DU CUBE

I. On sait qu’à mësure qu’une quantité àppi:6iche de sa limite , d’autres quantités qui en font parliè varient par des différences décroissantes, et finissent par devenir ^les , à l’endroit où est placée Ibi limité. C’est ce que l’on remarque dans le passage dés diverses espèces de paraUélépip>èdesàla fi>mie cubique. Oa y distingue même diverses époques successives, dont chacune détet-mine l’égalité de certains bords ou dé certains an^es qui auparavant différaient entre eux , et lè nombre des difiëfences diminué prOgressi-^ Vemeut , jusqu’à ce que celles qui restaient encore s’évanouissent. Par exemple, si l’on suppose que le prisme rhomboïdal oblicpe (t. 1, pl. i, fig. 12), U. 1 ‘

a TRAITÉ

se convertisse en un prisme rliomboïdal droit (fig. 9), les angles des faces latérales dont jusqu’alors deux étaient obtus et deux aigus, deviendront tous des angles droits. Si ce dernier prisme , à son tour, se transforme en un prisme carré droit (Cg. 7), l’inégalité qui avait lieu entre lés angles des bases disparaîtra, et tous les angles se Iroi^eront droits. 11 ne faut plus alors qu’égaler par la pensée les côtés des faces latérales, pour faire de ce prisme un cube. Dans le rbomboïde, déjà l’égalité de tous les côtés existe comme dans le cube , et toutes les faces sont de même égales et semblables. Que les angles deviennent égaux à leur tour, et le rhomboïde ne différera plus du cube.

Or, j ’ai fait voir ( 1. 1, p. aoo) que les lois de décroissement qui produisent les formes secondaires , participent de cette gradation à l’aide de laque*lle les formes primitives se rapprochent de leur limite , en sorte que, quand celle-ci est censée avoir été atteinte, elle imprime le caractère de sa symétrie aux lois de décroissement, dont les actions n’étant plus sollicitées à tendre de préférence vers certains angles ou vers certains bords , se partagent également entre tous.

. 2. D’après ce que je viens de dire, on peut conc^ voir pourquoi les formes les plus composées se trouvent dans des espèces où le noyau 'est un des polyèdres réguliers de la Géçmétrie. Car si nous supposons une lui de décroissement qui agisse sur les bords du cube pris pour exeuïple, la symétrie exigera

qu’elle donne naissance à douze facettes semblable^ ment situées en nombre ^al à celui des bords , au lieu que la inêrae loi , tîonsidérée dans un prisme rhotnboïdal droit ( fig. i , pl. 3 1 ) , n’aura besoin cpie de produire deuz faces, si elle agit sur les bords verticaux H ou G, et quatre faces, si elle agit sur les. bordi îïbrizontaux B, B, pour satisfaire à‘la condition que les parties correspondantes soient d’accord entre elles. Or , cette différence donne une grande latitude à la cristallisation des formes régulières , pour produire , en vertu de tel nombre de décroissemens, des facettés beaucoup plus multipbées que celles qui sont produites par des décroissemens plus nombreux, autour d’une forme moins symétrique. Ainsi la variété de baryte sulfatée que je uomipe dissimilaire , et que je décrirai dans la siÿte, n’a que quarante faces additionnelles, dues à neuf lois de décroissement, ce qui fait quarante -six faces, en comptant les six qui répondent à celles du noyau, tandis que dans une variété de fer sulfuré appelée parailélique , et que je ferai de même connaître,’ sept décroissemens donnent naissance à cent vingt-^ huit' facettes qui, jointes aux six faces primitives, forment un ensemble de cent trente-quatre faces.

3. J’ai déjà cité, dans l’exposé des principes de la théorie , plusieurs variétés originaires du cube , dont j’ai en même temps développé la structure par la Voie de synthèse. Je' me contenterai de rappeler, ici celles dont la détermination n’exige que la résolu-»

by Gooolt

4 'Traité

tioh cFun simple triangle, et je donnerai ensuite des méthodes générales, d’où se déduiront des formules applicables aux polyèdres jîlus composés.

Les formes dont je viens de parler sont : i®. le dodécaèdre rbomboïdal (pl. 5, t. I, fig. 68,69, et 70 } , dont le signe rapporté au noyau ( p. i ,

t. II, fig. 3) est BC'G*. Cette forme est celle de Taplome dodécaèdre. Toutes ses faces sont inclinées entre elles de 120'*. (Voyez 1. 1, p. 74 et suiv. ).

2®. L’octaèdre régulier ( t. I, pl. 7 , 6g. 96)- qui a

pour signe A. Pour désigner les variétés qui présentent cette forme , on ajoute au nom spéciBque l’épithète octaèdre. Le fcT sulfuré, le plomb sulbiré et la soude muriatée , en offrent des exemples. Les incidences de toutes les faces sont de 109^ 28' 16". ( Voyez t. I, p. 126).

3®. Le dodécaèdre rbomboïdal dont les huit angles sobdes composés de trois plans sont remplacés chacun par un triangle équilatéral (t. II, pl. 3i, 6g. 3).

Son signe est ÀBC‘G‘. Il est facile de voir que les

facettes d, d, si elles se prolongeaient jusqu’à s’entrecouper, composeraient la surfece d’un octaèdre régulier. Incidence deo, de rou àeh sur d, i44^44^B'^- Le fer sulfuré biforme appartient à cette variété,

4“. Le cube dont chaque angle solide est remplacé par un triangle équilatéral (pl. 3i, 6g^ 4)* signe

est MP A. Incidence de d sur M ou sur P, i 1 5' Sa". MP d

Cette forme est celle du fer sidfuré cubo-octaèdre

et de la soude muriatée du même nom.

Quelquefois les faces du dodécaèdre rhomboïdal se combinent avec celles de la forme précédente, coiqi^e dans la soude muriatée triforme, que repré>

sente la figure 5, et qui a pour signe PMABC'G*.

3. Je passe à la rechercbe des formides générales auxquelles conduit la théorie des formes qui dérivent du cube. Concevons un décroisseineut qui agisse , suivant une loi quelconque, sur tous les angles de eetle forme primitive. J’ai déjà traité du cas particulier dans lequel le décroissement se forait par une simple rangée , ^ de celui dans lequel il aurait lieu par deux rangées. Le premier cas donne l’octaèdre régulier , et le second un solide terminé par a4 pézoïdes égaux et semblables (t, I, p. i45)- Or, toutes les autres lois produiront un polyèdre de ce dernier genre, avec différentes inclinaisons respectives des trapézoïdes qui composeront sa surface.

Soit bs ( Gg. 6) un de ees polyèdres, et AEOI , OEE'Cy, lOOT, trois faces du générateur. Si l’on mène les diagonales fr, hr, des trois trapézoïdes U, M, K, on pourra considérer la partie qu’elles intCTceptent vers l’angle O, comme le sommet d’un rhomboïde produit en vertu d’un décroissement autour de ce même angle. Soit prssg' , &lOp =p'

Nous aurons ( 1. 1 , p. 3 1 1 )

et parce qu’ici g= p , la proportion deviendra

Et développant les quantités (re-f-i)* et (ara — )*, puis réduisant, g' p' i) \/'2i \/2ra*+ij donc

.ce qui donne le rapport entre le rayon et le sinus de l’angle qu’il faut ajouter à 90^, pour avoir les incidences respectives des trapézoïdes //, u (t. I, p. a86). Cherchons maintenant celle de u sur u'. Soit crfb (fig. 7 ) la pyramide cpiadrangulaire indiquée par les mêmes lettres ( Hg, 6 ). Si nous menons la hauteur bx (fig. 7) , puis^ perpendiculaire sur br et ensuite , l’angle sera égal à la moitié de l’incidence proposée. 11 s’agit donc de trouver le rapport entre le sinus fx et le cosinus xjr de cet angle. IVIenons xp perpendiculaire sur/r, puis bp. Il est laéile de voir que px est dans le sens de la diagonale adjacente à * l’angle O (fig. 6), sur la face AEOl du générateur, et que bx ( fig. 7 ) est dans le sens de l’épaisseur des lames de superposition appliquées sur 1 cette même face , d’où il suit que le triangle pxb est semblable

au triangle mensurateur. Or,p;c ; bx comme le produit de la demi-diagonale d’une facejte de molécule par 2/î est à l’arête de la mènie facette; donc

px bx : i n Vâ : i-

Soit maintenant ; nous aurons px=:n V^.

Mais

rxlpx :: Vâ : I , ou Va :: V^2 ; I ; donc nc=2n, et

br ou \/(^H-(6j:/=V'4«*-|-i ; xy=^-~^~^^ .

or V/4«+»

dune

rx ou fx '.or :: 2»: :: v/4«*4- x : *•

Cherchons aussi le rapport entre bp ( fig. 6 ) et Op. Soit toujours r» ( fig. 7 ) = 2/1. Nous aurons

rx : ;?r (fig. 6 et 7 ) :; \/â : i , ou an : pr v/â : i.

"'ne prx=:n V^a. Mais nous avons eu

pr : Op :: («H-i) v^â : y/ln*+ 1 ;

-ionc

n V^a ; Op (n-f- 1) V^a : s/an^-jr i j

donc

Qp=~-^ V'aw*-!-!.

Or, ^

bp ou {px J* -{’ijbxj^— Va»*H“ï"j

donc

bp : Ojp :: v/a^ -+- 1 ; \/2«*+ 1 :: n-h i î »

4. Si l’on fait n=i , ce qui indique un décroissement par deux rangées, on trouve que l’incidence de U sur m (fig. 6) est de 146^ 26' 33", et celle de u

sur u' de î3i*48'36". C’est le cas d’une variété de

fer sul^ré dont le signe est A , et que je nomme fer

sulfuré trapézoïdal. 11 existe une variété d’analcine qui dépend de la même loi.

Les formules donnent dans ce même cas

g' : p' :: VB : V3, et Jp : Op :: 2 : i.

On aura donc

pr : hp :: g' : 2p' :: v/2 : v/3,

ce qui est le rapport entre les demi-diagonales du rhoiube primitif de la chaux carbonatée. Ainsi le triangle rbf est semblable à une moitié de ce rhombe divisé dans le sens de sa petite diagonale. Mais il est visible que ce n’est ici qu’une analogie de rencontre.

Si l’on Élit on trouve g' : p' v/3 : i , ce

qui indique que les angles rof roh , etc, , étant de 120^, les trois trapézoïdes situés autour d’un même angle sobde O coïncident sur un même plan ; et ainsi le solide secondaire est un octaèdre régulier. On a, dans le même cas, bp \ Op 3 : i, conformément à ce qui a été dit (t. I, p, i36), à l’occasion de l’octaèdre représenté pl. 7 , bg. 97.

5. Je placerai ici quelques-uns des résultats relalils aux décroissemens intermédiaires qui , dans plusieurs

caS) modifient les formes dérivées du cube, me réservant à parler des autres lorsque j’y aurai été con-r doit par la détermination de certaines variétés dans lesquelles leur action semble être liée à celle des décroissemens qui ont lieu directement soit sur les angles , soit sur les bords du générateur. Mais pour donner plus d’extension aux résultats qui vont nous occuper, je supposerai que le générateur soit im prisme AG (fig. 8), qui ait pour hase un carré ABCO, et dont on puisse faire variera volonté la hauteur CG.

Ayant pris les points k et i au milieu des arêtes CO, CB, concevons que kf, ie soient les lignes de départ d’un décroissement intermédiaire sur l’angle C , lequel est censé se répéter sur les trois autres angles BAO, suivant des lignes /tr, S’/t, etc. Il est facile de voir cpie le décroissement fera naître huit faces, qui auront alternativement des inclinaisons différentes. Imaginons un plan horizontal dkoiuy\^^ qui coïncide avec cette base et qui intercepte la partie du cristal secondaire élevée au-dessus d’elle.

Soient dmk , kmo^ omi., imu (fig. g), les quatre Êces antérieures de cette espèce de pyramide octogone (i). Proposons-nous de déterminer d’abord l’in-

(i) Il est évident que les trois atêtes om , im , um, considérées sur les faces omi , umi , concourent en un point commun m , situé au-dessus du centre a de la base ABCO ( fig. 8), puisque ces faces sont le résultat d’un même décroissement qui agit suivant les lignes ie, il. Par une raison serni-

lO TRAITÉ

cidence de kmo sur imo. Pour y parvenir, disons passer par les points k, i, un plan vertical kni, puis menons og perpendiculaire sur ki , kx perpendiculaire sur om, et ensuite ng et gx. L’angle kxy étant la moitié de l’incidence demandée, il s’agit de trouver les expressions de son sinus kg et de son cosinus xy. Soient kfr^ ier (fig. 8 ) deux plans parallèles aux faces kmo ou omi ( fig. 9 ). Ayant complété le carré Ciak (fig. 8), menons la diagonale Gï, et la diagonale ki qui répond à la même ligue ( fig. g ).

Désignons par l’unité le côté de la base de la molécule, et par Jt le rapport entre sa hauteur et ce même côté, h pouvant être, suivant les cas, un nombre entier ou fractionnaire Soit x le nombre de côtés de bases de molécule que mesure Ck (fig. 8), y celui que mesure Ç/*, et n le nombre de rangées soustraites.

Nous aurons Cr=^.OrCg' renferme autant de demi-

diagonales de bases de molécule qu’il y a de côtés comjtris dans ck ; donc puisque chaque côté est représenté par l’unité, nous aurons Cg ou %=x Vr* Reste à trouver l’expression de gx (fig. 9). Or,

oaf.ofw og.gn

ffX — — — - • #

on V

= Cg—Co (fig. 8)-,C.g= X Vt- -

blable , les trois arêtes om, km, dm, concourent dans le même point commun m. Donc toutes les faces, malgré la différence de leurs inclinaisons, se réunissent aussi daus ce point.

DE CRISTALLOGRAPHIE. n

Les triangles semblables aok, Co/, donnent

Co’.oallCfXak owCiiiy'.x^ ou CoiCa — Col'.flXj

ou Co : Co::y

d’où l’on tire

Donc

Co=-^V/l.

D’une autre part , les triangles semblables oCr (%• (fig- 9) donnent

Co:Cr ogign, v/^ ~^-Xx V2 ign,

ou

donc

gx ou

ax+g^ ^ any

V (oéT)* + ^

X + V ' any

Mais

donc

Ig • gx (% 9) - *Vt X \/2(^)

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