V. Décroissemens sur Vangle inférieur
63. Ces décroissemens ont de l'analogie avec ceux qui agissent sur l'angle supérieur, soit parce qu'ils
(1) Soit aècJ (fig. 40*^3 coupe transversale du rhomboïde primitif. Ayant mené les diagonales acj ad, et la ligne br perpendiculaire sur ad, et qui sera le cosinus de l'angle aigu bad, en prenant ba pour le rayon, on aura par l'hypothèse aoz=z\/S, et bo^=.\/j. Donc ab ou ad=\/ iS.
Donc ablarllX/^TSl^/^luBli,
Mais (Q)ab:ar::2p'^lg^ — p^
Donc 2p':g^^p'::i5:u D'où Vontïve, g:pi:\/T7:)/'ïS>
produisent en général des rhomboïdes , soit parce qu'ils peuv eut avoir lieu directement ou par renversement, en sorte que tantôt les faces produites s'inclinent vers la partie supérieure de l'axe, et tantôt elles se rejettent en sens contraire vers la partie inférieure. Occupons-nous d'abord des décroissemens dii^ects.
Soit toujours adsg (fig. ^2) la coupe principale du noyau, et soit pm la diagonale oblique du rhomboïde secondaire, et rnu Taréte inférieure contiguë à cette diagonale. Le triangle mensurateur dho ne différera point de celui que nous avons considéré (p. 32 1) dans le cas des décroissemens sur les bords inférieurs (fig. 16), et nous aurons encore ici,
dh (fig. 42 j : o^ : : 2np : vV +P^'
Seulement le nombre de diagonales soustraites qui était égal au nombre de rangées soustraites dans le cas précédent , indiquera un nombre double de rangées soustraites. Nous aurons aussi, en suivant la même marche pour le calcul,
ap = ;^\/9P' — %*• ( ^oyez 3 1 .)
Cherchons les expressions des deux diagonales yet'X du rhomboïde secondaire.
Ayant mené mz perpendiculaire sur pu, nous aurons les triangles semblables drp, mzp, qui donnent
dr \pr\\mz '»pz', I. 24
Zjo TRAITE
c'est-à-dire
Donc
Maintenant pM ou
Et
a cause de 3'"=(^,-;7^rT)^ '
D'où l'on tire
-(«+0\/CT:^)V-kO+(^-)V.
64- Clierclions de suite les valeurs des quantités qui 5 dans les décroissemens inverses , correspondent aux précédentes.
ï**. Pour la partie de l'axe du rhomboïde seconilai.e qui excède celui du noyau* soit ou (lig, 4^) une des diagonales obliques du premier 5 et op l'arête
adjacente; d'où l'on voit que ou répondra à une arête ds du noyau , et op à une diagonale oblique ad. Soit dhe le triangle mensurateur , dans lequel
dh : eh :: 27^p:\/g*+p^
Ayant mené al prolongement de ad^ nous aurons les triangles semblables j;^/,/?^^, qui donnent
^5 : (7s 4-<7/7 : : «Z : ap.
Or, gs = ip. as:=\/^if — 3^-"-
Reste à trouver al. Les triangles^semblables gal^ dhe^ donu en t eh \dh\\ga\al.
Ou VV+y^' • -^P ••V4'+P'- al=27ip. Donc la proportion gs ^ as-j-apllal» ap devient
^P ' y'dP — %' + ^^P : : 277/? : ap.
D'où l'on tire, en désignant par a la valeupde l'axe as,
ap = a = us.
2°. Pour les diagonales du rbomboïde secondaire , que nous désignerons par y\ tt'; la ligne 02 étant une perpendiculaire sur l'axe pu , les triangles semblables ozu., druj donneront dr\ur\\oz\uz ^
ou Vïr:(f+7^-)VQ;^^^'"\'l>^
Et simplifiant , ^ : 27z + 1 : : ^' : 2/2 + 2 .
Donc , y zzzp . — -— .
Maintenant, Donc
D'où l'on tire
65. 11 existe entre les résultats des deux modes de décroissemens que nous considérons ici, une relation semblable à celle que nous ont offerte les décroissemens qui agissent, sur l'angle supérieur^ c'est-à-dire que les mêmes rhomboïdes qui résultent d'un décroissement direct sur l'angle inférieur, pem ent aussi être produits en vertu d'un décroissement inverse sur le même angle. Pour trouver une formule à l'aide de laquelle étant donnée la loi relativ e à l'un des rhomboïdes, on puisse connaître celle d'où dépend l'autre, continuons de désigner par /z le nombre de diagonales soustraites par le décroissement direct, et nommons n celui qui se rapporte au décroissement inverse. Il est
facile de voir que la similitude de forme entre les deux rhomboïdes dépend de la condilion que U7' (fig. 43) soit égale àpr (fig. J\2). Donc
ou simplement
^rL-\-l 271 + 1
d'où l'on tire
"' + ^' et ,/=^^ + ^
66. Ici revient la même propriété qui a lieu pour les décroissemens sur l'angle supérieur, c'est-à-dire que les deux formules indiquent les mêmes fonctions réciproques entre n et n' ^ en sorte que l'on peut aussi choisir l'une d'elles à volonté, par exemple la
première , ou tz = ^/ > ^ 5 P^^^^' ^^ déduire la solution des deux espèces de problèmes. De plus , si l'on compare cette formule avec celle qui se rapporte aux décroissemens sur l'angle svipérieur, et qui est
on voit qu'elle n'en diffère qu'en ce que les quantités renfermées dans le second membre sont affectées de signes contraires. On peut donc réunir les deux vaieurs de n en une seule, qui aura la forme suivante
les signes supérieurs devant être employés dans îe cas des décroisseniens sur l'angle A, et les inférieurs dans celui des décroisseniens sur l'angle e. Ayant déjà quelquies-uns des résultats relatifs aux signes supérieurs, suivons la formule dans ses applications à de nouv eaux problèmes.
67. Si en continuant d'employer les mêmes signes, on fait n =^2j n devient zéro, et l'on a un résultat que j'ai déjà indiqué plus haut (p. 820 ) : c'est-àdire que aclsg (fig. 44 ) étant toujours la coupe du noyau , et ao étant la diagonale oblique du rhomboïde produit par le décroissement direct, celle du rhomboïde qui résulte du décroissement inverse coïncide avec l'arête ag.
Si l'on fait n plus grand que 2 , la valeur de n de\ ient négative. La diagonale oblique du rhomboïde produit par le décroissement direct ayant alors une position telle que ad'^ située en dessous de ao\ celle du rhomboïde donné par le décroissement inverse , tend à s'abaisser en dessous de ag^ en prenant une position telle que ax\ elle sera située comme la diagonale oblique d'un rhomboïde qui naîtrait d'un décroissement inverse sur l'angle e' (fig. 4"^) 5 ^t il est évident que ce rhomboïde est semlDlable à celui dont ao" (fig. 44) représente la diagonale oblique. Alors la marche du décroissement au lieu d'être descendante , en allant de a vers x , comme dans les cas précédens, devient ascendante en allant de g vers p , et c'est ce qu'indique le signe négatif. La
valeur de 72, prise avec le signe positif, est la même que celle qu'on aurait obtenue , en cherchant immédiatement la loi du décroissenient inverse sur l'angle e' (fig. 45), d'où résulte un rhomboïde semblable à celui qui est produit par le décroissement direct sur A, et dont aS' (fig. 44) est la diagonale oblique. 11 est facile de vérifier cette analogie, en considérant que dans le cas dont nous venons de parler , on a gn : nf (fig. 43) ou dr\ ur\\ mu (fi.g. 5, ph i5) • ciu. Or, lorsque dans la formule trouvée ci-dessus, savoir,
on fait n' plus grand que 2, cette quantité se rapporte à un décroissement inverse. Désignant donc par n la loi du décroissement qui détermine le rapport mu à au (fig. 5), et par 72 celle du décroissement d'où dépend le rapport drkur{ fig. 4^) , nous aurons
■071 OU
1 — n D'nù l'on tire
i:^^-l::n'-hi:2n'^i
Or, si dans cette formule on substitue à n telle valeur numérique que l'on voudra, le résultat sera
le même que celui auquel on parviendrait si dans
la première formule n = . / . — on égalait n! à la
même valeur, et que l'on prît le résultat avec un signe contraire (i).
Ç)^, Ainsi la formule 7Z= -7-733- indique par ellemême les cas où le décroissement inverse qui répond à celui dont la loi est n agit, non plus sur le même angle supérieur A (fig. 4^)5 m^is sur l'angle inférieur e de la face opposée à P, et de plus elle donne la loi du décroissement dont il s'agit.
Si l'on suppose ^^' infini , les faces produites étant censées se confondre avec celles du noyau, le rliomboïde correspondant, qui naît du décroissement inverse, sera semblable à ce même noyau; alors les nombres 2 et 1 s'évanouissent devant les quantités infinies n oX. ^n\ et l'on a 7Z= — \, c'est-à-dire que le décroissement qui donne ce résultat remarquable a lieu par deux rangées en liauteur sur l'augle e'
(i) Supposons par exemple que la substitution d'une valeur numérique à n' dans la formule rL-= , conduise à un
résultat négatif ^ ce qui est le cas que nous considérons ici.
Soit 7-7— — ^=: — fl. Si Ton rend a positif, le premier membre 4'* -r 1
ji'- 2
devient — >— — , qui dans l'autre formule donne la valeur 471 4- 1 ' ^
de «.
rvoiis reviendrons bientôt sur ce même résultat, pour en faire des applications à des variétés prises dans diverses espèces.
6g. Considérons maintenant la formule relativement aux signes inférieurs, et servons-nous des résultats qui se déduisent de leur usage , pour comparer et lier entre elles les propriétés renfermées dans les formules particulières qui se rapportent les unes aux décroissemens directs sur l'angle e (fig. 4^), les autres à ceux qui agissent par renversement sur les mêmes angles.
Si Ton fait 7Z= i , dans l'expression —37- ci de ap
(fîg. 42)5 ^^ ^ c[p = ^a; c'est-à-dire qu'alors l'axe étant infini, les faces produites lui sont parallèles et disposées conmie les pans d'un prisme hexaèdre régulier. D'une autre part, si Ton égale aussi n à l'unité
dans l'expression de us (fig. 43), on trouve pareillement 7/5 = ^ a. Les deux décroissemens se trouvent alors parvenus à une limite passé laquelle les Jignes 777/7 (fig. 42) et du ( fig. 43) se rejettent l'une et l'autre en sens contraire, de manière que le décroissement direct se change en un décroissement inverse, et vice versa.
La formule 7? = 7-7—1 — prise avec les signes inférieurs indique l'identité des deux résultats précédens y car si l'on lait n'=iy on trouve 77 = 3 = i . Je citerai bientôt divers exemples analogues à ce parai-
lelisme entre les faces produites et l'axe du noyau , et dtuis lesquels ces faces se trouvent limitées p:;r d'autres, qui sont dues à des lois différentes de dé- CI oissement.
70. Si dans le rapport trouvé plus haut entre les expressions des diagonales y et vr des rhomboïdes secondaires produits par des décrois semens directs sur e (fig. 45) , on fait g=z v/3, ;?= Va, 72= f , auquel cas le décroissement a lieu par trois rangées en largeur, on aura >=| \/3,et7r=:f \/-^=| ^17. Donc y iTT :: \/3 : \/i^.
Il existe une variété de chaux carbonatée représentée (fig. 46), qui réahse ce résultat. J'y reviendrai plus bas, pour en démontrer une propriété remarquable , d'où j'ai tiré le nom de contrastante ^ qu'elle porte dans la méthode.
