Si l'on suppose toujours que le rapport des
DE CRISTALLOGRAPHIE. 36i
demi-diagonales du rliomboïde primitif soit celui de V3 à \Ji^ on prouve que le rhomboïde secondaire qui en dérive, à l'aide de la loi E''E, a cette propriété remarquable, que ses angles plans sont égaux aux incidences respectives du rhomboïde primitif, et réciproquement. De plus , les angles plans de la coupe principale sont les mêmes de part et d'autre.
Reprenons les formules relatives à ces trois espèces d'angles (6, I^, 2^ et 3'.).
1*. Pour l'angle plan aigu ,
r\ cosin. :: ^-'^+p^ :±^'^qz:p\ 2°. Pour la plus petite incidence des faces ,
; r : cosin : : 2;?' .* d=g" qFp"-
3*. Pour l'angle aigu de la coupe principale,
sin : cosin :: \/3^^^^^ — g^ l z^g^zpp^.
Or, si l'on fait ^ = \/3, j> = 2, comme dans le rhomboïde primitif, et que l'on prenne les signes supérieurs, le premier rapport devient 5 : i j le second, 4 • I ; et le troisième, 3 : i.
Et si l'on fait g=\/3^ p^=^ Vo, comme dans le rhomboïde secondaire , et que l'on prenne les signes inférieurs, le premier rapport devient 4*^? ^^ ^^ cond , 5 : I • et le troisième , 3 : i . Donc il y a identité relativement au troisième ande, et à l'és^ard des deux autres il y a inversion , ce qui a suggéré le nom de chaux carbonatée inverse , que j'ai donné à cette
A ariétc. Je prouvera i dans la smte qu'il y a pour cliaque rhomboïde une loi parliculière de décroissement qui dépend du rapport entre g et p . et dont le résultat est un rhomboïde secondaire qui jouit des^ mêmes propriétés.
59. 11 existe une variété de fer ohgiste que j'appelle fer oligiste soustractif^ qui est représentée (fîg. 3^), et qui parmi ces dilFérentes faces en a six désignées par u^u^ etc. , et produites eu vertu de la loi E'^E. Son signe rapporté au noyau (fig. 32).
est DPE^^EE"EA. Incidence de A- sur n^ 160*^26'^
h V n II s
de Psur z^, 128^29'.
Il est remarquable que les faces u , u soient des riiOQibes , quoique les faces A', k ^ d'une partj et n^n^ de l'autre, dont les intersections a\ ce les faces u , w/, déterminent les figures de celles-ci, aient des inclinaisons différentes. Ce résultat, dont la cristallisation offre divers exemples , dépend de certaines conditions que je vais faire connaître.
Soient opn, Inp (fig. 38.), deux faces triangulaires ou de toute autre figure, qui aient entre elles des inclinaisons quelconques , pourvu qu'elles soient également inclinées sur le plan onlj et 02/2, Izn^ deux autres faces réunies aux premières sur les arêtes cn^ In^ et qui peuvent de même être inclinées entre elles de telle quantité qu'on voudra , pourvu qu'elles le soient également sur le plan onl. Ayant mené nt qui divise en deux parties égales Fangle 0/2/5 je prends
siu' l'une ou l'autre des arêtes np^ nz^ par exemple sur la première , un point quelconque 5 , et de ce point je mène sur nt la ligne sg parallèle à l'autre arête nz^ puis ayant divisé en deux la ligne ng^ je mène par le point c de division la ligne scy jusqu'à la rencontre de/zz, et par cette dernière ligne je fais passer un plan sryu , dont la section ru avec le plan oui est perpendiculaire sur ng. Je dis que ce plan est un rliombe. Car les triangles ncy ^ gcs ^ sont semblables et égaux, puisque d'une part les angles scg, ycji, cgs^ cny^ sont égaux deux à deux, et que d'une autre part cg-=i en par la construction. Donc cs:=cy. De plus, il est aisé de voir que cr-=-cu. Donc les diagonales sy^ ru^ étant perpendiculaires l'une sur l'autre, il en résulte que les côtés rs^ ry^ su^yu^ sont égaux entre eux, et que la face siyu a la figure d'un rhombe.
Imaginons maintenant que les diverses faces représentées par la figure 38 prennent de telles positions relatives, que psro ^ psulj deviennent parallèles à n' ^ ji' ( fig. 37) , 07yz , luyz ( fig. 38), parai- ^ lèles à A", k' (fig. 3r), et sryu (fig. 38), parallèle à 2^' (fig. 37 ), il est évident que le plan onl deviendra perpendiculaire sur les faces oryz^ ^^^f^? ^t que la section 7'w du plan sryu sur le plan oui sera toujours perpendiculaire à la ligne nt. Si en même temps s g devient parallèle à nz , elle sera aussi perpendiculaire sur nt. Reste à prouver que, dans cette lijpothèse, on a cg=:'-gn.
Supposons que la construction de la figure 29 se rapporte à l'effet de la loi E^^E, qui donne les faces 7z", tJ' ( fig. 37 ) 5 auquel cas
at (fig. ^9) =^ \/9P^^V=iN/9P^-^* ;
la ligne tp (fig. 29) sera parallèle à l'arête y (fig. 37), et en même temps à la ligne pn (fig. 38 ) , et l'on aura
ng'-gs ::;7r(fig. 21): tr::gn\nt :: \/^^:an-\'at
Supposons d'une autre part que la construction de la figure 29 se trouve ramenée à l'effet de la loi E"E qui donne la face u' ( lig. 37 ) , auquel cas
«^(fig. 29) = v/9r"^^7' La ligne tp deviendra alors parallèle à la face u ( fig. 37), et en même temps à la ligne es (fig. 38) , et l'on aura ,
cg : gs :: pr(fig. 29) : tr :: gn : nt .: s/^g"- : «72+^^
Comparant cette proportion avec la précédente , on en conclura que cg (fig. 38)= ^^/z, ce qu'il fallait prouver. Donc la position de la face 2^' (fig. 37) remplit les conditions requises pour que cette face ait la figure d'un rhombe.
