Topaze ^quidifféreate (Gg-SS

On a TU dans l'article relatif à la théorie de l'oclaèdre , que les cristaux de topaze ont une douliic structure, qui permet d'adopter à volonté, pour forme primitive, un octaèdte rectangulaire (fig, 55) > ou un prisme droit rbomboïdal (11g. 53). Cette dernière forme est celle que j'avais indiquée dans mon Traité. Les observations qui se rapportent à l'autre n'ont été faites que long-temps après, et pour ramener celle-ci au prisme rbomboïdal , il faut concevoir que ce prisme subisse les deux décroissemens compris dans le signe AÉ (fig. 53). Le premier donne las faces P (fig. 53), et le second les faces P*.

Pour lier ensendilc les résultats des appbcations de la théorie aux deux formes, il a fallu déduire la projection de l'octaèilre de celle du prisme , et je vais d'abord exposer l'opération à l'aide de laquelle se liiit le passage de l'une à l'autre.

Soit ôa ( fig. 54 ) le ^sme rbomboïdal déjà représenté (fig. 53). Ayant tracé les diagonales kt, sd (fig. 54), et dc, br des bases, je mène par les milieux y, ^ des arêtes bd, ra les lignes /», fiz parallèles k la diagonale ht, et par les milieux «, « des arêtes ha, te, les lignes A7, xz parallèles h la diagonale d9. Le rectangle /«A, dont ics côtés coïncident

arec les Kjgnes^ précédentes , sera la base commune des deux pyramides qui doivent eomposeprbctaèdre, et pour avoir les côtés de leurs fiices, il ne reste qu'à, mener de chacun des* angles l'y A, z , x> deux droites, dont l'une aboutisse au centre a de la base supérieure^ . et l'autre au centre 71 de ta base inférieure. Qn auraainsi l'octaèdre proposé , tet que le r^résente sépa* rément la figure 55 avec sa notation;

A cette occasion , je ferai ici quelques observations générales relatives aux projections des formes cristaU lines qui dérivent d'un octaèdre considéré comme forme primitive. Il est d'abord facile de concevoir que la projection horizontale de* cet octaèdre, tracée d'après les principes précédemment exposés, sera semblable à la base commune des deux pyramides dont il est censé être l'assemblage , en supposant que les axes de ces pyramides soient situés verticalement* Pour construire ensuite la projection verticale, il suffira de connaître le rapport entre Jes. mêmes axes et l'une des diagonales de la base commune des deui^ pyramides.

Si |roctaèdre est du genre de celui que représente la figure 56, et dont la position naturelle exige que deux des [côtés de la base commime des deux pyramides composantes, savoir, C, C, soient situées horizontalement, et les deux autres G et G' verticalement, la projection horizontale sera semblable à la coupe mnsversale qui est perpendiculaire aux deux côtés ont^je viens de parler, et Ton aura la projectiou

Verticale en combinant une des diagonales de celle coupe avec l'axe mené par les milieux des côtés C, C parallèlement aux côtés G, G'.

Si l'on prend l'octaèdre pour type des projections relatives aux formes secondaires , on emploiera , par préférence aux signes tliéoriques, ceiix que je nomme techniques f et qui indiquent d'une manière simple et facile à concevoir, les sections qui doivent être iàiles dans l'octaèdre, suivant des plans qui coïncident avec les faces représentées par ces signes.

Mais il est souvent beaucoup plus avantageux de faire dériver les projections des formes secondaires d'un noyau hypothétique qui, dans ces sortes de cas, est un prisme soit rectangulaire , soit rbomboïdal, La topze est ici dans un cas particulier, en ce que ce prisme, qui serait simplement hypothétique relativement aux autres octaèdres, est donné par l'ordre même de la slruclure, et par l'assortiment d'une partie des joints naturels que l'on met à découvert, en divisant mécaniquement les cristaux de cette substance minérale.

Je vais confirmer ce qui précède par un exemple dans lequel je substituerai le prisme dont je viens de parler à l'octaèdre représenté (fig. 55), pour en déduire la projection de la variété équidifTérente (lig. 5^), dont le signe rapporté à ce même prisme, tel qu'on le voit (lig. 53) , est

M'G*B6, (ÊB'B') («6'6')'.

658 TKAlTlt

Lii JiiKrence de conlimiralion qui esisle entre les deux sommets, par une suite de la propriété électric|ae, consiste en ce que les faces Xy x^ qui u rnonlrent sur le sommet supérieur sont nulles sur 80 n opposé.

Je me tlispenserai de l'opéfatiou préliminaire dont le but serait de retrouver la projection horizoDtale du prisme, puis d'en faire dériver la projection verticale, et de relever ensuite cette dernière pour dégager les uns des autres les points qui s'y trouvaient confondus, parce que cette opéi'ation ne serait, en *iuelque sorte , ((u'une répétition de plusieure de celles qui ont précédé.

Soit hc{ fig. 58) la forme primitive. Je mène l'arête et et par les nnlicu.\ des arêtes db, Aa, le p] »^/, qui sera parallèle à la face o(fig. 57). Ensuite je mène par la diagonale ds (fig. 58) et par le milieu de l'arête ah, le plan dsl, qui sera parallèle à la face n (fig. 57). Je mène entin , par l'angle d (fig. 58) , leplantf/ze, tellement situéque An =:^/{«,et/i«^^A,. d'où il suit qu'il est parallèle à la face x (fig. 57). Maintenant, les deux plans stgl, sld s'entrecoupent' sur une même ligne si. De plus , il est iàcile de <|ue en est parallèle à 5/. J'en conclus que les faces OyU, X (fig, 57) ont leurs intersections parallèles, et c'est ce qui est sensible à la seule iuspectioi des cristaux.

Pour déduire de ce qui précède la projection ^■a^iétc dont il s'agit ici, je trace d'aboni un pi

ae

DE CRISTALLOCKAPHtE. 65<)

uTTTv (fig. 59) dont ie signe est M^G*P, ce qui

n'offre aucune difTiCHlléi

Soit hc (fl{j. Go) la forme primitive déjà représentée (tig. 58). Pour déterminer la position de l'arête juA (fig. 57), j'observe que si je rapporte au plan sdù (fig. 60), prolongé convenablement, l'effet du dé-

croissement B, qui donne la face o (fig. 5-j ), et si efg (fig. 6061*) représente le triangle mensurateur dans la même hypothèse, j'aurai ef'.Jg " nds :i<i(fig. 60). Donc, si je mène bsy j'aurai la position de l'arête ftX ( fig. 57 et 59) qui doit lui être parallèle. Par le point ^(fig. 59), je mène la ligne ÇA, parallèle à Is, et qiû, d'après ce qui a été dit plus haut, doit être l'interseclion commune des faces 0 , * ( fig- 67 ). Je prends à volonté sur la ligne Çu un point *, et par ce point je mène une droite indétinie t^ , et parallèle à Ça , d'où il suit qu'elle coïncide avec l'intersection commune des faces a:, n (I\g. 57). Ensuite par le point e(fig. Sg) je mène eJ parallèle à la diagonale ds (fig. 58). La fiice n (fig. $7) éliint parallèle au triangle *W (fig. 58), je mène sur le milieu 9" (fig. 59 ) de ej, parallèlement à l'apothème lo de ce r triangle, la ligne 3"> , jusqu'à la rencontre de l'arcte Ifu, et je la prolonge du côté opposé, jusqu'à ce [iqu'ene rencontre la ligne eÇ, ce qui me domie le l trapézoïde Çc^J-*, ou la fece n (fig. 56).

U ne me reste plus qu'à tracer les petites h^nes \-3*M, $«, etc.(fig. 57 elSg). Pour y parvenir, jere-

marque qae ces lignes sont les arêtes obliques d'une petite pyramide, l^r^d'ui ( fig* 6i ) , dont les &ces ré-

sultent du décroissemcnt intermédiaire (EB'B') comme étant les prolongemens de^ fiices x. Soit nX (fig. 61 ) cette pyramide. Je mène les diagonales l^^y ^3" de la base, et ensuite la hauteur ûêti.

Le cas dont il s'agit ici est im de ceux auxquels se rapporte le second des problèmes que j'ai donnés plus haut, et qui sont destinés à faciliter les moyens d'y appliquer la méthode. Or, ici, ab (fig. 5^ pi. 74) représente ûïÇ (fig. 61 ), et j'ai :c=3 ety =s i . Donc

De plus , à cause du décroissement par deux rangées à>yi=:^h. Donc a>Ç :a>yi :: 3g:h :: g: jh. Donc si par le tiers de ah ( fig. 60 ) je mène o/*, le triangle hof étant semblable au triangle Çan

(fig. 61), j'aurai la position de la petite ligne Cm (fig. 57 et 59) , en menant du point Ç une parallèle à/o(fig. 60).

D'une autre part, q/'(fig. 5) représente oùt (fig. 61).

Donc dyA = '2py* = 3p.

Donc û)Xlù)Vi:: Spljh llpl^h. Je mène or qui coupe c?r au ^ de sa longueur, et j'ai la position de la petite ligne X'A en menant du point A une parallèle èi or. Je termine la projection à l'aide de la même

Si- ■

immet ■

DE CRIST,U.LOCR\PHIE.

marclic, en observant de supprimer, vers le sommet nférieur, les analogues des faces x, x'.

g. Forme primitive de la chaux sulfatée.

Dans tous les prismes quadrangulaires dont j'ai retracé jusqu'ici les projections, eu comraenrant par retrouver les projections horizontales dont on était parti pour les construire, la base, dans le cas d'un prisme droit, ou la coupe transversale, si le prisme était oblique, avait ses côtés éyaux, c'est-à-dire qu'elle avait la lîyurc d'un rhombe. Mais il existe des prismes, tels que ceux de la chaux sulfatée, de la cymopliane, de l'épidote, du disUièoe, dans lesquels le quadrilatère qui iâit la fonction de base ou de coupe transversale , a ses côtés iuéjjaux , c'est-à-dire que sa figure est celle d'un rectangle ou d'un parallélépipède obJJquangle, L'opération à l'aide de laquelle on retrouve la projection horizontale de ce quadrilatère , est alors plus composée que celle qui se rapporte au rhombe. Je vais indiquer la marche que j'ai suivie dans les cas dont je viens de parler, en prcuaut pour ,es.emplc la forme primitive de la cliaux sullâtée.

La projection de cette lorme que l'on voit ilg. G3 n'est pas semblable à celle qui se trouve dans mou Traité. Elle olTre le prisme sous un aspect diiférent , mieux assorti à mou but. La ihéorie donne 1 13"'8' pour la mesure du grand angle 214 de la base , el si l'on suppose que le côté C soit égal à i3, II. ^l

Ç^a TRAITE

l'expression du côté B sera 1 3 , et celle de la baa-

teur G du prbine sera 3a.

11 s'agit maintenant de relrouvcrj dans les traita du dessin que présente la figure considérée isolément, la maj-clie qui a été suivie pour le produire. Je prends d'abord la copie de ce dessin, à laquelle je donne de plus grandes dimensions, ainsi qu'on le voit (fig. 63), pour mettre plus d'exactitude dans l'opération. Je mène ensuite, comme à l'ordinaire, les lignes li', kk', Jf', mm j qui coïncident avec les arêtes longitudinales du prisme, et je les coupe perpendiculairement par la ligne or, située à la jonction des plans de projection horizontale et verticale.

Je prends un carton mince, et je le découpe de manière à y faire naître deux bords/^ , yt ( 6g. ^ ), inclinés entre eux de 1 1 4''- Je prends sur ces boixls deux parties j-rt",j'7n" qui soient entre elles dans le rapport de i3 à 12, et je mène ta ligne tri'n*. Je découpe un second carton sous un angle rrîg (fig. 66) de 148"*, qui est le supplément de ni'ri'y (fig. 65 }. Supposons pour un instant que le quadrilalère 1 334 (fig. G4) n'existe pas, et que le point r soit déterminé à volonté sur la ligne If* \ je pose l'angle y ( fig, 65 ) sur ce point pris pour centre , et lui conseï^ vant une position fixe, je fais tourner le carton autour de ce même angle, jusqu'à ce que les parties des bords yg^j^t, interceptées l'une par les lignes If^ zm'j et l'autre par les lignes If^ xi\ soient à peu près égales. Cela fait, je place le second carton rn'^

(fig. 66) sur le premier, de manière tjue n'g' coïncide avee n'g (fig. 65). Je continue le mouveraent de rotation du premier carton , en inclinant peu à peu le côté yg (fig. 65) vers la droite, pour alongcr sa partie interceptée, tandis que celle du côté yt se raccourcit, et en même temps je fais mouvoir doucement de bas eu haut le côfcé n'g' du second carton le long du càtéyg du premier. J'arrive à un terme oii les points d'intersection de la ligne rn' (fig. 66), avec les hordsyg, yt (fig. 65) rencontrent les lignes zm', xi' (fig. 64)i ces points d'intersection qui sont indiqués par les points n, m(fig. 65), me donnent les longueurs que doivent avoir les côtés i4, 12 (fig. 64) de la projection Uorizontale. 11 m'est facile de vérifier l'opération en traçant la ligne mn, et eu m'assurant si elle est parallèle à m"n\'.

La projection horizontale étant tracée, je construis la projection verticale a34, 2'3'4' (fig. 63), d'après la dimension connue de la hauteur a'a. Je la relève à l'aide de la construction que renferme le triangle i-^jW (fig, 64), dans laquelle VjW est la quantité que je choisis pour le relèvement des points i', i (fig. 63), et les autres ligues aw et at^) *•''* quantités relatives à celui des points indiqués sur les mêmes lignes.

Grenat trapézoïdal (fig. 67).

Je partirai, comme dans la plupart des exemples qui précèdent, de la projection de la iurmc primi-

tive, telle qu'on la trouve dans le Traité. Cette projection est , dans le cas présent , celle du dodécaèdre rliomboïdal représenté ()ig. 68), et dont Faxe, qni est situé verticalement, passe par deux des angles solides composés de (pialre plans. La marcheà suivre pour la retracer s'annonce comme d'elle-même par les caractères d'unifomiilé et de symétrie dont la cristallisation a marqué le dodécaèdre dont il s'agit.

Un coup-d'œU jeté sur la figure sufiit pour concevoir que les petites diagonales des cpiatre rhombea conligus au sommet supérieur i , et celles des quatre autres conligus au sommet inRji-ieur i4, composent deux carrés dont les plans sont perpendiculaires à l'axe, et que les grandes diagonales des quatre rhombes compris entre les précédens forment dé même un carré situé perpendiculairement à l'axe; Déplus, telles sont les positions respectives de ceal carrés, que si les deux premiers se meuvent pa- 1 rallèlement à eux-mêmes en allant vers le centrej 1 ils Uniront par se trouver inscrits dans le troisième.

Ce résultat est réalisé par la figure 69, dans Ia-1 quelle le point fi. est la projection horizontale deA*! points 3,11 (fip. 68), le point <r(fig. 69), celle dftj IK)int 6 (Cg. 68), et ainsi des autres points de I même projection, dont il est aisé de faire le rappro— J chement avec ceux qni leur correspondent sur \aM figure 68, à l'aide des cliilfres qui sont communs auXJ uus et aux autres. Quant aux sommets i , 1 4 , il e

évident que leurs projections horizontales se confondent en un même point ff ( fig. 6g ) silué au centre commun des deux carrés.

Pour avoir la projection verticale du dodécaèdre, je commence par tracer les lignes ii, M', etc., parallèles à l'axe, et la section or des deux plans de projection. Je considère que les plans des trois carrés dont j'ai parlé ci-dessus sons-divisent l'axe en trois parties égales. De plus, la longueur r , i4(I'g- 7*^) de cet axe m'est donnée par celle de Tune quelconque des diagonales du grand carré 6, 8, 7, 9 (fig. (>9)qui font elles-mêmes la fonction d'axes dans le dodécaèdre, et qui sont représentées ici de grandeur naturelle. Je mène les ligues 34, 67 » '<> '3 (fig. 7oJqui sous-divisént l'a-xe ainsi que je Fai dit, et j'ai ainsi tous les points de la projection verticale.

Cette projection est la même que celle de la figure 68. On s'est dispensé de la relever, parce que les faces qui , sur les projections des formes secondaires, auraient été représentées par de simples lignes, savoir, celles qui seraient perpendiculaires ou parallèles à l'axe ri4', ne se rencontrent sur aucune variété de grenat, 11 en est de cette substance comme de plusieurs autres, oîi des faces qui naîtraieut d'une loi très simple, semblent être exclues du système de cristallisation.

La manière d'opérer qui m'a paru mériter la préférence, pour mettre en proj'ectiou la forme do la

646 TRAITIÊ

variété trapézoïdale que représente la Cgnre consiste à élever 6ur les diflërentes faces du doâi caèdre primitif, tel qu'on le voit (fig. 68), connu sur autant de bases, les douze pyramides qui résullent d'un décroisscment par une rangée sur les l>ords de ce dodécaèdre. Je choisis pour exemple c dont la base repose sur le rborabe ytvX (fig. -j i et 7* le même que 1 293 (fig. 68). Pour la con9truire,]e mèi par le centrée de ce rliombe la droite «cÇ", perpen^ culaircsur les côté-s «, j-A, d'où il 8uitque)iX=5^W et eÇss^t». Ensuite du point Ç je mène ÇtT perpi diculaire sur les deux bords tu ,'jUff , puis du point f je mène Hit parallèleà ÇcT. 11 est aisé de voir que la deux faces produites par le décroisscment qui agi de part et d'autre de l'arête ^A sont elles-mêmes ( rallèles à ÇJ, d'où il suit que vjr coïncide avec l'api tlième (TH ( fig. 7 1 ) du triangle ^sA. Maintenant , po trouver l'extrémité « de cet apothème, qui est ; sommet de la pyramide j-ÉcAff, je mène la ligue 0 par le centre o du dodécaèdre et par le centre c dfl rhomhe j-éfA et je la prolonge jusqu'à la contre de h-ît, ce qui me donne la hauteur es de Ii pyramide. Enfin du poiot s, je mène aux quatre angles du rhombe les droites «6, sf , «A, sy, qui, jointes aux côtés du rhombe, donnent les quatre laces de la pyramide.

Pour avoir celles de la pyramide adjacente ^Ao/cr J {fig. 71 ), je prolonge )iir (fig. 73 ) de l'autre côté c j-A , ce qui me donne fiu ; ensuite , par le centre o d

DE CRISTALLOGRAPHIE. Mf

dodécaèdre et par le centre r du rhombe yXff/i , je mène or que je prolotige jusqu'à la rencontre z^ew^ et j'ai ainsi le sommet de la pyramide proposée^ après quoi) U ne me reste plus, pour achever de là construire, qu'à mener les lignes ey^ ZfJLy M et zA.

On conçoit d'avance comment on doit s'y prendre pour continuer l'opération. Si je veux, par exemple y construire la pyramide qui repose sur le rhombe y^^M'i je mène l'apothème (y du triangle yzf^j qui doit tomber au tiers de l'arête fi^, puis je le prolonge à volonté du côté opposé. Ensuite, par le centre du «dodécaèdre et par celui du rhombe^ je mène une droite jusqu'à la rencontre du prolongement de zy ; le point ou elle a lieu est le sommet de la pyramide, et le reste va de soi-même.