X -\-y üny ’ V \x -i-yJ

X 4-^ ny

Soient maintenant eJi, Ibi (fig. lo) deux triangles qui aient les mêmes positions que omi , umi (fig- 9), en sorte que les lignes «, li (fig- 10) correspondent à celles qui sont marquées des mêmes lettres (fig. 8). Supposons de plus que le plan ebl ( fig. 10) soit vertical. ai étant la même ligue que figure 9, si nou^ menons ez perpendiculaire sur bi-, puis «z, l’angle ezs mesurera la moitié de l’incidence de onu ( fig. 9 ) sur umi.

Or, es (fig. 8 et io) = Ci (fig. 8)=x. Ayant abaissé sur el (fig. 10) la perpendiculaire bs^ nous aurons

is ’X.bs is'X.hs

bi V (;i)“ +

is (fig. 10 et 8)=BZ==Ce ou Maintenant

eir (fig. 8) étant parallèle à eèi (fig. 10), soit li^ (fig. 8) un autre plan parallèle a Ibi (fig. 10). Nous

aurons BÇ(fig. 8) = Cr = ^, et les triangles ZB^ ,

isb (fig. 10), étant semblables, islbsllBl (fig. 8):B^;

donc, puisque Ze=BZ, on aura aussi 6s=BÇ=-‘,

, DE CRISTALLOGRAPHIE, Donc réquation sz

isXbs , . ^

devient

donc

— " — JJüyl-.

^ny 4 h* V ny-f A*’

esXst

V nV-I

Si l’on suppose que le générateur soit un cube^ on aura h=i. Alors les deux rapports deviennent

% : gx

6. Pour appliquer les formules précédentes, je choisirai une variété du plomb sulfuré , représentée figure II, et dont le signe rapporté au noyau

ffig. la) est AB'G’ (AB*B*.B*B')MP. La surface est

CO o' l MP

composée des six faces P, M, etc., d’un cube, des huit faces c, c, etc., d’un octaèdre régulier, des douze fiices o, o', etc., d’un dodécaèdre rhomboïdal, et de vingt-quatre faces lyl' ■, etc., qui proviennent du décroissement intermédiaire, et qui seraient des triangles isocèles, si elles se prolongeaient jusqu’à s’entrecouper, en masquant toutes les autres faces (i).

CO Si l’on suppose que les trois faces /, t, qui bordeot

i4 TRAITÉ

Dans le cas présent, on a x= 2 , i , n= i } donc 9) • J?* •• V*7 • i> ce «iwi donne

152*^44^ pour l’incidence de l sur î (fig. 11). D’une autre part, es \ sz : i. Ce rapport est

celui du sinus au cosinus de l’angle aigu du rhonibe daus lequel on a glp II : i > et qui appartient au dodécaèdre rhoniboïdal. Cet angle étant de i' 44'^ l’incidence de l sur l sera de 1 4i^ 3' 28" ; celle de o sur l sera de 1 60^ 3 1 ' 4 4^ et l’on aura celle de c sur l en prenant la moitié, 70^3i'44'* ^e l’incidence de l sur l , retranchant de cette moitié celle de l’incidence de c sur c, qui est égale à 109** 28' t6", c’est-à-dire retranchant 54^44^®'^ ce qui donnera i5‘'47^36", dont le supplément, j64**12'24*, sera l’incidence cherchée. Quant à celle de P ou de M sur c, et de c sur 0, elles seront, la première de 1 25^ 1 5' 5a", et la seconde de i54^ 44^

7. Nous allons maintenant passer à une autre espèce de décroissement dont j’ai déjà développé les résultats, par la méthode synthétique, dans l’exposé des principes de la théorie (p. 7g et suiv.). C’est celui qui a lieu suivant trois directions perpendiculaires entre elles, autour de chaque angle solide du

le triangle c , se prolongent au-dessus de ce triangle jusqu’à Ce qu’elles s’entrecoupent, il est évident quelles deviendront des triangles isocèles. Le même raisonnement s’applique auX dix-huit autres jTaces prises trois à trois.

DE CRISTALLOGRAPHIE. lô

générateur. J’ai fait voir que le solide secondaire était, dans ce cas, un dodécaèdre à faces pentagonales (tig. i3) dont chacune avait quatre côtés égaux entre eux. Quant au cinfpaième côté, tel que celui qui est indiqué par /, et que nous considérerons comme la base du pentagone, il sera plus grand ou plus petit que chacun des quatre autres côtés , suivant que la marche du décroissement sera plus ou moins rapide.

Pour représenter d’une manière générale, à l’aide du calcul, les résultats de ce décroissement, nous nous servirons de la figui'e i4, analogue à la figure 67 (t. I , pl. 5 ), et qui se rapporte à un noyau cubique dont les faces sont divisées en deux par des ligiies^Jr, f'g'if'g", situées dans trois directions qui se croisent à angle droit. Soit 60/7 (fig. i5) le dodécaèdre produit par le décroissement dont il s’agit. Menons les diagonales ud, et, puis les hauteurs nx, Ix, des deux pentagones jod/r, ensuite uk^ et par le milieu

de cette ligne menons yx qui sera perpendiculaire sur elle, et enfin et dp perpendiculaires l’une

sur ad, la seconde sur et, et la troisième sur pn. Avant d’aller plus loin , proposons-nous de cbercher les expressioïis des deux parties ux et un de la ligne nx , et celles des côtés du premier pentagone. Soit xx' (fig. i6) la coupe du dodécaèdre qui coïncide avec les hauteurs nx, Ix. Les lignes e«, il, représenteront l’une l’arête en (6g. i5), et l’autre celle qui est opposée à la précédente, et les lignes ex', ix'

(fig. i6) seront les hauteurs des pentagones opposés à pdnar J pcltr{ï\^. i5). Soit uky-\, (fig. i6) la coupe correspondante du noyau cubique. Menons yx par le milieu de uk, et perpendiculaire sur «4- Soit u^y le triangle mensurateur relatif au trapèze arpd ( fig. i5 ); et soit n le nombre de rangées soustraites, a! l’arête de la molécule , et a celle du noyau. Nous aurons (fig. i6)

uz lyx :: ud" ; S’A :: a'n : a' :: an : a t: n : i.

Mais

uyz=\a‘.

donc

\a lyx :: n \

donc

yx= — .

1°. Pour ux.

ux==y/(uy)* H- = v/

2*. Pour un.

ux un V, uy 7z^.

Mais il est aisé de voir que puisque cbaéuhe

de ces lignes mesure la distance entre Une des arêtes telles que pr, en (fig. ï5), qui sont les limites des décroissemens et la face correspondante du noyau; Donc

OVl

Kof (fig. i6) uny, uy iyx V. ni

y — • unlln . \

d’où l’on tire

On vient de voir que les deux parties ux, un (fig. i5 et 16) de la hauteur du pentagone pdnar^ sont entre elles conime les ciïtés adjacens à l’angle droit dans le triangle uyx ( 6g. 16 ) (jui est semblable au triangle mensurateur. Je fais cette remarque, parce que le rapport dont je viens de parler nous sera utile dans la suite.

Maintenant «Ç étant ('"gale à yx^ il est bien facile d’avoir l’expression de «Ç, en faisant

3°. Pour la base pr (6g. i5) du pentagone pdnar. en (%. i6)=pr(6g. i5) = «-n}/ — 2«^(fig. 16)

a anr

4*. Pour le côté an ou dn.

an= S/{auy-\-{un)*

5“. Pour le côté dp ou ar.

dp^V{pyyMd<rÿi

d(T=ad^a<Ji=\{ad-^pr}—-i\a

Donc

= drvj

^p=y—ip- — '•4ï'*= V

c^est-à-dire que les quatre côtés dn, an, ar, du Jîentagone sont égaux entre eux , ce qui est d’ailleurs évident, d’après la seule inspection du dodécaèdre {payez t. ï, Y>. 82).

8. Les résultats qui, précèdent vont nous fournir des fornudes générales pour la détermination des angles du dodécaèdre. L’incidence de deux pentagones tels que dpran, pclfr, à l’endroit de leur base commune pr, ne souffre aucune difficulté. Elle est le double de l’angle zixy, dont le sinus est au cosinus comme an', ou comme n î i.

Pour avoir la formule relative à l’incidence des 'pentagones pdnar, dmben^ à l’endroit de l’un de# autres côtés, qui est ici le côté dn^ menons les diagonales mn,pm^ analogues à pn, puis dÿtt perpendicidaire sur pra. Nous pouvons considérer la partie du dodécaèdre qu’intercepte le plan pnm^ comme le sommet d’un rhomboïde dans lequel les demi-diago» nales p\ de chaque rhoiube, seraient égales l’une à pfji , l’autre à dp..

Or p/4 = 7 pn ; pn = \/{nx)’'-\- (pa:)*,' .

72a: = «a: “f- un ==y — ^

Vv ~^="'irv

px=^jprz

fl/i*

Donc

;p„ ou s' = + î!î“±£

/ fn + \\* a’'n‘-\-a* , a*n* — 2a'«“ -f- a*

Mais dp ou \/g'* 4- P* =z)J . Supprimant dans les valeurs de ^ et \/^'*+ p'^^ le facteur

commun 7-7, on aura

dp ou VV'*4-p'* ^ pf* ou gf :; ‘ \/(^^) — 2«*4-i,

et développant 5 réduisant,

Soit (c^)* ou gf'*-t-p'*=2n^4-2n*-f-2j nous aurons

{pp.y ou

soustrayant la valeur de g'* de celle de g'*-{-p'^i

et divisant les valeurs de g* et de p'* par lé facteur commun «* — « -f- 1 ,

2ii

TRArrÉ

donc

ce qui donne le rapport entre le rayon et le sinus de: l’angle qu’il faut ajouter à go*^, pour avoir l’incidence de pdnar sur dmben^ ou sur mdpco.

A l’cgard des angles plans, ou observera que lé sinus de pdjXy moitié de pd/i^ est au cosinus comme g' - P y. ra 4- 1 • + I , et que le sinus de l’angle

anu , moitié de and^ est au cosinus

au:

un:

ce qui donne tout le reste.

9. Proposons - nous encore de déterminer le rap-^ port entre la solidité du générateur et celle de la partie enveloppante. Nous aurons d’abord a* pour la première. L’autre est un assemblage de six solides dont chacun , par exemple celui qui repose sur la face deta, est composé d’un prisme triangulaire, ayant pour bases deux triangles isocèles, tels que (Tpeo, et pour hauteur une ligne égale à pr, plus de deux pyramides quadrangulaires semblables à dcàiVp , dont la hase est un rectangle cd<7Cù , et dont la hauteur est égale à «Ç (fig. 16), ainsi qu’il est facile de le concevoir.

Or, d’une part, la solidité du prisme est le produit de la surface du triangle opa (fig. 1 5) par pr. Mais la base du triangle est air=a -, sa hauteur, ou la per-

Digilized by GoogI

jjcndiculaire abaissée du point p sur a«r est,comniç on l’a dit, égale à «Ç" (fig. i6); donc la solidité du prisme aura pour expression

0^,4. a a an* — a

-x;<xpr=jx-x— ^

D’une autre part, la solidité de chaque pyramide est le . produit dv X cd de la surface de la base par ~Ti^ (fig. i6), ou nÇ’xaXi/iCj sa. valeur algébrique est

^(p. 17) Xa X

Mais il y a six prismes et douze pyramides; donc la solidité de toute la, matière enveloppante aura pour expression

Zc^n* — 3a? , __ 3a^n* — a? 1

20? ' an*

Comparant les deux expressions , on en conclura que la solidité du générateur est à celle de la matière enveloppante, abstraction faite des petits vides qi\e laissent les séries qui sillonnent la surface du dodé-" caèdre, comme an® î 3n* — i. 11 suit de là que la solidité du générateur est à celle du dodécaèdre

10. Maintenant, pour passer aux applications, disons d’abord 71=1. Dans ce cas, nous aurons, pr

ou ^ i c’est-à-dire que la base des penta-,

goiies s’évanouit, et que le solide secondaire devient semblable au dodécaèdre rhomboïdal. Dans le même, cas, le rapport au à un ou i devient

celui de I à V^a, ce qui donne pour l’angle aigu de. chaque rhombe 70^3i'44*^ l’angle obtus,

iog‘*a8'i6". Ou trouvera aussi que le rapport entre, le rayon et le sinus de l’angle qu’il faut ajouter à 90'’, pour avoir l’incidence mutuelle de deux laces quelconques, est celui de 2 à l’unité, c’est-à-dire que l’incidence dont il s’agit est de 120'^ ce qui est d’ailleure indiqué par la symétrie de la forme.

Soit 72=3, comme dans le fer sulfuré ; on trouvera, pour l’incidence de dnarp sur pc/<r, 126^52' 12", et pour celle de dnarp sur dpcom, ri3‘*34^4*^ dans chaque pentagone, tel que dnapr^ on aura and~\i\^Z'^' \'f \ ndp on /2«r= j"; d’où

l’on conclura que dpr ou a/-/7= i02'*36' iG"3o'"'. Enfin, le rapport entre les solidités du générateur et de la matière enveloppante sera celui de 16 à 1 1. Or, le rapport entre le sinus de l’angle anu et le cosinus, ou 72*: 1, devient ici celui de 4

donc (an)* t (««)* 16 : 5;

(an)* ‘ {au)' — (.un)' Il 1 6 : 1 1 j ç’est-à-dire que, dans le cas du dodécaèdre parti-

culier dont il s’agit ici, le rapport entre le carré du sinus de la moitié de l’angle au sommet du pentagone , et la diflerence entre ce meme carré et celui du cosinus, est égal au rapport des solidités du générateur et de la matière enveloppante. Cette variété, que je nomme fer sulfuré dodécaèdre , ci dont la projection rapportée au générateur (üg. 17) se voit (fig. i3), a pour signe

BCG**G

eV €,

1 1. De célèbres minéralogistes ont cru voir dans les cristaux de cette variété le dodécaèdre régulier de la Géométrie, parce qu’ayant déjà observé parmi les cristaux d’autres polyèdres réguUers , tels que le cube, l’octaèdre et le tétraèdre, ils ont cru être conduits, par la raison d’analogie, à juger que le dodécaèdre à faces pentagonales devait avoir la même symétrie. Mais on peut prouver que cette espèce de solide , en supposant que toutes ces faces soient des pentagones régidiers, n’est susceptible d’être produit par aucune loi de décroissement.

INous avons vu (p. 17) que les deux parties uXj un- (fig. i5 et 16) de la liauteur des pentagones d’un dodécaèdre cpielconque, dont l’existence serait possible, sont entre elles comme les côtés du triangle mensurateur 'fjui sert à déterminer la mesure du décroissement, ou comme les lignes uy,yx. Concevons que la figure i5 représente le dodécaèdre régu-

lier, et soit ndpra (fig. 1 8) le même pentagone que lig. i5, inscrit dans une circonférence de cercle. II s’agit de démontrer que dans ce pentagone le rapport de ux à un ( fig. i8) est incommensurable. Pour y parvenir, menons les rayons cp, cd, puis p<T perpendiculaire sur ad, et pm qui sera le côté ^u décagone régulier inscrit au même cercle.

Les triangles ndu, pcx sont semblables, parce qu’ils ont chacun un angle droit, et que les angles dnu, cpx sont chacun la moitié d’un angle à la circonférence du pentagone andpr-, donc dn' un : : cp'px. De plus, les triangles dp<T, sont semblables , parce qu’ils ont chacun un angle droit , et que l’angle inscrit pd7 qui a pour mesure la moitié de l’arc arp, ou un cinquième de la circonférence, est égal à l’angle inscrit pmx, qui a pour mesure la moitié de l’arc ndp égal à l’arc arp ; donc

dplpj ::pm: px, ou dn' uxV.prn'cp.

Mais nous avons eu dn ' un cp • px •, donc uxl un •• cp 'pm, ou comme le rayon est au CH>lé du décagone. Or, ce côté étant égal à la médiane du rayon di\isé en moyenne et extrême raison, si nous supposons que cz soit cette médiane, et si nous la désignons par a;, et le rayon par r, nous aurons

r : X 'I X : r — X, et ** -f- rx = r*.

Cette équation résolue donne

x = -—irdzir Vo,

aü

et en prenant le signe positif, x — {r \/5 — î ri donc

ux'.unV.ri -} r \/5 — 7 r :: a I \/5 — i ;

donc, tel est aussi le rapport des lignes uy cl xy (fig. i5); donc, ce rapport étant incommensurable, ne peut représenter aucune loi admissible de décroissement. 11 résulte de la démonstration précédente que, dans le dodécaèdre régulier, le sinus de l’angle égal à la moitié de l’incidence mutuelle de deux pentagones adjacens, est au cosinus , comme le rayon est à la médiane du rayon divisé en moyenne et extrême raison.

12. Ce dodécaèdre, qui est si loin de celui de la, Minéralogie, lorsqu’on essaie d’y appliquer les lois de la structure, a cependant avec lui une relation remarquable, découverte par M. Boudrot, géomètre très habile, qui a bien voulu me la communiquer. Elle consiste en ce que le supplément de l’angle d’incidence de deux pentagones adjacens sur le dodécaèdre régulier, fest égal à la moitié de l’angle que forment entre eux les pentagones du dodécaèdre de la Minéralogie, à l’endroit de leurs bases communes pr (fig. i5), en, etc.

Supposons pour un instant que uxk (fig. 16) soit l’angle d’incidence relatif au dodécaèdre régulier. Si nous menons ub pei-pendiculaire sur le prolongement de kxy uxh sera le supplément de l’angle dont il s’agit. Cherchons le rapport entre le sinus ha de cet

angle et son cosinus bx. Nous avons eu uy • yx " a t — i.

Soit uy—’i^ auquel cas^x= v/5— ij

«A=4; kx=L \J{ky)'-Ç(yxÿ

=V/4+6-^a \/5 = io^a\/5.

Donc

(t/5= i)4 Vio — a 5

. . / 7= fv/5— 1)4

B;p ou Ax ibu'.ly 10 — zyb : — ■ ■ ~

Vio — 2[/b 10 — a t/5:( Vb-T-i)4”5 — Ÿb\Q.{\/b — 1)

Donc

:: Vso — 10 V/' 5 : a Vs — a

donc

ux : bx :: Vs ‘ i ;

bu : 6x :: V4 2 : I

Or, ce rapport est celui des lignes uy^yx (Cg. i5) dans le dodécaèdre du fer sulfuré. Donc, dans l’iiypotlièse présente,

6x«(fig. i6)=«:^(fig. i5) = 63*^ 26' 6" J, et ainsi l’angle kxUj qui mesure l’incidence de deux

pentagones adjacens sur le dodécaètire régulier ser% de ii6<i33'54".

Dans le rapport a : — i, qui est celui des

lignes uy^yx (fig. i5) , pour le dodécaèdre régulier, le premier terme est plus grand que le second. Or, supposons que les divers pentagones qui composent la surface de ce dodécaèdre se meuvent sur les arêtes ce?, c?, at, etc., du noyau cubique comme sur autant de charnières, de manière que les trapèzes eprt^ dpra^ se relèvent au-dessus du carré adet^ tandis que les triangles c/f, dna, s’abaisseront, et ainsi des autres pentagones. Pendant ces mouvemens, l’angle uxk diminuera j en même temps les arêtes pr, ont., en, etc. , deviendront toujours plus courtes, et finiront par se réduire à de simples points; si au-delà de ce terme les mêmes mouvemens continuent, il se formera de nouvelles arêtes qui seront situées à angle droit à l’égard des précédentes, et il y aura une époque où le dodécaèdi’e sera encore régulier. Alors çbacpie trapèze erpt se trouvera transformé en un triangle semblable à cZ/, et réciproquement; d’où il suit que le rapport aÇ’ à n^ ( fig. i6) prendra la place du rapport uy lyx, et parce que nÇz=yx, on aura

uy ’.yx ::yx : «Ç, ou \/5 — i : 2 :: 2 i uÇ.

Or, si l’on multiplie V5 — * P^r 4“ * > duit sera la diflérence 4 entre les carrés de \/o et de 1. Donc n^= V5+ i; donc au beu du rap-

a8 TRAITÉ

port 3 ; V^5 — i , on aura le rapport 2 : \/5-\- 1 , dans lequel c’est lepreniier terme qui est le plus petit» Si l’on égale les expressions de dp et de pr. ( fig. 1 5 ), conformément à ce qui a lieu dans le dodécaèdre régulier, on ^ura, en élevant au carré celle de pr,

aa’n^ +

d’où l’on tire

Celte équation résolue donne

Donc, puisque uy \yx V. n\\, nous aurons, d’une part, uy I yx II i, et d’une autre

part uy ‘ yx :: y/| — i \/5 ; i. Le premier cas convient à la construction représentée parla figure, et le second au cas où le rappo’'t uy ‘.yx est remplacé par te rapport gk : gl ( fig. iG ). Ces rapports sont les mêmes, sous une forme j)lus composée, que ceux de 2 : \/5 — I , et de 2 : V'^5+ i , ainsi qu’il est facile de s’en assurer, en fonnatjt des uns et des autres deux proportions j dans lesquelles ou ]>rendra ensuite les produits des extrêmes et ceux des moyens.

i3. On observe aussi parmi les variétés du fer sulfuré un icosaèdre qui résulte de la combinaisou du décroissement qui vient de nous occuper avec

celai d’où dépend l’octaèdre régulier. Sa projection

est représentée (fig. 19), et son signe est B(iG**GA.

11 ne sera pas inutile d’entrer ici dans quelques détails sur sa structure. On peut concevoir géomélriquement ce solide comme étant un dodécaèdre (fig. 1 o) à plans pentagones, dans lequel les angles solides c, d, a, ty etc., du noyau, auraient été interceptés par autant de facettes triangulaires équilatérales opî, tnpn, mq y 1rs y etc. (fig. 20), de manière que les résidus des douze pentagones seraient des triangles isocèles 7rt,po, emn, eqn, etc. ; mais considéré minéralogiquement , il résulte de la réunion des deux lois dont j’ai parlé. Or, il est à remarquer que le noyau y dans ce cas , n’est plus égal à celui qu’aurait le dodé»caèdre réputé complet. Il est nécessairement plus petit, et a ses angles solides situés aux centres des triangles équilatéraux. Donc il faut supposer deux époques pour les lois de décroissement, en sorte qué celle qui donne l’octaèdre soit censée avoir agi seule jusqu’à un certain terme , au-delà duquel l’autre loi aurait commencé à agir concurremment avec elle. 11 s’agit de déterminer ces deux époques.

La’ première loi, pendant qu’elle était seule en action, a dû produire, à l’endroit de chaque angle Solide du noyau cubique, un triangle, équilatéral, Id que <TéA, qui, par l’intervention de la seconde loi, est devenu le triangle mnp. Déterminons la matuère dont le petit triangle est engagé dans le grand ,

3o TRAITÉ

ce qui se réduit à ttouver le rapport entre p6 et cm. La ligne éTc est nécessaii'ement sur un plan parallèle à l’une des faces du noyau de l’icosaèdre, puisqu’elle est le bord d’une des lames de superposition dont le décroissement tendait à produire l’octaèdre. Donc si nous menons cS’ parallèle à mo^ le plan J'cS’ se confondra avec celui dont nous venons de parler. Or , il ^ est clair que ce même plan coïncide aussi avec une des faces du noyau relatif au dodécaèdre, ayant pour terme de départ la ligne â’c ( fig. 20) , des deux côtés de laquelle son action s’est étendue , cette ligne fait nécessairement partie d’une des arêtes du noyau cubique dont nous venons de parler. Donc cS" sera la même ligne que (fig. i5), ou, ce qui revient au même , elle sera égale à S'y. Donc

J3C (fig. 2o)=/>' (fig. i5), et (.m—yr.

Or, . '

iy 'y r:\iliSig. i5 et iÇ>)'.kx:’ilg\gz^kyi: 1:2^

donc

/«(fig. 20) = ^ (cm);

donc le triangle tkS a ses angles situés aux tiers des côtés du triangle pmn. Par une suite nécessaire , les angles mciT, m<r«, formés par les côtés du triangle «AcT avec ceux du triangle pmn^ sont de 90** et 30**. Car J'm=/je=ï(em); donc puisque l’angle «Tmc est de 60^, on aura

mcj' = 3o^ , et m J'c 3=90*^.

Digilized by GoogI

DE CRISTALLOGRAPHIE. 3i

Il est aisé maintenant de distinguer les deux époques relatives aux décroissemens. Pour y parvenir, menons du point p la ligne passe par le

centre s du triangle pmn. pÇ" sera parallèle à ej', puiscjue l’angle p^m est droit comme l’angle tS'm.

Donc si l’on mène pa^ qui fasse aussi un angle droit avec o/, le plan sera parallèle au plan «Tsd’ ; or, celui-ci, à son tour, est parallèle à l’une des faces du noyau de l’icosaèdre. Donc le plan Çp» coïncidera avec celui de cette même face, puisqu’il passe par l’angle s du noyau. Donc le point p est sur le plan de la face dont il s’agit ; donc le point r est sur le plan de la face opposée. Donc puisque pr est perpendiculaire sur l’une et l’autre face, elle sera égale à l’arête du noyau. Donc aussi ont est égale à cette arête; donc éS" est égale au tiers de cette même arête. Or, il est facile de voir que la lame de superposition, dont le bord passe par les points cT , e , ^ , a la figure d’un octogone, ainsi que toutes les lames précédentes. Donc le terme où commence la seconde époque a lieu lorsque le côté de l’octogone parallèle à l’arête du noyau est le tiers de cette arête.

14. Cherchons maintenant si parmi toutes les combinaisons deux à deux des lois de décroisscxnens, il en existe une qui puisse produire l’icosaèdre régulier autour d’uu noyau cubique. Nous avons dit que l’icosaèdre du fer sulfuré poxivait être considéré comme le dodécaèdre de la même substance , dont ou aurait retranché les huit angles solides correspon-

3a TRAITÉ

dant à ceux du noyau , par des coupes qui auraient remplacé ces angles par autant de triangles équilatéraux, de manière que les résidus des pentagones seraient des triangles isocèles. Si l’on faisait la meme opération sur le dodécaèdre régulier de la Géométrie, on aurait encore des triangles isocèles pour restes des pentagones. Mais on peut supposer que les dimensions du dodécaèdre générateur soient telles, que ces mêmes restes deviennent des triangles équilatéraux; et il est évident que , dans ce cas , les sections dont nous avons parle transformeraient le dodécaèdre en icosaèdre régulier.

Or, il est facile de concevoir que la question se réduit à cliercher s’il y a une loi admissible de décroissement pour le cas où l’on aurait

nx px y. i I.

Si l’on substitue à la place de nx et de px leurs valeurs algébriques (p. i8) , la proportion deviendra

ÎL±Li/£^îl±^ . ° .. v/ï . T •

élevant tout au carré et simplifiant,

d’où l’on tire

Ên résolvant cette équation , on trouve

•«==l=i=ïV5.

Or, celte valeur «étant incommensurable, il s’ensuit qu’elle ne peut représenter une loi réelle, et ainsi l’icosaèdre régulier n’est pas plus possible en Riinéralogie que le dodécaèdre.

i5. On concevra ce que signifient les deux valeurs de « , en appbquant ici ce que nous avons dit au sujet des deux rapports entre uy eijrx, dans le dodécaèdre régulier. Si l’on prend les rapports analogues pour le dodécaèdre qui vient de nous occuper , on aura d’une part ï+j V5 : i , et d’une autre part

Or , il est remarquable que les termes de ces rapports soient précisément les carrés des termes qui composent les rapports entre les mêmes lignes considérées dans le dodécaèdre régulier ( p. 28 ).

16. Si nous continuons de regarder la figure 16 comme étant relative à un dodécaèdre susceptible d’ètre transformé en icosaèdre régulier, par le retranchement de ses huit angles solides, l’angle uxb sera le supplément de celui qui mesure l’incidence de deux faces de ce dodécaèdre , à l’endroit de leur base commune, et la ligne ux étant prise pour rayon , ub sera le sitms du même angle. Or , j’ai trouvé que le rapport entre ux et ub est commensurable, en sorte que ux l ub 3 I 2.

Dans le triangle uxy^ uy \yx II 3-f- : 2.

Soit KJ = 3 + \/5f auquel casj*= 2.

lex

hu=i

yx . hu yi. Au__ a(6 -t-2 V^5) Ja

/tx

v/i8+6\/5 v/»(ia+4t/&

Donc

:l,u::\/,S+6VS:\/li=^

:: v^9+3vI :

:: 3\/3hV5' : ay^S+Vl :: 3 : 2.

D’après ces données on trouve bxu = 4^^4^'^7^*’ Or , l’angle ‘uxk mesure aussi l’incidence de deux quelconques des faces de l’icosaèdre régulier, à l’en-^ droit de leur commune arête. Donc cette incidence est de i38** 1 1'23".

1 7. Le dodécaèdre et l’icosaèdre du fer sulfuré sont quelquefois modifiés par des facettes additionnelles, qui dépendent d’une loi particulière de décroissement intermédiaire dont nous allons maintenant nous occuper. Pîous supposerons, pour plus grande simplicité, que le cube fasse ici la fonction de rhomboïde , et que le décroissement n’agisse que sur les angles contigus aux sommets. Soit ux ( fig. 21) la

projection horizontale de ce cube. Telle est la marche de la loi dont il s’agit, que les lames de superposi» lion , au lieu de subir des soustractions égales d’arétes de molécules sur les deux bords az,ay adjacens à im même angle a, ne décroissent que suivant une seule direction telle que'^. De plus, si l’on compare cette direction avec les deux autres BA , <Tê , situées sur les Ëices ayhx^azsx, on verra qu’elles sont situées alternativement en sens contraire, en sorte qu’à cet égard le décroissement intermédiaire a une certaine analogie avec les décroissemens sur les bords , suivant trois directions perpendiculaires entre elles, qui ont lieu dans la production du dodécaèdre à faces pentagonales.

Si l’on suppose que le décroissement intermédiaire produise complètement son efièt , le solide secondaire sera un rhomboïde dont les sommets se con- ’ fondront avec ceux du générateur, et dans lequel celui-ci sera engagé de biais, en sorte que si dhp (fig. 22) représente le triangle formé par les trois diagonales horizontales supérieures du rhomboïde secondaire , yxz pourra représenter la section de ce triangle sur le générateur, ou, ce qui revient au même*, l’assemblage des trois diagonales horizontales supérieures de ce générateur. Donc si l’on mène cr perpendiculaire suryz, et cm perpendiculaire sur dp, ces lignes seront les demi-perpendiculaires sur l’axe relativement au cube et au rhomboïde^.

Pour procéder avec plus de clarté dans l’applîca-

tion de la théorie , imaginous d’abord que le décroissement intermédiaire agisse , comme dans les rhomboïdes, des deux côtés de l’angle supérieur. Soit sag (fig. a3) la partie supérieure du dodécaèdre secondaire, limitée par le plan horizontal abfgln. Si nous considérons le quadrilatère adsg (fig. a4) (i) conune étant la coupe principale du noyau cubique, l’arête «6 (fig. a3 ) répondra à l’arête a» ( fig. 2^). Maintenant, pour repasser du dodécaèdre au rhomboïde qui est l’objet du problème, il faut supposer que les lignes aô,

23 ) , se prolongent l’une vers l’autre jusqu’à se réunir, et qu’il en soit de même des lignes Jg et n/’, et des lignes In et ba, ainsi qu’on le voit fig. 22, L’assemblage des six lignes se réduit alors au triangle équilatéral dhp, et si l’on conçoit qu’en même temps les triangles (fig. a3), gsj", Isn, s’étendent de ' manière à masquer les triangles intermédiaires , le dodécaèdre se trouvera transformé en rhomboïde. Or, dans ce nouvel assortiment de plans , l’arête sb et la perpendiculaire sm subsistent toujours, ainsi j que les arêtes correspondantes sg et sn. Nous pouvons donc , à l’aide de ces termes fixes , ramener la tliéorie du décroissement qui donne le. rhomboïde à celle du décroissement d’où résulte le dodécaèdre, en nous servant, à l’égard du premier, des formules que nous avons employées relativement à l’autre.

(1) Cette figvire est analogue à la figure 107, 1. 1, qui sa rapporte à l’espèce de décroissement dont il s’agit ici.

Menons la liauteur sc (fig. a3) de la pyramide, puis les lignes eby ca, cm, analogues à celles qui sont marquées des mêmes lettres (fig, aa). Le rapport de cm à es sera le même que celui de la perpendiculaire sur l’axe, dans le rhomboïde secondaire, aux deux tiers du même axe , c’esl-à-dire qu’en désignant par g' , p' , les demi-diagonales de ce rhomboïde , on

aura cm • es :: | \^9P'* — H donc

chercher les expressions des termes du premier rapport , d’où il sera facile de déduire celui des demidiagonales.

Supposons pour l’instant que le point b ( fig. a3 ) réponde au point x (fig. 24). Ayant prolongé jusqu’à la rencontre du prolongement de a\ , nous aurons

bc (fig. 23 ) l aci: (fig. 24) : û>4 •• • “4

'•afÂ, : aa>li ces ace.

Désignant par a; le nombre d’arêtes de molécule comprises dans ao (fig. ai), par y celui que renferme af, et par n le nombre de rangées soustraites, nous aurons

bc :ac (fig. 2 3) : : nxy+x — 7y ; 2nxy — ar— ^(t. I, p. 5 1 4). Dans la même hypothèse ,

et faisant g ou p= i ,

Mettant cette valeur à la place de bc dans la proportion précédente , on trouve

anxy—x — y^,nxy + x-\-y ^

nxy -{■ X — nxy — y ^

Mais co=jac, parce que l’angle aco est de 6^**. bo^=^bc'—co

nxy+x-^^y ^5 (inxy-^x-y /y

-"nxy—y Wy+Æ— nxy— y/

y nxy+x+y ,

y + x — zy nxy— y

nxy-\-x — ay ' nxy — ÿ ’

ab^V (ao)* •+• (6o)*

./ ^nxy-hx-\-y\^ (an jy — x — y)* + 3(.r — y), ^

V \ nxy — y / * (nz^ + x— av)*

nxy— y / (nz^ + x— a^)

. bc (2»^ X

nxy — y

ab ^/(anxy— X— ji')’-l-5(x— j^)*

Mais, par la supposition,

C8=au (fig. 34)=°^^"^- • « (t-I, P- 5l4)

et à cause de a= s/gp* — S^'xsv/g— 3= S/6,