Si l'on suppose toujours que le rapport des
derai-diagonales du rhomboïde primitif soit celui
de à \/i > on prouve que le rhomboïde secondaire qui en dérive, à l'aide de la loi E,fE, a cette propriété remarquable, que ses angles plans sont égaux aux incidences respectives du rhomboïde primitif, et réciproquement. De plus, les angles plans de la coupe principale sont les mêmes de part et d'autre.
Reprenons les formules relatives à ces trois espèces d'angles (6, 1% 20. et 3*. ).
i°. Pour l'angle plan aigu ,
ri cosin. :: g%-{-p* :dbg%zç:p*.
a9. Pour la plus petite incidence des faces,
f r : cosin :: ip% : dtzg*zpp%.
3#. Pour l'angle aigu de la coupe principale,
sin : cosin : : y/ig'p'—g4 - ^g^^P*-
Or, si l'on fait g = \/3, />=2, comme dans le rhomboïde primitif, et que l'on prenne les signes supérieurs, le premier rapport devient 5 : 1 ; le second, 4 • 1 ; et le troisième, 3 : 1.
Et si l'on fait £==^3,/?==^, comme dans le rhomboïde secondaire, et que Ton prenne les signes inférieurs, le premier rapport devient 4**; Ie se" cond, 5 : 1 5 et le troisième, 3 : 1. Donc il y a identité relativement au troisième angle, et à l'égard des deux autres il y a inversion , ce qui a suggéré le nom de chaux carbonatée inverse , que j'ai donne à cette
3Ga TRAITÉ
variété. Je prouverai dans la suite qu'il y a pour chaque rhomboïde une loi particulière de décrotssement qui dépend du rapport entre g et p , et dont le résultat est un rhomboïde secondaire qui jouit des mêmes propriétés.
59. 11 existe une variété de fer oligiste que j'appelle fer oligiste soustractif, qui est représentée (fig. 37), et qui parmi ces différentes faces en a six désignées par w, etc., et produites eu vertu de la loi EUE. Son signe rapporté au noyau (tig. 3 j )
est DPE33EEnEA. Incidence de À* sur n, i5oa 36' >
h P n us
de P sur w, ia8J2()'.
11 est remarquable que les faces u , u soient des rhombes , quoique les faces k7 d'une part, et ny /?, de l'autre, dont les intersections avec les faces u , 1/, déterminent les figures de celles-ci, aient des inclinaisons différentes. Ce résultat, dont la cristallisation offre divers exemples, dépend de certaines conditions que je vais faire connaître.
Soient opny Inp (fig. 38.), deux faces triangulaires ou de toute autre figure, qui aient entre elles des inclinaisons quelconques , pourvu qu'elles soieut également inclinées sur le plan ont; et ozn, lzny deux autres faces réunies aux premières sur les arêtes et qui peuvent de même être inclinées entre elles de telle quantité qu'on voudra, pourvu qu'elles le soient également sur le plan onl. Ayant mené ni qui div ise en deux parties égales l'angle onl> je prends
sur l'une ou l'autre des arêtes np, nz, par exemple sur la première , un point quelconque s , et de ce point j e mène sur nt la ligne sg parallèle à l'autre arête nz, puis ayant divisé en deux la ligne ng, je mène par le point c de division la ligne scy jusqu'à la rencontre de «z, et par cette dernière ligne je fais passer un plan sryu , dont la section ru avec le plan onl est perpendiculaire sur ng. Je dis que ce plan est un rhombe. Car les triangles ncy , ges , sont semblables et égaux, puisque d'une part les angles seg, yen, cgs , cny, sont égaux deux à deux , et que d'une autre part cgzzicn par la construction. Donc cs=cy. De plus, il est aisé de voir que cr=cu. Donc les diagonales sy, ru, étant perpendiculaires l'une sur l'autre, il en résulte que les côtés rs, ry, su,yu, sont égaux entre eux, et que la face sryu a la figure d'un rhombe.
Imaginons maintenant que les diverses faces représentées par la figure 38 prennent de telles positions relatives, que psro, psul, deviennent parallèles à ri' , ri' ( fig. 37) , oryz , luyz ( fig. 38) , parallèles à A", k" (fig. 37), et sryu (fig. 38), parallèle à u' ( fig. 37 ) , il est évident que le plan onl deviendra perpendiculaire sur les faces oryz, luyz, et que la section ru du plan sryu sur le plan onl sera toujours perpendiculaire à la ligne nt. Si en même temps sg devient parallèle à nz , elle sera aussi perpendiculaire sur nt. Reste à prouver que, dans cette hypothèse, on a cgssign.
Supposons que la construction de la figure s& rapporte à l'effet de la loi EME, qui donne les faces ri'y n1 ( fig. 37 ) , auquel cas
at (fig. 39) =^ Vç^z:V=iN/9Pr-^¥" ;
la ligne (fig. 29) sera parallèle à l'arête 3^ (fig. 37), et en même temps à la ligne pn ( fig. 38 ) , et l'on aura
nglgs ::/>r(fig. 21): tr\\gn\nt \\ \f\g%\ an + at
Supposons d'une autre part que la construction de la figure 29 se trouve ramenée à l'effet de la loi E^E qui donne la face u' ( fig. 37 ) , auquel cas
«'(fig- 39)= vV — 3?.
La ligne /p deviendra alors parallèle à la face u ( fig. 37 ), et en même temps à la ligne es ( iig. 38 ) , et l'on aura ,
cg : gs :ipr(fig. 29) : tr :: gn :nt .: y/ f#* : an+at
Comparant cette proportion avec la précédente , on en conclura que cg ( fig. 38)=^^, ce qu'il fallait prouver. Donc la position de la face u' (fig. 37) remplit les conditions requises pour que cette face ait la„ ligure d'un rliombe.
