Je terminerai cet article par la solution d'un

problème qui a beaucoup d'analogie avec un autre que j'ai résolu précédemment, et dont le sujet était une série de rliomboïdes engendrés les uns par les

autres à l'aide du décroissement B. substituons à ce

décroissement celui qui a pour signe E'^E, et supposons que cbaque rhomboïde de la série soit susceptible de naître du précédent , en vertu de la loi que représente ce signe. Désignant toujours par g et p les demi- diagonales de Fun d'eux qui soit compris entre les extrêmes , et auquel nous donnons le nom de générateur, nous aurons de même deux séries, FuQe descendante, composée de rhomboïdes plus petits que le générateur, l'autre ascendante, composée de ceux qui ont de plus grandes dimensions.

Soient y elTT les demi-diagonales d'un rhomboïde du rang r, pris dans la série ascendante. D'après ce qui a été dit plus haut (56), si r= i , on a> = lg;sir=2, ona>=:M^=(|)»^;sir=3, on a y=^.l.l.g=fSfg. En général ,> = (|/^ ,

et r=[W'

De plus , lorsque r= i , l'axe du rhomboïde secondaire est triple de celui du noyau {56), Donc, dans ce cas.

\/37r^— 5^^:=3 V^p"—g% ou 5:t*— ^•=9(3p*— ^*).

Lorsque r = 2, V3 7* — >=* = 3 . 3 V^3;r?^ — ^% ou 37T*T—>'* = 9.9(3/7* — g^). En général,

3<^*-y=9X^p^—ê^)' Mais >*=(f)r<

Donc 37r'-(f/g'=9'(3p'-g-.)

Désignons par y' ^ 7r\ les demi-diagonales d'un rliomboïde du rang r\ pris dans la série descendante. Si 7=1 , on aura >'=f^; si rz=:i , on aura >'=| . Ig. En général, >' =(i }'^ , et y'^^^^ffg"^ De plus, si /= i , on aura

Si r=2, on aura v/Stt''— 7^=^. f \/3/j"— ^"^ j ou 3^"->" = ^(3;;'-^«).

En général, 3s"-/»= ^, (3;/-g').

Mais y'=(!V-

Donc, 3^'"-(|)'^==i,(3p'-g').

Donc,

61. Si l'on compare les formules précédentes avec celles que nous avons obtenues pour les rhomboïdes

qiii naissent du décroissement B, on verra que celles

qui sont données par les séries ascendantes ou descendantes sont les mêmes de part et d'autre, à la

différence près du facteur S' ou ~^^ qui multiplie les

formules auxquelles nous venons de parvenir, et qui est nul dans les autres. On concevra la raison de cette différence,- en faisant attention que dans le cas du décroissement B, l'axe est le même pour tous les

rhomboïdes des deux séries , au lieu que dans le cas du décroissement E"E , l'axe croît ou décroît suivant que les rhomboïdes appartiennent à une série ou à l'autre. A l'égard de l'identité qui existe d'ailleurs entre les formules données par les deux espèces de décroissement, elle provient de ce que le même rhomboïde qui est produit par tel autre , en vertu du décroissement B , peut à son tour en produire un

semblable à ce dernier, à l'aide du décroissement E"E, ou réciproquement. Ainsi, poui' nous borner aux rhomboïdes connus jusqu'ici, savoir, ceux que j'ai nommés èquiaxe , -primitif et inverse , et qui appartiennent à la chaux carbonatée, on trouvera que l'équiaxe qui naît du primitif, par le décroisse- :mcnt B, peut le produire par le décroissement E"E,

et que l'inverse qui dérive du primitif, par le décroissement E"E, peut lui donner naissance par le décroissement B.