rour n . oon expression sera touiours — -, ^-r

r j 2Qg. — 2a g

201. C'est encore la cristallisation de la chaux carbonatée qui m'a offert les deux variétés que je ^ ais citer comme exemples de dodécaèdres compris dans le cas que nous considérons ici. Les faces qui se combinent dans l'une et Tautre avec celles de ces dodécaèdres sont situées parallèlement à l'axe du générateur.

La première j qui est représentée (fig. iSo), et

£|iii porte le nom de hisadditiçe^ a pour signe B^. Le

dodécaèdre qui en fait partie tourne ses arêtes les plus saillantes, telles que d. ^ ers les faces du générateur.

Supposant « = 9, d'où il suit que o' = \/27, et p = \/i8, et déterminant les autres quantités d'après les valeurs algébriques trouvées plus haut , nous aurons, pour Taxe du noyauhypothétique,r/'=3 j pour ses demi - diagonales , g = v/yj , p' = s/^G : pour l'exposant de la loi qui produit le dodécaèdre en agissant sur les bords inférieurs du noyau hypothétique 5 7z' =: 2 ; et pour l'exposant de la loi qui donne naissance au noyau hypothétique en agissant sur les angles supérieurs du générateur, n^=.\-^ ce qui donne pour le signe représentatif, A.

On voit que la loi qui produit le dodécaèdre est la même que celle qui a lieu pour la variété métastatique, en agissant par deux rangées sur les bords correspondans du générateur. Mais de plus , si Ton cherche le rapport entre le sinus et le cosinus de la demi-incidence de 7 sur 7', on tiHDuve qu'il est celui de V'29 a y 3 , lequel a lieu aussi dans le dodécaèdre métastalique (p. 336), avec cette différence, que l'incidence qui en résulte dans le premier dodécaèdre appartient aux faces les moins inclinées entre'elles ^ tandis que dans le second ce sont les faces les plus

inclinées qui la donnent. J'ai cru qu'il ne serait pas indifférent de faire remarquer cette analogie entre les lois de structure relatives à deux rhomboïdes qui contrastent si fortement par le rapport de leurs dimensions, l'axe du générateur étant à la demi-diagonale oblique comme 3 à V^S, et celui du noyau hypothétique étant à la même ligne comme 3 à \^'jS^ ou comme 3 à 5 \/3.

Les sinus et les cosinus des angles égaux aux moitiés des incidences qui difîèrent dans les deux dodécaèdres, offrent aussi une corrélation qui me parait mériter d'être citée. Dans le métastatique , leur rapport est celui de V^5 à \/3 , et dans la variétébisadditive, celui de \/i 75 à V^3, ou celui de 5v/5 à \/o^ d'où l'on voit que le cosiims étant le même de part et d'autre, les sinus sont entre eux comme les demidiagonales du générateur et du noyau hypothétique.

Le calcul donne pour l'incidence de 7 sur 7', qui est commune aux deux dodécaèdres, i44'^2o' 26", et pour celle de 7 sur 7 , qui est particulière^ à celui-ci,

11 me reste à indiquer les deux incidences des faces 7,7, sur les pans du prisme. L'arête <i, qui est la plus saillante, étant tournée vers l'un des rhombes du générateur, on fera, daas l'application de la formule à l'incidence de n' ou de 7 sur c', 51=45 t=^y et l'on aura (D) gr : sz '' X^'j : i , ce qui donne 1 10^ 4^' 43 '■) pour l'incidence dont il s'agit. L'arête n

étant au contraire la moins saillante, les valeurs de s et de t seront 5 et 4 ? et l'on trouvera

ce qui donne pour l'incidence de 7 'sur c, i i6'^i4'i9'^ 202. La variété que je nomme surbaissée ^ et dont on voit la projection (fig. i5i ), se présente naturellement à la suite de la précédente, comme exemple d'un dodécaèdre qui tourne ses arêtes les moins saillantes, telles que A, vers les faces du générateur , ainsi que l'indique la figure 5, pi. 1 5, dans laquelle us est plus petite que au. C'est ce qui la distingue de l'autre , avec laquelle elle a beaucoup d'analogie par son aspect , en sorte qu'à en juger d'après le coupd'œil, on peut être tenté de les confondre. Le signe

de celle dont il s'agit ici est Be. En supposant que

l'on ait comme ci-dessus, a = g,^= y27,/?=V 18, et en suivant, par rapport aux valeurs numériques des autres lignes, la marche qui a été tracée à l'égard de la bisadditive , on trouvera

ce qui indique deux rangées de soustraites sur l'angle supérieur du générateur. On \ oit que la loi qui produit le dodécaèdre, en agissant sur les bords inférieurs du noyau hypothétique, a lieu par deux rangées comme dans la variété niétasta tique, et aussi comme dans la bisadditive. A l'égard des incidences

mutuelles des faces du dodécaèdre, on a pour le rapport entre le sinus et le cosinus de la moitié de celle de t sur t' celui de s/Sg à \/3, ce qui donne pour cette incidence iSg^ 1 1' 34" , et pour le rapport entre le sinus et le cosinus de la demi-incidence de i' sur t' 5 \/io : V/3 5 d'où l'on déduit pour cette incidence i37^39'2G'\

Dans les applications de la formule relative aux incidences sur les faces c, on fera 5==5,i = 45 s'il s'agit de celle de t ou de t' sur c\ et l'on aura

ce qui donne pour cette incidence i2i^25'3''- et s'il s'agit de celle de t' ou de ^"sur c, on fera5=45 ^=5 ; on trouvera gr\rz\\ ViQ'^j ce qui donne pour cette seconde incidence 1 1 4^ 38' 5o''.

2o3. 11 me reste à traiter des dodécaèdres qui appartiennent au troisième cas, et qui sont produits par des décroissemens sur les angles latéraux du générateur. Je suivrai ici la même marche que dans l'article précédent, où j'ai commencé par déterminer d'une manière générale le noyau hypothétique.

Le dodécaèdre est susceptible , comme ceux qui sont compris dans le second cas, de deux positions différentes , selon que ses arêtes les plus saillantes sont tournées vers les faces du générateur, ou que c'est le contraire qui a lieu. La figure 162 représente ia prqpiière de ces positions. Les arêtes ot,pi ^ qui

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5()i

sont les plus saillantes, répondent aux diagonales obliques ad^ gs ^ de la coupe principale du générateur. Le quadrilatère oa'ps' ^ qui est celle du noyau hypothétique , tourne vers les mêmes diagonales les bords supérieurs a'o, ps' du rhomboïde auquel ii appartient, et les diagonales obliques a'p^ os^ correspondent aux bords supérieurs ag , ds , du générateur.

A mesure que le décroissement qui donne le dodécaèdre devient plus rapide , les arêtes to , pi , se rapprochent des diagonales ad^ gs , et leur différence de longueur avec les arêtes oij tp^ va en diminuant, en sorte qu'il y a un terme où elles deviennent égales^ et à ce terme le dodécaèdre se trouve converti en double pyramide droite. Au-delà de ce terme, les effets inverses des précédons prennent leur place, ainsi qu'on le voit fig. i53. Les arêtes les plus saillantes oi , tp^àn dodécaèdre , qui sont en même temps les plus courtes, sont tournées vers les bordiJ supérieurs ds^ ag, du générateur, et le contraire a lieu par rapport aux arêtes ot , pi. D'une autre part , les diagonales obliques a^o , s'p , du noyau hypothétique, et celles du générateur sont en regard, efc.c'est la même chose à l'égard des bords supérieurs.

J'ai déjà remarqué plus haut que les lignes oz , px^ qui sont les perpendiculaires sur l'axe, dans le noyauhypothétique, ne coïncident pas avec les directions des lignes gji^ dr^ qui font la même fonction dans le générateur : elles sont tantôt plus éloignées (fig. i^'?^,

et tantôt plus voisines du centre (fig. i53). La difftk'ence va en diminuant, à mesure que le dodécaèdre approche du terme où il devient un solide pyramidal , et où l'axe du noyau hypothétique s'évanouit. Je reviendrai plus has sur le défaut de coïncidence dont il s'agit, et je déterminerai le point de l'axe /z, qui donne la limite au-delà et en deçà de laquelle les perpendiculaires sur l'axe subissent un changement dans leurs positions respectives.

204. Je reprends maintenant la figure i52 , et je vais déterminer diverses quantités relatives à l'hypothèse qu'elle représente.

Soit A l'axe du générateur, G et P les demi-diago-

31 aies de ses rhombes, - le rapport de A à G, /2 l'ex- ])Osant delà loi qui produit le dodécaèdre en agissant sur les angles latéraux, a l'axe du noyau hypothétique, g' et ]j les diagonales de ses faces, rH l'exposant de la loi qui en agissant sur ses bords inférieurs donne naissance au dodécaèdre, et ri' l'exposant de la loi susceptible de produire le noyau hypothétique comme forme secondaii-e du générateur.

J'ai donné plus haut les expressions des trois lignes az. tz^ iz^ nécessaires pour l'application delà formule, en adoptant comme quantités coruiues l'exposant 72 et le rapport -. J'ai eu pour les expressions

^.ont il s'agit tzz=^l\n , /£=27z+3 et oz-== — V^î^""' Je les conserverai; pour la facilité du calcul j et j'en

DE CRISTALLOGRAPHIE. 5q5

j'en déduirai celles des diverses quantités dont j'ai parlé.

i*^. Pour A ou as,

as . as . , , /^ . o

dune

tl — 2at=6n'i'0 ;

donc

as = 6n-4~3 ,

Il •'

ou

as .

72—6n''-h3n—as^

et

donc

as .

7Z+rt5=672^-f"-^'2;

Pour G.

ou as^.^ ; .

Il-tl

A. G:: «:p-; — - — :G ::a :gy G = - . — t—-»

3"* Pour P. Connaissant A et G , on aura facile-

ment P, dont l'expression est V'^G^' + ^A*. 4^ Pour a,

a:=3iz — 3/z==:67ï+9 — 1272=9-^6/2.

5°. Pour/.

donc p-="^.

6*. Pou^/>^ On aura son expression, en procédant de la même manière que pour celle de P.

5q4 TRAITÉ

7°. Pour n . at ou \{ti — a) étant la partie de l'axe du dodécaèdre qui excède de chaque côté l'axe du noyau hypothétique, et le décroissement ayant lieu sur les bords inférieurs de ce noyau , on aura

-ibn-i-ô — q-j-ij/ij^— et 2n — 1==— > ,

*^ ^ ^ Il — i' Il — i

d'où l'on déduit ?i =

8*. Pour n^'. Si l'on suppose que la diagonale oblique a^p du noyau hypothétique se meuve parallèlement à elle-même, jusqu'à ce qu'elle se trouve en contact avec le point g^ il est aisé de voir qu'elie sera située à l'égard du générateur, comme une face d'un rhomboïde produit en vertu d'un décroissement par renversement sur l'angle situé à l'extrémité inférieure de la diagonale .9^ du générateur. La figure i54 représente les coupes des deux rhomboïdes dans leurs positions respectives; et d'après la formule quia été employée pour les exemples du même genre , on a

gn : an:: S/tg^ . ^j^-.— 3 .a:: ^V 3 . -^,,~^ ^a::g\/^.-^a, ou

d'où l'on conclut

DE CRISTALLOGRAPHIE. SgS

200. J'ai promis de déterminer la limite entre les deux positions de la ligne oz (fîg. i52), l'une audessus, l'autre en dessous de la ligne In. Pour j parvenu-, il faut égaler les valeurs de tz et de tn, et en déduire la valeur de n. Or.

et subsliiuanl la valeur de a =:~'^^

//z = i?Zij:h5" "^ 157?'^ -f 6/1^ 471^0-8714.5

ï^-^is te = 4/2;

donc on aura

-17rT"2~ = ^^' ou 4/r = 3,

<I'oii Ton tire 7Z= \ | , quantité incommensurable , d'où il suit que la coïncidence des deux lignes sur une mèn.e direction ne répond a aucune loi possible de décroissenjent, en sorte (ju'il y a un saut brusque d'une position a l'autre. Lorsque 7z=c|, comme dans k dodécaèdre que nous considérons ici, on a tn=±^ et fz = ^. tz étant alors plus petite que //z/îa ligne oz se trouve au-dessus de //z, conmie le représente la figure. Si l'on fliit 72=1 , on aura tz=^ c'est-à-dire qu'elle sera plus grande que tn, qui con^ serN e toujours sa valeur ff et la ligne oz sera >ituée en dessous de //z. A mesure que la valeur de n s ariera

bgS TRAITÉ

entre | et l'unité, oz approchera de coïncider avec In^ 5oit dans un sens, soit dans l'autre, sans jamais arriver à une coïncidence exacte.

La ligne oz continuant de descendre en dessous de la ligne lu , après l'avoir dépassée, restera toujours en dessus de dr. Seulement, elle s'en rapprochera, à mesure que la loi de décroissement devenant plus rapide, la distance entre ot et da diminuera. Or, quelque petite qu'elle soit, les points o et d qui sont les extrémités des lignes oz et dr^ seront toujours séparés, et lorsqu'ils coïncideront, la ligne o^se confondant elle-même avec la diagonale ad^ le dodécaèdre s'évanouira.

La ligne 02, en se rapprochant de rZr, arrive à un terme où les lignes tz , iz deviennent égales; c'est ce qu'exprime l'équation 4^ = 27z+3, d'où l'on tire 7i=^\. Le dodécaèdre se trouve alors converti en une double pyramide droite hexaèdre. Au-delà de ce terme, tz devient plus grande que iz , ainsi qu'on le voit fig. i53. Yoici les expressions algébriques des diverses lignes indiquées plus haut, qui conviennent au cas dont il s'agit.

1°. Four A ou as. Un aura touiours as= — •

2°. Pour C On aura de même Gn=^

3°. Pour P. P=ViG^+^A^ 4^ Pour a.

a ;s=: 3tz 3/;^;= 1272 — 6/2 — g = 6/2 — 9.

5*^. Pour^'. g =■ — -^ comme ci-dessus.

6*. Pour p' , On déterminera son expression, en procédant comme pour celle de P.

7°. Pour n. i(ii — a')=:— . Substituant à la

place de ti et de a' leurs valeurs 6^-}- 3 et 6n — g,

on trouvera n =

8". Pour n'. Si l'on conçoit que la diagonale «^o du noyau hypothétique se meuve parallèlement à ellemême vers le point t , jusqu'à ce qu'elle se trouve en contact avec le point a , il est facile de voir qu'elle sera située à l'égard du générateur comme une face d'un rhomboïde produit par un décroissement sur l'angle supérieur de ce générateur. On déterminera la valeur qui en résulte pour n\ en appliquant ici le ealcul qui a été employé pour les dodécaèdres compris dans le second cas , et qui se rapporte à la fig. 5, pi. i5. La proportion de laquelle on déduit cette valeur est

ce qui donne

2ag' — 2a' g '

206. La variété que j'ai choisie comme premier exemple relatif au troisième cas , et qui appartient encore à la chaux carbonatée, semble enchérir par

ses propriétés sur toutes celles qui ont été citées juscju'ici. Son noyau hjpotliétique n'est pas simpleiiieiit, comme dans ces dernières, un rhomboïde secondaire d'une forme particulière, duquel nait un dodécaèdre qui n'est lui-même quliypothétique^ c'est une reproduction du générateur, et le résultat de la loi qui en fait dépendie le dodécaèdre se trouve réalise par la cristallisation dans une autre variété que j'indiquerai plus bas.

Celle dont il s'agit ici, et que représente la fig. i55^ porte le nom dianarmostique. Son signe est w

DE^^EeE^'^EA. Les faces v ^v^ appartiennent au do-

IX f h ^ o

décaèdre que nous avons ici à considérer, et qui est représenté séparément (fig. i56). On voit (fig. iSy) la ]jrojection de son noyau hypothétique. En comparant les figures IJ2 et i57, on remarquera du premier coup-d'œil que ce noyau rentre parmi ceux dont la coupe principale tourne ses bords supérieurs a'o, -ps^ ^ vers les diagonales obliques arZ, gs , du générateur. Dans le même cas, les arêtes les plus saillantes c, c (fig. i56) du dodécaèdre répondent aussi a ces diagonales , et de plus leur sont parallèles.

L'exposant de la loi qui donne le dodécaèdre étant représenté par | , dans les applications de la théorie, cherchons les valeurs numériques dont nous avons donné plus haut les expressions algébriques. Nous

aurons ,

1®. A ou as= ; = "~7-

De là il suit que

C'est-à-dire que le noyau hypothétique est semblable au générateur, ainsi que je l'ai annoncé.

5*. n'z=. -^^- ■^—r-=^2. C'est-à-dire que le rhom-

boïde hypothétique est susceptible d'être produit à l'aide d'un décroisseinent par deux rangées en hauteur sur les angles inférieurs du générateur, lequel décroissement donne un rhomboïde secondaire sem- ])iable au primitif, et c'est ce qui doit avoir lieu dans le cas présent.

207. Mais ce n'est pas tout :1a loi du décroissement par quatre rangées qui , en agissant sur les bords inférieurs du noyau hypothétique, est susceptible de faire naître le dodécaèdre, existe dans la variété de chaux carbonatée que j'ai nommée ascendante, et que représente la figure i58. C'est d'elle que dérivent les faces zz, 7Z, qui se combinent avec les faces m du rhomboïde contrastant et les pans c, c du prisme hexaèdre , ce qui donne pour le signe représentatif

6oo TRAITÉ

de cette variété, eel). Ce second cas donne une exi-

stence réelle à ce dont le premier n'indique que la possibilité.

Il me reste à déterminer les incidences de faces jf, o et h , sur celles du dodécaèdre.

i^. Pour f. Je reprends la figure i52 , et je cherche les valeurs numériques des coordonnées tz , iz et oz^^ à l'aide de leurs expressions algébriques trouvées cidessus ( p. 592). Nous aurons ^^ = 4'z= 4 • 1 == ^ ?

/i: = 2« + 3=2. 1 + 3=1, oz=^Vî?=3-

Maintenant , je considère que le rhomboïde hypothétique qui fait ici la fonction de générateur, et dont la coupe priRcipale est aosp^ tourne ses diagonales obliques vers les arêtes les moins saillantes du dodécaèdre. Ainsi le rapport de ^ à ^ sera celui de txk ix. Or , fx= iz = f ; ix = tz = 3. Donc 5 == | et t=: 3. De plus, px=ozz=.3=:\/^\ Donc ^' = |\/3. Multipliant toutes ces quantités par J , nous aurons

Or, les faces du rliomboïdejTse rapportent au cas de la formule (C) p. 577.. Bouc

rz :: v/f + (4-3)^ : 2 +6 :: /^^ : 8

::\/f:8::i:V/54; ee qui donne pour l'incicleuce proposée 168^ 37' 47^'-

s*. Pour o. La formule (B) donne

sr : rz :: v/i +27 :\/îi :: v^? ^ ^3; ••

d'où l'on déduit pour l'incidence de o sur i^ 1 82^ 1 3'22"c 3°. Pour h. On pourrait conclure l'incidence de cette face sur les faces v ^ p^ de celle qui a lieu entre ces dernières, en ajoutant 90*^ à celui qui en donne la mesure. Mais, pour ne pas laisser la formule (a) sans application , je la substituerai ici à celle que j'ai indiquée en traitant des décroissemens sur les angles latéraux d'un rhomboïde. INous aurons donc

sr : rz :: V 1(4 + 9) • 4 + 9 •• i • V'^Dy

ce qui donne pour l'incidence proposée 170^54^9''. La variété ascendente qui sert ici de terme de comparaison à l'anarmostique, va nous fournir une nouvelle application de la formule, dont le sujet sera l'incidence des faces m (fig. i58) du rhomboïde contrastant sur les faces /z , tz , da dodécaèdre combiné avec ce rhomboïde. D'après ce qui a été dit de la similitude entre le même dodécaèdre et celui auquel appartiennent les faces v^ v (fig. 155), nous aurons toujours 5=3, i=2. g=i V^3, et de plus 772=1 , h=^' Ces valeurs substituées dans la formule (A) donnent

sr : rz :: y/Ç -f- 20 : 2 -f- 12 :: \'^ : v/558 ,

d'oii l'on déduit pour l'incidence àem sur 7Z (fig. i58) 159^21^21'.

€o3 TRAITÉ

:2o8.J'ai maintenant à proposer un second exemple tiré (l'un dodécaèdre qui tourne ses arêtes les moins saillantes vers les faces du générateur. Je choisirai la variété de fer oligiste que je nomme md-sénaire , et que représente la fig. 3i. Son signe estPAE^^E.

Po g

L'exposant de la loi qui donne le dodécaèdre étant 3 , et les valeurs numériques du rapport entre les dimensions du générateur qui sont censées connues étant a==\/63, ^=\/9, p=\/io, si l'on cherche celles des autres quantités , d'après les expressions algébriques données plus haut , on aura

1°. A ou «5 =

3^P=v/iG^ + i-A= = |\/7o.

8^ n' = 2. Cette loi est celle qui donne un rhomboïde semblable à celui dont le signe est B.

Pour déterminer l'incidence des faces ^, ^, du dodécaèdre sur la face o perpendiculaire à l'axe , on se servira de la formule simplifiée relativement aux

ea s de ce genre, et qui estsr:rz'.:\/[2t — sy'i-3s^*2gy

Donc nous pouvons faire 5 = 4? ^^=^^^ §'^=^ V^^« Ces valeurs substituées dans la formule donnent

d'où Ton conclura pour l'incidence proposée

20g. J'ajouterai ici un exemple relatif au cas où le décroissement sur les angles latéraux avant f pour exposant, le dodécaèdre qui en résulte est composé de deux pyramides droites réunies par leurs bases. Le sujet de cet exemple sera la variété de fer oligiste dont on voit la projection (fig. 35) et que je nomme b'mo-temaire. Elle a pour signe PE^^EA. L'incidence

qu'il s'agit de déterminer, à l'aide de la formule modifiée convenablement est celle des faces n , n du dodécaèdre , sur les faces 5 , 5 du rhomboïde terminal. Dans ce cas on a

INous avons eu

donc

Gc4

rPiAITÉ

donc

:: s/aS:

Ainsi nous pouvons faire 5= s/28 . g=: V^9- Dans le rhomboïde terminal g" : p" :: 12 : \/55. Donc

a":g"::\/65:\/'^4: et v/]^^:K::v/4B:v/7::^^:^.

Substituant ces valeurs dans la formule , on aura

et en réduisant, :: \/952 : \/io83. Ce rapport donne poiu' l'incidence proposée 1 36^^ 5 1 '.

210. Je vais terminer cet article par un résumé des applications que j'ai faites de la formule à la théorie de la chaux carbonatée, qui est de toutes les espèces minérales la plus féconde, sous tous les rapports , en modifications diversifiées. J'ai observé jusqu'ici, parmi ses formes cristallines, 17 rhomboïdes différens, auxquels il faut ajouter les deux limites, dont l'une donne des faces perpendiculaires à l'axe, et l'autre des faees qui lui sont parallèles, ce qui fait en tout Tg. Le nombre des dodécaèdres qui font partie de la même série est de 2.5. Multiphant ces deux nombres l'un par l'autre , on a 47^ combinaisons binaires relatives aux solides dont il s'agit, et autant d'incidences respectives des faces comprises dans ces combinaisons. Parmi ces incidences , il y en

DE CRISTALLOGRAPHIE. 6o5

a environ 70 cjiii existent sur les formes que renfei me ma collection. Plusieurs de ces mêmes incidences m'ont été ofteites par de nouvelles variétés que j'ai reçues récemment , et l'on a tout lieu de présumer qu'à mesure qu'il s'en présentera d'inconnues, le nombre de celles qui seront susceptibles des applications de la formule s'accroîtra de plus en plus. J'ai pensé que ce détail achèverait de faire sentir l'utilité d'un moyen de détermination , à l'aide duquel la marche est tracée d'avance , pour arriver en un instant à une solution aussi expéditive c[ue facile de tous les problèmes du même genre dont les découvertes à venir pourront fournir la matière.