IV. Dêcroissemens sur les angles latéraux

48. Les formes secondaires qui proviennent de cette espèce de décaissement sont en général de* dodécaèdres, dans lesquels trois arêtes con ligues à chaque sommet sont parallèles aux diagonales obliques qui leur correspondent sur le noyau. C'est une suite nécessaire de ce que les soustractions se font par des rangées parallèles à ces mêmes diagonales.

4g. Soit ti (fig. 27) un de ces dodécaèdres, et to l'une des arêtes parallèles aux diagonales du noyau. Soit b le point de l'arête lk9 qui se confond avec l'angle solide latéral de ce noyau, ou qui est le point

de départ des décroissemens. Soit bc la demi-diagonale horizontale du rhombe sur lequel agissent les mêmes décroissemens. Menons be perpendiculaire sur to, et joignons les points c, par une droite. Soit bnm le triangle mensurateur j désignons par g1 la demi-diagonale horizontale de la molécule. Nous aurons bn=2ngr. Quant à nm, elle coïncide avec la face latérale correspondante de la première lame de superposition , et de plus elle mesure la hauteur de cette lace. Soit as ( fig. 28 ) le noyau représenté séparément avec une position analogue à celle qu'il a dans l'intérieur du dodécaèdre. On concevra, avec un peu d'attention , que la face latérale dont nous venons de parler étant contiguë à une suite d'arêtes de molécule , situées parallèlement à ag et ds , doit être ellemême parallèle à la coupe principale qui passe par les points a , dy s , g. Et puisque nm (fig. 27 ) mesure la hauteur de cette face latérale, elle sera égale à la hauteur d'une molécule, ou à la ligne ak (fig.a), en supposant que adsg représente la coupe principale de la molécule. Donc nous aurons

nm (fig. a? ) = v/^=2 ( v. 6, 3-.).

Donc

bn ! nm II 2gn : Il in : \f^^f ,

en substituant g à gf et p à p', parce que les dimensions de la molécule sont proportionnelles à celles du noyau.

35o TRAITÉ

5o. Cherchons maintenant les incidences respectives des laces du dodécaèdre, en commençant par celle de pio ( fig. 37 ) sur kto.

Il est facile de voir q«e l'angle bec est égal à la moitié de cette incidence, et parce que l'angle bce est droit, les deux triangles bnm, bce> «ont semblables.

Donc

bclce :: bnlnm :: ign\ \JZ^^^\\ m\\f^~S ;

Avant de chercher la seconde incidence , ou celle de otk sur rthy déterminons la partie de Faxe du dodécaèdre , qui excède de chaque côté de l'axe du noyau.

Soit adsg (fig. 29) la coupe principale de ce noyau, to une arête du cristal secondaire parallèle à la diagonale ad, et io l'arête inférieure contiguë à la précédente. Du point a et du milieu c de ad, menons ax et ce perpendiculaires l'une et l'autre sur to. m Les triangles semblables axt , aks donnent

ak\ a$\\ax—çe\at.

Or, cik-==LyJ^£p~& * <w=V9P* — 3^. c* étant la même ligne que fig. 27 , nous avons

bc=g:ce::2gn:y

Donc ce = ^^&=^-

DE CRISTALLOGRAPHIE. 35* Ainsi la proportion deviendra

Supposons un plan oyr (fig. 27 ) perpendiculaire à l'axe. Soient oty, rty (fig. 3o) les portions des triangles otky rtk (fig. 27) interceptées parce plan. Soit de plus tn la partie correspondante de l'axe, que nous supposerons égale à tn (fig. 29). Ayant mené on, rn eiyn (fig. 3o), nous aurons yn égale à gn (fig. 29), et on ou rn (fig. 3o) égale à ni (fig. 29 ) , ou au prolongement de gn jusqu'à la rencontre de to.

Menons, oz (fig. 3o) perpendiculaire sur ty, op perpendiculaire sur ny, puis joignons les points z,p9 par une droite. L'angle ozp sera la moitié de celui qui mesure l'incidence de otk (fig. 27 ) sur rtk. Cherchons le sinus op (fig. 3o) et le cosinus pz de l'angle ozp.

i*. Pour op. A cause de l'angle onp =6od et de

l'angle droit o/vz, opsso/ïVv Cherchons on ou son égale ni (fig. 29). Les triangles semblables adr, tin donnent

ar\ drlltnlnlllat+anlnl.

Ou Wâ< y/fr V? : »/

35n TRAITÉ

Donc op = ^VÎP><Vl=>-ï±*VF-

a*. Pour pz. Les triangles semblables tny7 pzy (Cg. 3o) donnent ty\tn :: py Ipz.

Donc la proportion :^?z devient

v/(^)'«-+S-:^^?:: SgStf?

(an+3)(6n — 3) , 7—

Comparant op avec pz , on trouvera

5i. Les cristaux de chaux carbonatée et ceux de tourmaline fournissent des exemples de l'espèce de décroissement dont il s'agit ici. Mais les facettes qui en dépendent se trouvent combinées, dans ces cristaux, avec d'autres dont la détermination se rapporte à des lois qui ne seront démontrées que dans la -

Suite. Pour citer un exemple qui ne suppose rien que de connu, je choisirai la variété de fer oligiste représentée ( fig. 3i ) , et que je nomme unisénaire. Sou signe , qui est PÀEME , indique que sa surface

est composée de six pentagones P parallèles aux fàces du noyau (fig. 3a ), de deux triangles équilatéraux o ( fig. 3 1 ) , qui remplacent les sommets du même noyau, et résultent d'un décroissement par une rangée sur les angles A (fig. 32), et de douze triangles scalènes g, g7 etc. (fig. 3i), disposés deux à deux à la place des angles solides E, E (fig. 3s), et produits par des soustractions de six rangées sur les mêmes angles. Le rapport entre les demi-diagonales g et p du noyau étant, comme je Pai dit plus haut,

celui de V^9 à V^io, on trouvera d'abord l'incidence de o sur P (fig. 3i ), en prenant le supplément de l'angle tin (fig. 29), ou de son égal acn, d'après le

rapport entre en et an, qui est celui degk \/3p% — g%

ou de V9 à \^2i. Cette incidence est de iz3d i4'* Maintenant les formules relatives aux faces g} g (fig. 3i), donnent d'une part

6c(fig. 27):c*:: y/îlô: rf,

en faisant attention que w=3 3 et d'une autre part >

«y; (fig. 3o):pz:: y/333: \/7Ï5.

D'après la première, l'angle foc =76*25'; ajoutant 90*, on a i66d25', pour l'incidence de g&wV h a3

(fig. 3i ). D'après la seconde, ozp (fig. 3o)=54a3'; doublant cet angle, on a io8d6', pour l'incidence de g sur g.

53. A mesure que la loi du décroissement varie, trois des arêtes longitudinales contiguës à chaque sommet, telles que /o, try etc. (fig. 27), conservent la même inclinaison par rapport à l'axe, puisqu'elles sont constamment parallèles aux diagonales obliques du noyau , tandis que les trois arêtes intermédiaires (p, tk, etc. , changent continuellement d'obliquité à l'égard de l'axe, en restant fixes, par les points b, f, etc. , qui sont les termes de départ du décroissement. Supposons que les choses étant dans l'état que présente la figure, la loi du décroissement devienne plus rapide ; les arêtes to , tr, se rapprocheront des faces du noyau, en sorte qu'elles iront couper le prolongement de l'axe dans un point situé en dessous de t; d'où il suit que les arêtes tp9 tky etc., feront avec l'axe des angles plus ouverts. Supposons au contraire que la loi du décroissement devienne moins rapide; les arêtes /o, try s'écarteront des faces du noyau, en sorte qu'elles rencontreront le prolongement de l'axe au-dessus de *, et ainsi les angles que font avec le même axe les arêtes tp, /À*, se trouveront diminués. U y a donc un terme où les six arêtes contiguës à l'axe étant également inclinées, les arêtes latérales po, ok, Ar, etc., se trouvent sur un même plan perpendiculaire à l'axe, de manière que le solide prend la forme d'un dodécaèdre corn-

posé de deux pyramides droites réunies par leurs bases. Cherchons si ce résultat peut être produit par une loi régulière de décroissement.

Il est évident que, dans ce cas, gn (fig. 29) =72/,

ou \~g%— — — — \ \g% , ce qui donne n— |; c'està-dire que le décroissement a heu par trois rangées.

54. On connaît une variété de corindon que je nomme ternaire 9 et qui offre ce résultat dans toute sa sjmplicilé. La figure 33 la représente , et l'on voit (fig. 23, pl. 16) le rhomboïde qui est sa forme primitive. Les incidences des faces r, r (fig. 33), situées vers un même sommet étant toutes égales entre elles , il suffit, pour les déterminer , d'employer uns des deux formules trouvées précédemment. Si l'on choisit la première, comme la plus simple, c'est-àdire celle qui donne le rapport de bck ce ( fig. 27 ) ,

et que l'on fasse g= >/i5, p= S/iy, rc = i, on aura 1 28d 1 4' > pour l'incidence de r sur r. Quant à celle de r sur r , on la trouvera, en faisant attention que la ligne menée du centre de la base commune des deux pyramides à l'un des angles, est à la hauteur de l'une ou l'autre pyramide comme In : tn

(fig. 29) , ou comme en : an. Or cn= \/ï#*=\/5 , an=± Vç)p% — 3g% = \/i2. D'après ces données, l'incidence de r sur r' est de I2id34'.

55. Dans la variété de fer oligiste appelée trapèzîennej et que l'on voit figure 34, l'effet de la même

loi se combine avec celui de la loi] qui donne d» faces peqjendiculaires à l'axe , en sorte que le signe rapporté au noyau (fig. 3a) estE33EA. L'incidence

de o sur n est de nc)a34'j celle de n sur // est de i28d 26', et celle de n sur de iaod 5 2'.

Une autre variété de la même substance, que l'on voit fig. 35, et que j'appelle binoternaire, a pour signe PE33EA. Elle diffère de la variété birhomboïdale

(fig. 1 1 , pl. i5 ) déjà décrite plus haut, par l'addition des facettes n , n ( fig. 35 ) , qui tendent à produire le dodécaèdre pyramidal. L'incidence de P sur n est dei54di3'.

Cette forme est celle que présentent le plus communément les cristaux de la célèbre mine de fer de l'île d'Elbe. Elle avait été regardée par Stenon (1) et par Romé de llsle (2), comme n'étant autre chose qu'un cube diversement tronqué sur ses angles solides. Dans cette opinion , que j'avais d'abord suivie moi-même, les incidences des faces additionnelles sur les faces P , calculées d'après les lois qu'indique le signe représentatif, offraient des différences assez légères avec les véritables pour échapper à l'attention. Par exemple , l'incidence de P sur n se trouvait de i54d45' au lieu de i54di3', et parce que les

(1) Collection académ. , partie étrangère, t. IV, p. 4°o« (a) Crûtallogr. , t. III, p. 189 et suiy.

cristaux de l'île d'Elbe sont situés ordinairement clans leurs groupes, de manière qu'il est plus aisé de mesurer les inclinaisons des faces secondaires sur les primitives , que celles de ces dernières l'une sur l'autre , je m'étais cru dispensé de cette seconde mesure , et il semblait que le gonyomètre rne dût rien m'apprendre à cet égard quç ce qu'on savait d'avance. Je fiis tiré d'erreur par diverses considérations (1) , et entre autres par celle d'une espèce d'anomalie qu'offrirait, dans le cas présent, la forme cubique, en faisant la fonction de rhomboïde , de manière qu'il faudrait concèvoir un axe passant par deux angles solides opposés, qui devraient être considérés comme sommets 3 et les lois de décaissement qui agiraient autour de ces sommets seraient différentes de celles qui se rapporteraient aux angles latéraux. Ayant rencontré enfin des cristaux sur lesquels deux faces P situées vers un même sommet se prêtaient à la mesure immédiate de leur incidence mutuelle , je trouvai que celle-ci n'était que d'environ 87e* au lieu de 9od, et cette observation, que j'ai répétée depuis un grand nombre de fois, fit rentrer la cristallisation du fer de l'île d'Elbe dans l'analogie des rhomboïdes , et prouva que la nature ne cessait point ici d'être d'accord avec elle-même.

Quelquefois les faces g, g (fig. 3i ), s'ajoutent à

(1) Voyez le Traité de Minéral. , t. IV, p. 49 et sui*- * première édition.

celles de la variété qui vient d'être décrite, comme on le voit ( fig. 36), en sorte que le signe devient PE6'EE33EA. C'est alors le fer oligiste additif, lnci- P g n s

dence de P sur g, i66a a5', et de g sur ny i6-j<x 48'-

56. Si l'on fait varier les inclinaisons respectives des faces produites par un décaissement sur les angles latéraux , de manière que celles qui répondent à r, r, ou à , r' (fig. 33) , et se réunissent deux à deux sur des arêtes x, z, contiguês aux angles E , c (fig. 23, pl. 16) du rhomboïde primitif, fassent entre elles des angles toujours plus ouverts, il y aura un cas où elles coïncideront sur un même plan, et alors le dodécaèdre se trouvera converti en rhomboïde. A ce terme le cosinus pz (fig. 3o) de l'angle ozp s'évanouit. Reprenant donc l'expression analytique de pz (voyez p. i5?.), et supprimant tout de suite son dénominateur , nous aurons

(m + 3X&i— 3) VW = 0,

ou simplement , 6n — 3 =o ; d'où l'on tire n = £ , ce qui indique que le cas dont il s'agit a lieu indifféremment pour tous les rhomboïdes, en vertu d'un décaissement par une seule rangée de molécules.

Cherchons d'abord en général le rapport entre les deux demi-diagonales g' et p' du rhomboïde secondaire. La ligne ot (fig. 29) étant l'arête de ce rhomboïde , si Ton mène oz perpendiculaire sur l'axe , on

aura

D'une autre part , of étant parallèle à «tf , on aura Or,

Donc l'axe du noyau est le tiers de celui du rhomboïde secondaire. Donc \/Zp%— g*=% \/5p'% — g'** Donc aussi g— ~ . 2g , et g' = \g.

Si dans l'équation précédente on met à la place de g'*y elle devient t

Donc gp* — 3#a= p* — d'où l'on tire ,