de ce qiie les faces du rhoni,bo'ide qu'elle présente sont poaéea sur les arètea da noyau. Leur plus (^ande incidence , d'après la nouvelle mesure , est de i34'' 57' g" , au lieu de i34'l a5' 38" , que j'avais indiqué, c'est-à-dire qu'elle est plus forte de 3i' i3". J'ai uieauré cette incidence sur des rhooiboides d'une forme bien pronoacée, el elle m'a paru ïe rapprocher beaucoup plus de iS^'' i <l»^ de i35''.

Sgt TRAITÉ

signe D, et qui se rencontre fréquemment parlhi les variétés de forme de la chaux carbonatée , les deux incidences sont l'une de 134^37' 36', et l'autre de 109^ l'ao", au lieu de i34^25'2', et io8^56'a''j différences en plus, 2'34" et 5' 18". Dans la variété paradoxale les incidences sont de 92^ 9' 22" et 1 53<* 1 5' 4o", au lieu de 92^3^10" et i53*^i4'4"; différences en plus, & 12" et i'36". Enfin, dans le dodécaèdre de la variété eutliétique , auquel appartiennent les (aces ifj Vj Tune des incidences est de i52^28'48"7 et l'autre de 88^56' 3o", au lieu de 162^28' 22' et 88* 55' 8" j. différences en plus, 26' et i'22".

INous pouvons maintenant comparer les deux dé^ terminations , relativement à leur véritable objet ^ savoir, leurs applications aux formes cristallines qui en dérivent. Dabord , leur diversité n'a aucune influence sur les résultats des lois de la structure. Quelle que soit cel^Ie des deux mesures dont on parte pour soumettre ces lois au calcul , le tableau des signes représentatifs reste le même. Par une suite nécessaire, les différences entre les angles trouvés de part et d'autre sont trop légères pour qu'il ne soit pas toujours facile de reconnaître , en 6e servant du goniomètre ordinaire, à quelle variété appartiendrait un cristal de chaux carbonatée qui s'ofirirait pour la première fois. Les petites déviations accidenteUes dont les cristaux sont susceptibles occasioiment des différences plus grandes que celles

DE CRISTALLOGRAPHIE. Sgî A

(lont il s'agit , ce qui n'empêche pas qu'on ne puisse rapporter ces cristaux aux variétés dont ils préaeutent les formes- La mesure donnée par le goniomètre à réflexion est un titre d'exclusion pour les variétés métastatique, inverse, contrastante, et autres, qui offrent des propriétés géométriques si remarquables, lorsqu'on prend dans un sens rigoureux les noms de ces variétés. Si l'on clierche les lois de décroissemeut dont elles dépendent, dans l'hypothèse de cette mesure, on trouve que le signe de la variété métastatiqueest||-, celui de l'inverse j|, celui du contrastant considéré comme inverse de l'équiaxe || , elc, ,

toutes lois que leur complicatiou rciwlnadmissiblet, par une suite de celle qui existe dans le rapport fondamental V-tx- M^''^ > ™ supposant que ce rapport soit le véritable, il ne faut que le modifier légèrement pour qu'il se change en celui de V*!) à'oii résultent, par des lois très simples, des formes qui touchent de si près celles où les propriétés dout il s'agit existeraient sans aucune altération, qu'elles sont censées les représenter.

Newton, comme l'on sait, assimile les rapports des espaces qu'occupent les couleurs prismatiques à ceux des tons'de ta gamme dans le mode mineur , et il suppose que les premiers sont proporlionuols aux différences des sinus de réfraction des rayons

5q4 TRAITÉ

diversemait colorés , ce qui n'a lieu que d'une manière approximative : aussi Newton ajoute-t-il que c'est sans erreur sensible ( «2/2^ errore aensibiUy Ceci , s'applique, jusqu'à un certain point, aux résultats qui dérivent du rapport dont j'ai parlé; ils ne sont pas rigoureux , mais la quantité dont ils diffèrent des véritables peut être regardée comme insensible.

Maintenant, si l'on réfléchit combien sont simples, faciles et expéditifs les calculs relatifs aux déterminations des variétés secondaires, dans l'hypothèse du

rapport V^ pour^s diagonales , ou ^ pour l'expression du cosinus du petit angle saiUant, et combien au contraire ils deviennent long^, compliqués et pénibles ,#daps l'hypothèse où les quantités correspondantes ront V^^ et yf , et si l'on ajoute que l'inconvénient de celles-ci tombe sur une substance qui fournit à la méthode une multitude de formes dont le nombre augmente de jour en jour, on concevra qu'il faut y regarder de bien près avant d'admettre des quantités qui d'ailleurs ne peuvent passer que pour approximatives; et l'on a même lieu de s'étonner qu'elles fassent exception à tant d autres, et ne puissent être ramenées comme elles à des limites qui ne soient pas susceptibles de plus ou de moins, au moyen d'une de ces corrections qui font disparaître des différences assez légères pour qif on ait droit de les imputer aux erreurs inséparables de l'observation. Au reste, je sens toute la force du préjugé' que

enJËiit à faire naître contre ma mesure, et le degré '4e justesse que l'on a cru avoir droit d'attendre des ÎQslrumens qui en ont donné une différente, et l'iiabUeté des mains qui les ont maniés. Aussi, tout ce ^e je prétends conclure de la discussion précédente, ïtfest qu'en adoptant le rapport f| , auquel ont coniîiiit les inslrumens dont je viens de parler, on devrait lU moins lui associer le rapport ^, pour la détermiilion des propriétés qui en dérivent. Elles paraîtraient déjà dignes d'attention par elles-mêmes, quand elles n'existeraient qu'en cunception, et se aéraient présentées à un géomètre dans le cours de recherches (i) ; à plus forte raison méritent-elles , he me semble, d'intéresser, lorsque l'ohservatioa lous hs montre réalisées au moins sensiblement . et comme pcrsonniflées dans les résultats dn travail la nature.

J'ai donné à cet article tout le développement que l'a paru exiger l'importance que des savaus jostcicnt célèbres ont attachée au point dv Cristallographie que j'y discute. Je désire que les considérations qu'il renferme soient jugées d'ailleurs assez instructives par elles-mêmes pour me faire piirdnnnor d'y avoir passé les bornes que le sujet semblait devoir ïne prescrire.

(0 ^'^' '^ jugement qu'eu out porté des savons d'uu .ttérite leva diatingué.

Deê arronâisaemens qu*ont subis les formes â^un grand nombre de cristaux, par des causes acci'* dentelles.

134. Les cristaux dont les molécules à mesure qu'elles se séparaient du liquide dans lequel elles étaient suspendues , ont obéi libremeiit aux lois de l'aflfînité qui les sollicitait à se réunir , sont tous ter* minés par des £ice3 par&itement planes , et dont les inclinaisons mutuelles sont constantes dans tous ceux qui appartiennent aune même variété. Les inflexions et les courbures qui .codifient les formes d'un grand nombre de ces corps sont dues à des causes acci* dentelles qui ont altéré l'ordre de la structure , et en cela comme à beaucoup d'autres égards\ les minéraux diffèrent des êtres organiques , dans lesquels les contours et les arrondissemens sont une suite de l'oi^anisation elle-même , et contribuent à l'élégance de la forme, au lieu que dans les minéraux sa per* fection est caractérisée par la ligne droite qui en détermine l'aspect symétrique.

Les courbures dont je viens de parler n'affectent quelquefois que certaines parties des cristaux. Telles sont celles qui ont lieu dans les émeraudcs que j'appelle cylindroïdes y parce que leur forme se rap^proche du cylindre par l'arrondissement qu'a subi sa surface latérale et par le niveau de sa base qui est perpendiculaire à l'axe. Mais dans d'autres cristaux les arrcmdissemens s'étendent à la forme entière , et

DE CRISTALLOGRAPHIE. Sg?

c'est ce qui a lieu en particulier dans le diamant, dont une des variétés les plus ordinaires oiTre l'aspect d'un solide terminé par quarante • huit faces bombées. On trouve aussi des cristaux de chaux capbfïuatée dont la surSice est composée de six faces curvilignes qui répondent à celles du rhomboïde primilif. Toutle monde connaît les crislauxdu niènic minéral que l'on appelle lenticulaires, et qui dé- > pve du rhomboïde équiaxe dont les bords latéraux se [«ont arrondis en même temps que les fiices latérales rnut pris de la convexité.

Les altérations de niveau dont je viens de parler ront lieu plus sensiblement dans certains individus mie dans les autres, en sorte qu'il y a une gradation S'inicrmédiaircs entre la forme originale dont toutes les faces sont parfaitement planes, et celle qui est arrondie dans tous les sens. Par exemple, dans le passage du rhomboïde équiaxe à la variété lenticulaire, on trouve des cristaux sur lestpiels l'aiTondissement se borne aiut arêtes latérales , et laisse subsister les trois faces planes qui se réunissent autom* de chaque sommet.

Ce n'est qu'en suivant la gradation dont je viens de parler, dans les cristaux qui en présentent successivement les dillërens termes, que l'on peut se IJàire une juste idée des Ibrmes dajis lesquelles existe , pour ainsi dire, le maximum d'altération, et en donner ime description aussi exacte (jue le comporte 2e sujet , en les ramenant à celle qui ofFie le type dont

5t,i TRAITÉ

elles dérivent. Ou fait à IV-garil «le ces cristaux ] peu près la même cliose que par rapport à ceux dontl les faces sout planes , el que l'on considère comms'l étant composés d'un noyau qui est leur forme pnini>J tive, et qui occupe la partie située vers le centre, eti d'une matière enveloppante limitée par des planai dont les position» respectives sont eu relation avecl celles des iàces du noyau.

On iiurait toit de croire que ces formes-, qui s'écs tcnt de la regularité de celles qu'on appelle détemû- ' nables , peuvent être négligées dans ta description des espèces où on les rencontre, comme étant dues à de simples accideus, el susceptibles de varier à l'îi iliti. Car outre qu'elles s'offrent souvent à nos obsc valions, nous avons vu que leurs variations élaiean renfermées entre certaines limites, et qu'cDesavaiei un type auquel elles pouvaient être rapportées. Auss ont-elles été citées dans tous les Traités de Minéra^g logie. Seulement, les descriptions qui en ont été doaïl nées manquent souvent de justesse, parce qu'on y tl omis d'indiquer la relation qui lie diacune d'elles i| la forme déterminable dont elle tire son origine.

Je me propose ici de prouver par deux exemjïlei remarquables , l'utilité du genre d'étude dont je viens^ de parler, et même de faire voir que cette étude n'est pas étrangère à la tliéorie des lois auxquelles est sou ■ mise la structure des cristaux. Le premier exemple me sera fourni par le cuivre pliosphaté, que j'a Uoisi de prélërcuce parmi d'autres espèces de s

1 DE CRISTALLOGRAPHIE. 3qg

stances métalliques , jwiir avoir en même temps l'occasion de faire connaître sa forme primitive, (|iit jusqu'ici d'à pas cté décrite exactement. Je tirerai le second exemple d'une variété de chaux sulfutée qui est pareillemeut inconnue , et dont la forme, rpioïque arrondie, se prête à une application de la théorie qui m'a paru lUgne de quelque intérêt.

La forme primitive du cuivre phosphaté est un octaèdre rectangulaire (fig. 335) qui a cela de commun avec celui de l'arragonite et de quelques autres substances, que pour lui donner sa position naturelle, il faut le tourner de manière que l'arête G, qai est la plus lougue de celles qui terminetit la base conimiuic des deux pyramides dont il est l'assemblage,soit diFigée verticalement, et la plus courte, savoir C, soit horizontale.

L'incidence de M sur M est de 109'' 58', celle de P Bur M de 1 1 a'' 1 2' , et celle de P sur P' de 98'' 1 2' ( 1 ). Là première de ces incidences est la même que celle de deux faces adjacentes sur l'octaèdre régidier; la seconde n'en diffère que d'environ 3"* en plus, d'où l'on voit que si l'on se bornait à mesurer ces deux incidences sur les octaèdres du cuivre phosphaté , on serait d'autant plus porté à les regarder comme des

( I ) Si du centre àe Tnclaèdre on mène une perpendicnlairo sur l'arête G, une autre sur l'arête C, et une troiaiènie ligne

Iqui aboutisse à l'angle E, ces trois lignes seront entre elles ■ dans le rapport des nombres V^'a > V^3 «■ ^-

4eo TRAITÉ

octaèdres réguliers que leur petitesse pourrait &ire attribuer la différence donnée par la seconde mesure à une erreur d'obs^vation. Mais l'inclinaison de P sur P', qui n'est que d'environ 98^, c'est-à-dire^ moindre de plus de 1 1^ que celle qui lui correspond sur Foctaèdre r^ulier, ne permet pas de les assimiler à celui-ci ; parce qu'ils sont d'aune forme très nettement prononcée, qui, malgré sa petitesse, exclut la possibilité d'une erreur aussi considérable que celle qui aurait eu lieu dans le cas présent ; et d'ailleurs nous verrons bientôt que Fbypothèse de l'octaèdre régulier, comme forme primitive du cuivre phosphaté, est contraire à la loi de symétrie.

Supposons maintenant que la forme primitive qui vient d'être décrite ait subi un décroissement par une rangée sur l'arête C et sur son opposée. L'octaèdre se trouvera transformé en un prisme rhomboïdal, tel que le représente la figure 326. Ce résultat de cristallisation n'a pas encore été observé parmi les cristaux de cuivre phosphaté. Mais on trouve un certain nombre de ces cristaux qui présentent la forme que l'on voit figure 827, et qui est celle d'un prisme rhomboïdal droit , dont les pans sont curvilignes et les bases hérissées de saillies. Ce prisme provient visiblement d'une altération dû précédent , qui a subi des arrondissemens dans ses parties latérales , et dont les bases sont oblitérées. Assez ordinairement les six faces qui le terminent ont des étendues à peu près égales 3 mois quelquefois il s'a-!

Cœ CRISTALLOGRAPHIE. ^oi

longe d'une manière sensible parallèlement à son axe. Les prismes curvilignes dont il s'agit, vus à la loupe, paraissent être des assemblages de très petits cristaux de la même forme que l'on distingue aux saillies que présentent leurs parties extrêmes. Ou sait que ces sortes de groupemeus sont l'indice d'une

Honstallisation précipitée.

W* Les premiers cristaux de cuivre phosphaté qui aient été observés , et qui venaient de lUieinbreitenbach, étaient semblables au prisme rhomboïdid à

, pans curvihgnes que représente la ligure 327. Les dimensions de leurs faces, qui étaient à peu près égales, leur donnaient de la ressemblance avec un rhomboïde peu obtus, et M. Karsten avait en vue cette ressemblance, lorsqu'il décrivait ces cristaux comme des hexaèdres obliques, avec des faces

^mtfivexea (i).

^^ J'avais moi-même rapporté lu forme de ces cristaux au rhomboïde, dans mon Tableau comparatif (2) , mais en ajoutant à ce mot le signe du doute, et dans la note relative au même minéral, je témoigne l'espoir t|ue de nouvelles recherches nous en pi-ocureront des cristaux assez prononcés pour se prêter à

Ides mesures précises (3). (^i) Journal de Physique , tom. LUI, pag. 35o. Lei aavaus étrangers déaigocnt par le nint hexaèdre l'espèce de solids qne je nomme rhomboïde.

' (s) Tableau cnmparatif, page ga.

(3) /A;rf, pagp 2G8.

4o4 ' TRAITÉ

giiisent. Mais robservalion des divers cristatbt de chaux sulfatée qiie Ton trouve surtout à McHitmartre présente une gradation d'intermédiaires tpii sert à lier entre elles Jes deux formes dont y ai parlé, en sorte que l'une passe insensiblement à l'autre. Je reprendrai ici ce que j'ai dit dans mou- Traité de Minéralogie (i) au sujet de cette gradation , à une époque où la forme du cône qui est L'extrême opposé à la variété trapézienne était encore inconnue , afin de réunir dans une même vue tout ce qtd remplit l'intervalle entre l'une et l'autre. La variété par laquelle commence la gradation est celle que j'ai appelée mixtiligne. Dans les cristaux, qui s'y rapportent, les angles solides ^, y' (fig. 3 28) subissent un arrondissement dont l'eflTet , considéré sur le pai^llélogramme qui passe par les arêtes 'TT, /jl (fig. 328), et que représente opo'p (fig. 33o), est de faire disparaître vers les angles o , o' des segmens tels que oty^ o'ty\ dont la figure est celle d'un triangle à base courbe. L'étendue de ces segmens varie suivant les cristaux, en sorte qu'à un certain terme, elle devient égale, par exemple, à celle des triangles oux^ o'ux'^ et ainsi de suite en augmentant graduellement. Les lames de superposition qui recouvrent de part et d'autre le parallélogramme opo'p' décroissent parallèlement à leurs bords reclilignes.

(1) Tome II, page 974 et suiv. (1" édition).

VE CRISTALLOGRAPHIE. 4o5

Euivaiit la loi qui produit les tuces i,f{fi'^. 3a8). Les parties qui répomleut. au\ bords curvilignes tels que ux,u'x' (fig. 33o), subissent aussi un décroissement, et telles sont les quanliléâ dont elles se ilépassent iiiutuellcmcnt vers les mêmes bords, que les surfaces qui uaissent de ce décroisseuient sont à double courbure.

A un tenue plus reculé, les courbes se répèlent vers les angles p, p' y et la surface du parallé- ■ logramme anive par degrés à celle t|ui est renlerinée eutre les deux arcs geg' , g'e'g. Eu examinant de près ces mêmes arcs, on s'aperçoit que la courbure des brandies eg, e'g' cstuit peu plas sensiJ>le que celle des brancties e'g, eg'. Les surfaces de toutes les lames de sujierpositîou situées do part et d'autre de celle que représente la figuré, sont de luème terminées par deux arcs qui diminuent siict «.essivcment de longueur en se rajiprocbaut de plus en plus, et taut que les plus éloignées du centre, ou celles qui sont extérieures, ont une étendue sensible, le cristal est ceusê appartenir à la variété dunl il s'agit ici, eu ce que des laces planes s'y trouvent eucore réunies à des faces curvilignes.

La variété que je nomme lenticulaire ollre coiï^ue uue limite duut tes corjis qui appartiuutteut,ù„^a précédente approclieut de plus eu plus , ù mesufie que les laces curviligucs turmiiiales se réti;cci»3eiit, jusqu'à ce qu'elles aient Ui^paru. Â ce terme *, je cristal présente la ((>i*mc i|'MUj;(irp(s leulicvilfiic ^*( J

1*:^ Traité

Uft âèui silifaoes convexes se réunissent sur ut» bord circulaire BÎtué dans un plan qui [lasse pat* bs pointa gtg" , et qui coupe à angle droit le joint naturel que représente la figure curviligne geg'e', et touîs le« antres qui sont parallctcS à celui-ci sur les difiëreotes lames de sifperpnsilion. J

C'est de cuUc même foi-me lenticulaire que tlëriv«J à son tour celle qi\e j'ai annoïicée, et que j'appelte J chaux sulfatée conique, à l'aide d'une transformation dont on se feraïine idée, en supposant que les deux convexités de là lenticulaire se relèvent ea partant de la circonférence de leur cercle de jonction, de manière qUe toutes les courbures situées dans des pkns perpendiculaires à ce cercle se redressent jusqu'à ce que le corps ait pris la forme de deux cônes réunis base à base. Le cône que représente la figure 33 1 est situé de ttianière que le iriangle Tte'l, qui en partant dU Sommet tombe perpendieulairemen't sur la base, est sur le plan prolongé du joint curviligne t^ge'g" (fig. 33b), que nous supposons toujours passer par le centre d'une lentille de cbaux sul^tée, dans laquelle le bord de jonction des deux convexités tombe perpendiculairement sur le même joint , à l'endroit de la ligne gg'. On voit par cette disposition que si l'on suppose le cône ''roît, tous les joints naturels que l'on pourra mettre ouvert, par des coupes parallèles au triangle fte't ». 33i), seront autant d'hyperboles, qui auront ur asymptotes les apothèmes e'/i, el. L'angle We'/

qtio forment entre eux cea apotlièincs ôbt d'envi~ ron laô"!.

J'ai désiré de savoir juB(|u'à que) point les lois delà structure pouvaient se prêter à cette hypothèse d'uu cône droit, et j'ai choisi pour termes de compiiraisoa les positions des apothèmes e'n, dl (Bg. 33[ ), et de ceux qui coïncident avec uu plan mené par l'axe da côae, perpeadiculai renient au plan ne'l. Ln ligne ^V représeate celui de ces apothèmes qui s'élève au-dessus du plan rë7. Maintenant , si l'on vahivi e'o ( Sg. 33o) perpendiculaire sur la diagonale aa', elle sera parallèle à l'axe du cône [ tig. 33 1 ) , d'après la construciion (jue j'ai indiquée. Si l'on mène ensuite les ligut;» «'n, «'/(lig. 33o^, de manière que les angles ne'o, te'of soient égaux à ceux que les apothèmes e'n, e'i (lig. -331 ) £>nt avec l'axe du cane, il faudra, pour que ce cône soit droit, que les angles dout il s'agit «oient aussi ^aux entre eux , et d'après ce que j'at

' dit plus haut , leur somme devra éti'c d'environ 1 26^. Or, j'ai trouvé que dans l'IiypoUtèse où les hgnes«'/i, ^'l, seraient parallèles à des laces ^u'odnitËS en vertu -de doux 4écroisïemens aiixles qui agiraient de part et d'autre de l'arèle G' ( tig. 3^), «t dont l'un aurait pour eâgne ïG, et l'a«tre G>, raogle<î«'7i«er»it de 63'' 19', -et l'angle oe'l de €2^3i'. Leur somme

, de i35''54' est Benmbtcmont égaJ« à cetle *pie Ajobc

I i'(4)servation. Mais le premier surpasse de aa' ia moitié Gi'^S-]' de cette somme, et le s«coikI est plus

, petit d'une quantité ^ale à aO'.

4o8 TRAITÉ

D'une autre part , j'ai trouvé que dans l'hypotliese ou l'apotlième ér (fig. 33 1 ) serait parallèle à une face produite €n vertu d'un décroissement sur Tangle £ (fig. 339) de la base de la forme primitive

qui aurait pour signe Ë, il ferait avec le plan neV (fig. 33 1 ) un angle de 62^55% sensiblement ^al à la moitié de celui que font entre eux les apothèmes e^n^ e'I; d'où il suit que l'apothème er et son analogue situé dans la partie opposée da cône sont incUnés sur l'axe de la même quantité.

Ainsi, pour que le cône devint droit , il faudrait que le sommet e^ étant fixé, et les apothèmes e'n^ e'iy restant dans le même plan, le premier se rapprochât de l'axe d'une quantité égale à aa' , et que le second s'en écartât d'une quantité égale à 26'. Quant à l'apothème er et à son analogue, leur position ne subirait aucun changement.

Les lois qui donnent les positions des apothèmes ne sortent pas des limites entre lesquelles sont renfermées celles d'où dépendent les formes déterminables. On en trouve des exemples dans diverses espèces. Au reste , l'analogie qui naît des résultats que je viens d'exposer, outre qu'elle n'est qu'approchée, doit être rangée parmi celles qu'on appelle analogies de renœntre. Mais telle qu'elle est, elle m'a paru mériter assez d'être connue, pour ne point m'attirer le reproche d'avoir mêlé les sections . coniques à la géométrie des cristaux.

DE CRISTALLOGRAPHIE. ^oj