Je passe aux dodécaèdres compris dans k
second cas, qui naissent d'un dëcroissement sur les bords supérieurs du générateur. Mais, avant de citer des exemples, je vais déterminer d'une manière générale le noyau hypothétique , qui est aussi susceptible de produire le dodécaèdre à l'aide d'un décroissement sur ses bords inférieurs. J'en userai de même pour les dodécaèdres qui se rapportent au troisième cas. La considération de ces noyaux, outre l'extension qu'elle donne à la théorie , a l'avantage de faire apercevoir les propiiétés dont jouissent une partie des variétés auxquelles elle s'applique.
Je supposerai d'abord que us soit plus grande que au , comme on le voit (fig. i49)- Soit a l'axe as du générateur, g sa demi-diagonale horizontale, n l'exposant du décroissement qui produit le dodécaèdre, en agissant sur les bords supérieurs du générateur. Les valeurs numériques de ces trois quantités sont censées être toujours connues. Soit, de plus, a Taxe du noyau hypothétique, g' et p' les demi-diagonales de ses fiices , u' l'exposant de la loi qui donne naissance au dodécaèdre en agissant sur ses bords intérieurs, et n' l'exposant de la loi susceptible de produire le noyau hypothétique, en agissant sur l'angle supérieur du générateur.
Déterminons successivement ces cinq quantités.
i". Pour a' . jN'ous avons eu plus haut (r/z^= g^^ .a,
et us-=:~-^ — a.
on
Maintenant
/ <~) ry 2 """ 71
a = :)us — cau= a.
2°. Pour 2'. Nous avons eu mu= vlJ
Or, la même quantité est égale à y if^'* Donc
3». Pourp'. p'=vy^+ia^'.
l\. Pour n . La parlie de l'axe du générateur qui excède de chaque côté l'axe du noyau hypothétique 5
et qui a pour expression -r^^j— . est
{9. — Il) 0^—0
Ur a — a = a a ^=^ia
donc
, an 4- an — a
an-^a 5^ Pour//'.
mu: au:: ^' y^ j^- : -g^^ .a:: s/^g' : \a -, 2 {rî' + 1 )^ : {"2.71' — I )a :: g : a ,
d'où l'on conclut
2{fl' + \)a'g =: {271 ' 0^/^%
et
211' a g + la g = 27i"ag^ — ag\
On lire de cette équation
200. Supposons maintenant a w plus grande que us, aiDsi qu'on le voit figure 5, pi. i5.
Nous aurons, i*. pour a ,
a = 5au — ous = — r, — a = . a.
2°. ^ aura encore pour expression g.
3°. Celle dep' sera de même s/^g'^ + ^a^, 4^ Pour 72'.
d a — CL f^ , (n — 2) Q.a
a a f , 15 ^ / an-^a
—, =- et an^=an — «, a ou 7z = .
