Topaze éqiùdifférente (fig

On a vu dans l’article relatif à la théorie de l’octaèdre, que les cristaux de topaze ont une double structure, qui permet d’adopter à volonté, pour forme primitive, un octaèdre rectangulaire (fig. 55) >

.ou un prisme droit rhomboïdal (fig. 53). Cette dernière forme est celle que j’avais indiquée dans mon Traité. Les observations qui se rapportent à l’autre n’ont été faites que long-temps après, et pour ramener celle-ci au prisme rhomboïdal , il Êiut concevoir que ce prisme subisse les deux décroissemens compris

dans le signe AE (fig. 53). Le premier donne les faces P (fig. 53), et le second les faces P'.

Pour lier ensemble les résultats des applications de la théorie aux deux formes, il a fallu déduire la projection de l’octaèdre de celle du prisme, et je vais d’abord exposer l’opération à l’aide de laquelle se fait le passage de l’une à l’autre.

Soit bs (fig. 54) le prisme rhomboïdal déjà représenté (fig. 53). Ayant tracé les diagonales ht, sd (fig. 54), et ac, br des bases, je mène par les milieux y, Ç des arêtes bd, rs les lignes Ix, kz parallèles à la diagonale ht, et par les milieux e , ti des arêtes ha, te, les lignes kl, xz parallèles à la diagonale ds. Le rectangle Ixz'k, dont les côtés coïncident

arec les lignes’ précédentes, sera la. base communedes deux pyramides qui doivent composer l’octaèdre, et pour avoir les côtés de leurs faces, il ne reste qu’àmener de chacun des angles t^k^z ^ deux droites dont l’une aboutisse au centre o de la base supérieure, ' et l’autre au centre n de la base inférieure. On auraainsi l’octaèdre proposé , tel que lè représente séparément la figure 55 avec sa notation.

A cette occasion , je ferai ici quelques obser\"ations générales relatives aux projections des fermes cristallines qui dérivent d’un octaèdre considéré comme forme primitive.. Il est d’abord facilè de concevoir que la projection horizontale de cet octaèdre, tracée d’après les principes précédemment exposés, sera semblable à la base commune des deux pyramides dont il est censé être l’assemblage , en supposant que les axes de ces pyramides soient situés verticalement. Pour construire ensuite la projection verticale, il suffira de connaître le rapport entre les mêmes axes et l’une des diagonales de la base commune des deux pyramides. .

Si Toctaèdre est du genre de celui que représente la figure 56, et dont la position naturelle exige que deux des, côtés de la base commune des deux pyramides composantes, savoir, C, C', soient situées hori- . zontalement, et les deux autres G et G' verticalement, la projection horizontale sera semblable à la coupe ■transversale qui est perpendiculaire aux deux côtés .dont je viens de parler, et l’on aura la projecliou

) , verticale en combinant une des diagonales de celte

coupe avec l’axe mené par les milieux des côtés C', C'

parallèlement aux côtés G, G'.

Si l’on prend l’octaèdre pour type des projections relatives aux formes secondaires , on emploiera , par préférence aux signes théoriques, ceux que je nommé techniques , et qui indiquent d’une manière simple et facile à concevoir, les sections qui doivent être faites dans l’octaèdre, suivant des plans qui coïncident avec les faces représentées par ces signes.

Mais il est souvent beaucoup plus avantageux de faire dériver les projections des formes secondaires d’un noyau hypothétique qui, dans ces sortes de cas, 'est un prisme soit rectangulaire , soit rhômhoïdal. La topaze est ici dans un cas particulier, en ce que ce prisme, qui serait simplement hypothétique relativement aux autres octaèdres , est donné par l’ordre •même de la structure, et par l’assortiment d’une partie des joints naturels que l’on met à découvert, -en divisant mécaniquement les cristaux de cette substance minérale.

Je vais confirmer ce qui précède par un exemple dans lequel je substituerai' le prisme dont je viens de parler à l’octaèdre représenté (fig. 55), pour en déduire la projection de la variété équidilféreute (fig. 57), dont le signe rapporté à ce même prisme, tel qu’on le voit (fig. 53) , est . -

M^G*Bô, (ÉB'B*) (eh'h'Y.

La diflierence de configuration qui existe entre les deux sommets, par une suite de la propriété électrique, consiste en ce que les faces x, x, qui se montrent sur le sommet supérieur sont milles sur son opposé.

Je me dispenserai de l’opération préliminaire dont le but serait de retrouver la projection horizontale du prisme, puis d’en faire dériver la projection verticale, et de relever ensuite cette dernière pour dégager les uns des autres les points qui s’y trouvaient confondus, parce que cette opération ne serait, en quelque sorte, qu’une répétition de plusieurs de ceUes qui ont précédé.

Soit hc{ fig. 58) la forme primitive. Je mène par l’arête st et par les mibeux des arêtes db, ha^ le plan «tgl, qui sera parallèle à la face o ( fîg. 5']). Ensuite je mène par la diagonale £?s (fig. 58) et par le milieu de l’arête ah y le plan dsly qui sera parallèle à la face n (fig. 57). Je mène enfin , par l’angle d (fig. 58) , le plan dne , tellement situé que hn=jha,et he=^^ah, d’où il suit qu’il est parallèle à la face x (fig. 57). Maintenant, les deux plans stgl, sld s’entrecoupent sur une même ligne si. De plus, il est facile de voir que en est parallèle à si. J’en conclus que les trois faces O, n, X (fig. 5"]) ont leurs intersections parallèles , et c’est ce qui est sensible à la seule inspection des cristaux.

Pour déduire de ce qui précède la projection de la \ ariélé dont il s’agit ièi , je trace d’abord un prisiuc

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DE CRISTALLOGRAPHIE. e3<f

uXTTv (fig. 5g) dont le signe est M^G*P, ce qui

n’offre aucune dilîîculté.

Soit hc (fig. 6o) la forme primitive déjà représentée (fig. 58). Pour déterminer la position de l’arête jttA (fig. 57 ) , j’observe que si je rapporte au plan sdb

(fig. 60), prolongé convenablement, l’effet du dé- %

croissement B, qui donne la face o (fig. 57 ), et si efg (fig. 60 bis) représente le triangle mensurateur dans la même hypothèse, j’aurai ef'.fg :: acfe : (fig. 60).

Donc , si je mène hs , j’aurai la position de l’arête fiX ( %• ^7 ^9) 9^^ parallèle. Par le point

^ ( fig. 5g ) , je mène la ligne ÇA, parallèle à et qui, d’après ce qui a été dit plus haut, doit être l’intersection commune des faces o, a; (fig. $7). Je prends à volonté sur la ligne Çy un point £, et par ce point je mène une droite indéfinie e(p , et parallèle à Ça, d’où il suit qu’elle coïncide arec l’intersection commune des faces x, n (fig. 57). Ensuite par le point £ (fig. 5g ) je mène £cT parallèle à la diagonale ds (fig. 58). La face n (fig. 57) étant parallèle au triangle sld (fig. 58) , je mène sur le milieu ^ ( fig. 5g ) de £j' , parallèlement à l’apothème lo de ce triangle, la ligne Sry, jusqu’à la rencontre de l’arête »y, et je la prolonge du côté opposé, jusqu’à ce qu’elle rencontre la ligne eÇ", ce qui me donne le trapézoïde

11 ne me reste plus qu’à tracer les petites lignes Aw, Ç)j, etc. (fig. 57 et 5g). Pour y parvenir, je re-

64o TRAITÉ

marque que ces lignes sont les arêtes dbliques d’une

petite pyramide, ^TcTâ’W ( Cg. 6i ) , dont les faces ré-

sultent du décroissement intermédiaire (EB'B*) comme étant les prolongemens des faces x. Soit (fig. 6i ) cette pyramide. Je mène les diagonales Çj, AS’ de la base, et ensuite la hauteur an.

Le cas dont U s’agit ici est un de ceux auxquels se rapporte le second des problèmes que j’ai donnés plus haut, et qui sont destinés à faciliter les moyens d’y appliquer la méthode. Or, ici, ab (fig. 5, pl. 74) représente (%-6i et j’ai o;=3 i. Donc

De plus, à cause du décroissement par deux rangées uyi'=jh. Donc : an :: 3g : h :: g : \h. Donc si par le tiers de ah ( fig. 60 ) je mène of, le triangle hof étant semblable au triangle

(fig. 61), j’aurai la position de la petite ligne ( fig. 5y et 5g) , en menant du point Ç luxe parallèle à/o (fig. 60).

D’une autre part, q/'(fig. 5) représente ar (fig. Gi).

Donc aX^=^'îpy.-^^—^=x5p.

Donc aX: an :: 3p\\h :: p\ \h. Je mène or qui coupe dr au ^ de sa longueur, et j’ai la position de la petite ligne A» en menant du point A une parallèle à or. Je termine la projectiori, à l’aide de la même

marche, en observant de supprimer, vers le sommet

nférieur , les analogues des làces x,x'.