V. Dècroissemens sur l'angle inférieur
63. Ces dècroissemens ont de l'analogie avec ceux qui agissent sur l'angle supérieur , soit parce
( 1 ) Soit abcd (fig. 4 1 ) la coupe transversale du rhomboïde primitif. Ayant mené les diagonales ac, ad, et la ligne br perpendiculaire sur ad, et qui sera le cosinus de l'angle aign bad, en prenant ba pour le rayon, on aura par l'hypothèse ao=v/8, et bo— Donc ab ou ad— \/Ï5.
Donc ab:ar::\f75:\/^::i5:i.
Mars (S)ab : ar : : ap* : g% — p\
Donc ap*lg'— pa:: i5;i. Doulontire,^::/!;:^
produisent en général des rhomboïdes, soit parce u'ils peuvent avoir lieu directement ou par renversement, en sorte que tantôt les faces produites s'inop. linent vers la partie supérieure de l'axe, et tantôt lies se rejettent en sens contraire vers la partie injfl; érieure. Occupons-nous d'abord des décroisseinens
directs.
Soit toujours adsg (fig. 42) la coupe' principale du noyau, et soit pm la diagonale oblique du rhomboïde secondaire, et mu l'arête inférieure contiguë à cette diagonale. Le triangle mensurateur dho ne différera point de celui que nous avons considéré, (p. 3a f ) dans le cas des décroissemens sur les bords inférieurs (fig. 16), et nous aurons encore ici,
rfA(fig. 42 ; : oh :: 2np : vV+/A
Seulement le nombre de diagonales soustraites qui était égal au nombre de rangées soustraites dans le cas précédent , indiquera un nombre double de rangées soustraites. Nous aurons aussi, en suivant la même marche pour le calcul,
aP — ^T^VP* — V- ( Voyez 3i.)
du rhomboïde secondaire.
Ayant mené mz perpendiculaire sur pu , nous aurons les triangles semblables drpy mzp7 qui donnent
dr\pr\\mz *pz} 1, 24
c'est-à-dire
Maintenant pu ou
Et à cause de >*=(^-Ji)V >
**--3<^v-eii)v-*>-
D'où l'on lire
'=v/(St)V-w+(^)V
=(»+')V'Cr=î)V-i»-)+(îrb-)V-
64. Cherchons de suite les valeurs des quantités qui , dans les décroissemens inverses , correspondent aux précédentes.
Pour la partie de l'axe du rhomboïde secondaire qui excède celui du noyau; soit ou 4^) une des diagonales obliques du premier, et op l'arête
DE CRISTALLOGRAPHIE. 3;i
adjacente; d'où Ton voit que ou répondra à une arête dsàxx noyau , et op à une diagonale oblique ad. Soit dhe le triangle mensurateur , dans lequel
dh : eh :: a/*/*: vV +/>*•
Ayant mené al prolongement de ad, nous aurons les triangles semblables pal,psg, qui donnent
gs l as +ap Hall ap.
Or , gs= 2p. as = Vgp*— 3^'-
Reste à trouver al. Les triangWsemblables gai, dhe, donnent éh\dh\\galal.
Ou Vg*+Î>% Iznpll y/g%+p%* al=2np.
Donc la proportion gs la* +apll al: ap devient
ap: 3g% + api:iriplap. -
D'où Ton tire, en désignant par a la valeur de Taxe as,
ap — a=us.
2*. Pour les diagonales du rhomboïde secondaire , que nous désignerons par y', itf; la ligne oz étant une perpendiculaire sur l'axe pw,les triangles semblables ozu, dru, donneront drlurlloz l uz ,
ou VW • (i+T^v'gp*3^ vâ^
57a TRAITÉ Et simplifiant , g : 2/z + 1 ::y' : 2/1+2.
Donc, >=^-iï+-i- Maintenant,
Donc
'-XS-^)V=(SSV-3rt
D'où l'on tire
65. 11 existe entre les résultats des deux modes de décroissemens que nous considérons ici, une relation semblable à celle que nous ont offerte les décroissemens qui agissent sur l'angle supérieur; c'est-ii-dire que les mêmes rhomboïdes qui résultent d'un décaissement direct sur l'angle inférieur, peuvent aussi être produits en vertu d'un décroissement inverse sur le même angle. Pour trouver une formule à l'aide de laquelle étant donnée la loi relative à l'un des rhomboïdes, on puisse connaître celle d'où dépend l'autre, continuons de désigner par n le nombre de diagonales soustraites par le décroissement direct, et nommons tJ «celui qui se rapporte au décaissement inverse. 11 est
DE CRISTALLOGRAPHIE. ZjZ
facile de voir que la similitude de forme entre les deux rhomboïdes dépend de la condition que ur ( fig. 43) soit égale à pr (fig. 42). Donc
ou simplement d'où l'on tire
66. Ici revient la même propriété qui a lieu pour les décroissemens sur l'angle supérieur, c'est-à-dire que les deux formules indiquent les mêmes fonctions réciproques entre n et rc', en sorte que l'on peut aussi choisir l'une d'elles à volonté, par exemple la
première , ou n= ' P°ur en déduire la solu-
tion des deux espèces de problèmes. De plus, si Ton compare cette formule avec celle qui se rapporte aux décroissemens sur l'angle supérieur, et qui est
on voit qu'elle n'en diffère qu'en ce que les quantités renfermées dans le second membre sont affectées de signes contraires. On peut donc réunir les deux valeurs de n en une seule, qui aura la forme suivante
374 TRAITÉ les signes supérieurs devant être employés dans le cas des décroissemens sur l'angle A, et les inférieurs dans celui des décroissemens sur l'angle e. Ayant déjà quelques-uns des résultats relatifs aux signes supérieurs, suivons la formule dans ses applications à de nouveaux problèmes.
67. Si en continuant d'employer les mêmes signes, on fait w'=9, n devient zéro, et l'on a un résultat que j'ai déjà indiqué plus haut ( p. 3ao ) : c'est-à^ dire que adsg (fig. 44 ) étant toujours la coupe du noyau , et ao étant la diagonale oblique du rhomboïde produit par le décroissement direct, celle du rhomboïde qui résulte du décroissement inverse coïncide avec l'arête ag.
Si Ton (ait ri plus grand que 2 , la valeur de n devient négative. La diagonale oblique du rhomboïde produit par le décroissement direct ayant alors une position telle que ao"} située en dessous de ao\ celle du rhomboïde donné par le décroissement inverse, tend à s'abaisser en dessous de agy en prenant une position telle que ax\ elle sera située comme la diagonale oblique d'un rhomboïde qui naîtrait d'un décroissement inverse sur l'angle e; (fig. 4^), et il est évident que ce rhomboïde est semblable à celui dont ad1 (fig. 44) représente la diagonale oblique. Alors la marche du décroissement au lieu d'être descendante , en allant de a vers ar, comme dans les cas précédons, devient ascendante en allant de g vers p , et c'est ce qu'indique le signe négatif, La
valeur de n> prise avec le signe positif, est la même que celle qu'on aurait obtenue, en cherchant immédiatement la loi du décroissement inverse sur l'angle e1 (fig. 45), d'où résulte un rhomboïde semblable à celui qui est produit par le décroissement direct sur A, et dont ad1 (fig. 44) est k diagonale oblique.
Il est facile de vérifier cette analogie , en considérant que dans le cas dont nous venons de parler , on a gn: (fig. 43) ou dr: un; mu (fig. 5, pl. i5) *au. Or, lorsque dans la formule trouvée ci-dessus, savoir,
on lait ri plus grand que 2 , cette quantité se rapporte à un décroissement inverse. Désignant donc par ri la loi du décroissement qui détermine le rapport mu à au (fig. 5), et par n celle du décroissement d'où dépend le rapport rfr à #r ( fig. 43 )> nous aurons
ou
an 4-1 , m
P'nù Fon tire
Or, si dans cette formule on substitue à ri telle valeur numérique que l'on voudra , le résultat sera
le même que celui auquel on parviendrait si dan*
la première formule n = -^-r^- on égalait n! à la
même valeur, et que l'on prît le résultat avec un signe contraire (i).
68. Ainsi la formule 7z:=~r~ indique par ellemême les cas où le décroissement inverse qui répond à celui dont la loi est ri agit, non plus sur le même angle supérieur A (fig. 4^), mais sur l'angle inférieur e de la face opposée à P, et de plus elle donne la loi du décroissement dont il s'agit.
Si l'on suppose ri infini , les faces produites étant censées se confondre avec celles du noyau , le rhomboïde correspondant , qui naît du décroissement inverse, sera semblable à ce même noyau; alors les nombres 2 et 1 s'évanouissent devant les quantités infinies ri et J[nr9 et l'on a n— — ^, c'est-à-dire que le décroissement qui donne ce résultat remarquable a lieu par deux rangées en hauteur sur l'angle e'
(fig. 45). ' •
(1) Supposons par exemple que la substitution d'une valeur
, . , - a ri
numérique à ri dans la formule nr=— —, conduise à un
résultat négatif, ce qui est le cas que nous considérons ici.
Soit^r-p-j =— a. Si l'on rend a positif , le premier membre ri — — a
devient , , qui dans l'autre formule donne la yaleut de n.
Nous reviendrons bientôt sur ce même résultat , pour en faire des applications à des variétés prises dans diverses espèces.
69. Considérons maintenant la formule relativement aux signes inférieurs, et servons-nous des résultats qui se déduisent de leur usage, pour comparer et lier entre elles les propriétés renfermées dans les formules particulières qui se rapportent les unes aux décroissemens directs sur l'angle e (fig. 45), les autres à ceux qui agissent par renversement sur les mêmes angles.
Si Ton fait tz= i , dans l'expression jj-^- « de ap
(fig. 43), on a ap = ±a; c'est-à-dire qu'alors l'axe étant infini, les faces produites lui sont parallèles et disposées comme les pans d'un prisme hexaèdre régulier. D'une autre part, si l'on égale aussi n à l'unité
clans l'expression^^ de us (fig. 43), on trouye pareillement us=^ «. Les deux décroissemens se trouvent alors parvenus à une limite passé laquelle les lignes mp (fig. 42) et du (fig. 43) se rejettent l'une et l'autre en sens contraire, de manière que le décaissement direct se change en un décaissement inverse, et vice versa*
La formule n = ^/"t^ * Pr*se avcc *es signcs inférieurs indique l'identité des deux résultats précédcos ; car si l'on fait ri=i, on trouve n= * = 1 . Je citerai bientôt div ers exemples analogues à ce paral-
^".me entre Ies facei, „ . .
cr°>&*ment. a des ,0« différent,
7°- Si dans Ie m «Prions des dia^l tr0U7é P,Us *■« <
^HeUr,onaur ^ « ieu par tro.^
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' CUe dans ja Do* de contracta,,
^ Si ^ns la forDJuJe ^ « «"ployer Jes signes ;, , r . ' °« conti,:
^nedsemWai),e * z& r indi<^
u « un decroissement sur V ? ' 1 produit « LeS /àces de ce rhomhL ? 8m e"
d«« Mutions du nroW> °""a,,re da™ 1* suite TT
' Si ri devient infini. alors les quantités 2 et 1
%it nulles , on a tz = ; , d'où Ton conclura que la ne secondaire qui naît du décroissement par deux ^jfcgées en hauteur est semblable au noyau. Ce ré- ^Jefjtat est le même que celui auquel nous sommes (fe^rvenus plus haut, en faisant ri infini dans la fors^j aie employée avec les signes supérieurs, avec la taj^ fférence que dans ce dernier résultat, la valeur de n ^ *.t affectée du signe négatif, parce que le décroisse- ' lent auquel elle se rapporte prend une marche oplosée à c«lle qu'il suivait dans les cas où la valeur tt<*àtlont il s'agit était positive.
On peut démontrer immédiatement l'identité de fc" informe qui a lieu dans le cas que nous venons de cou-
d'après l'observation que dans le cas présent , y1 dr:ur(ûg. 43) :: drlar.
Donc «r=ar, et us=rs—ja.
Donc — n—a—iay ou — — = |,
ce qui donne n = J , comme ci- dessus.
La chaux carbonatée , le quarz , la tourmaline et le fer oligiste , offrent des exemples de cette reproduction du noyau , comme forme secondaire. Je me bornerai ici à en citer un , qui est tiré de la première de ces substances ; c'est celui qui existe dans la variété , représentée fig. 47? et dont le signe
58o TRAITÉ
rapporté a la ferme primitive ( fig. 4^) est eVe. \&
faces t qui proviennent du décaissement par deux rangées en hauteur ayant la même inclinaison que les faces P du véritable noyau, produisent en se combinant avec elles, deux pyramides droites hexaèdres, séparées par les pans c, c qui appartiennent ou prisme hexaèdre régulier. L'incidence de P ou de € sur c est de 1 35d , et celle de P sur 6 est de i4od37'34".
