PHOPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES GÉNÉRALES DES CRISTAUX
1 . Beaucoup de substances naturelles, beaucoup de produits chimiques se présentent sous la forme de solides li« mités par des surfaces planes ; quand on les brise , on remarque ordinairement une tendance à se rompre en chaque point suivant certains plans, parallèles à quelques-unes des faces terminales, ou qui font avec elles des angles définis.
Les solides de cette espèce sont des cristaux : les plans qui les limitent sont les^àce^ de ces cristaux j ceux de facile rupture, leurs plans de clii^age.
2. Les inclinaisons réciproques des faces et des plans de clivage d^un cristal sont soumises à dies lois qu'il faut maintenant énoncer.
Que parunpoîntOprisà Tintérieur d'un cristal (fig'i)f on conçoive des plans parallèles à chaque face terminale et à chaque plan de clivage ^ soient OX, OY, OZ trois intersections de ces plans non situées elles-mêmes dans un même plan ^ soit, de plus, une face ou un plan de clivage qui rencontre OX, OY, OZ aux points A, B, C : si une autre face ou un autre plan rencontre OX , OY, OZ aux
points H, K, L, et qu'on doi^ne aux longueurs HO, KO, LO le signe + ou le signe — , suivant qu'on les porte dans le même sens que AO,BO,CO,ou en sens contraire, on a la relation
relation dans laquelle A, /f, / représentent des nombres positifs ou négatifs, mais toujours entiers. Un ou deux de ces trois nombres peut d'ailleurs être zéro. Lorsqu'un des nombres A, ft, / est zéro, la distance correspondante HO, KO ou LO devient infinie , et, par conséquent , la face ou le plan de clivage est parallèle à la ligne suivant laquelle cette distance devait être mesurée.
3. Puisque la position des faces et celle des plans de clivage d'un cristal sont somnises à la même loi , tout plan de clivage est ou peut être une face du cristal. Quand on se servira, à l'avenir, du mot faces j il sera donc sous-entendu qu'on veut parler également des faces proprement dites et des plans de clivage.
4. Les directions OX, OY, OZ sont ce qu'on appelle les axes du cristal; leur prigine est au point O ; les longueurs AO, BO, CO, ou trois longueurs quelconques qui ont entre elles les mêmes rapports de grandeur, en sont les paramètres ; les nombres entiers h^h^l sont les caractéristiques de la face qui passe par H, K, L : on désigne cette face parla notation symbolique (Jikl). Une caractéristique négative se distingue par le signe — placé au-dessus de la lettre ou du chiflre correspondant.
5. Les caractéristiques A, ft, / qui prennent différentes valeurs entières pourdéterminer la position des différentes faces d'un même cristal^ sont rarement de grands nombres. Quand les axes et les paramètres sont convena-
blement choisis , la plus haute caractéristique ne dépasse pas ordinairement le nombre six.
Pour tous les cristaux d'une même espèce , l'inclinaison mutuelle des axes et les rapports des paramètres ont la même valeur à une température déterminée ; les symboles des faces peuvent d'ailleurs être différents. D'après cela, les angles XOY, YOZ, ZOX que les axes font entre eux, et les rapports de deux des paramètres AO, BO, CO au troisième, sont les cinq éléments qui caractérisent chaque espèce cristalline.
6. On se contentera, pour le moment, de supposer que la loi énoncée (n^ 2) s'applique au cas où l'on a choisi pour axes d'un cristal trois droites parallèles aux intersections d'autant de faces parti entières, et pour paramètres les segments interceptés sur ces droites , à partir de l'origine , par une quatrième face également déterminée. D sera démontré par la suite que si , par un même point, on mène à l'intérieur d'un cristal des plans parallèles à toutes les faces possibles , il suffit qu'un système particulier d'axes et de paramètres déterminé par les intersections de trois de ces plans et par les segments interceptés par un quatrième , satisfasse à la loi du n*^ 2. Pour que cette loi subsiste également si Ton prend pour axes trois intersections choisies arbitrairement, et pour paramètres leurs segments interceptés par une face quelconque.
7. La loi précédemment énoncée peut être mise sous la forme suivante, différente de la première et peut-être moins simple , mais qui présente sous un point de vue moins abstrait la position relative des faces d'un cristal.
Soient OX, OY, OZ {fig» a) les axes d'un cristal; a, t, c ses paramètres.
Qu'on porte sur OX de O en X ;
OA,r=:fl, OAa:;^-^, OA3 = -5 fl , 0Aa=7-^,
dans une direction opposée ,
et dans l'une et l'autre direction,
0Ao= -«=00;
que les points Bi,B i, Bj,B j,..., B;t,B i,...,Bo^Ci, C i, Cj, C j,.-«5 Q5 C i,.'*î Cq, soient déterminés de la même manière au moyen des valeurs de b et de c. Une face quelconque du cristal sera parallèle à un plan qui passe par trois points ainsi déterminés sur chacun des trois axes.
Cet énoncé n'est qu'une transformation du premier; car, si la face (Jikl) rencontre les axes OX, OY, OZ en H, K,L,ona(n°2)
i^ OA £ OB £ OC A OH "" X^ ÔK "" 7 OL '
mais, d'après la notation qu'on vient d'adopter, OkH=ja, 0B*=^^ .OQ=:ic,
les distances se mesurant de O vers X, Y, Z , ou en sens contraire , suivant le signe positif ou négatif des caractéristiques A, ft, /.
Donc
Okk OBjt O C/ OH OK OL '
Donc la face (Jikl) est parallèle au plan qui passe par les points Aa, Bi, Cl (*).
(*) Le plan qui passe par Aa) B^, G/ et intercepte sur chaque
(5) antités proportiomielles aux c erpcDdiculaire à une face {}ikl) fait:
al eu foncliou des caracLéristî<iiics de nmétres.
Y, Z les poinis où les axes OX, OY, ice d'une spUère décrite du pomt O OP une droite pei-pendi cul aire à la station symbolique est (hkl); elle renp et la surface de la sphère en P;
Donc, en substituant les valeurs de HO, KO, LO tirées des équations du n° 2, et en posant AO = a, BO =; b, CO=c,
axe cristallograpliique des segments j, y, ^,est parallèleauplan
qui intercepte, sur ces mêmes axes, des segments //n, A^6, Ihc. Dans le langage de la cristal lographie niolécuiaire , un pareil plan résulte d'un, décroissement intermédiaire sur l'angle solide O d'une /orme primîtiiie prismatique, dont les troîsaxes formeraient les trois arêtes, par Al rangées suivant OX, hl rangées suivant OY, ^/t rangées suivant OZ, de molécules dont les trois dimensions , suivant ces mêmes axes , sont proportionnelles respectivement h a, b, c.
Puisque A, i, l sont toujours des nombres entiers, fl, ht, ih sont aussi des nombres entiers.
La condition des caractéristiques entières n'est donc qu'une traducdon géométiîque de la loi physique des décroissements moléculaires.
Dans tous les problèmes de cristallogi^aphie qui se présenteront par la suite , on rapportera les faces des cristaux à la surface d'une sphère au moyen des rayons normaux à ces faces , et tous les calculs s'effectueront par la trigonométrie sphérique appliquée aux formules déduites des précédentes équations.
9. La sphère à laquelle on rapporte ainsi les faces des cristaux s'appelle la sphère de projection.
L'extrémité d'un rayon normal à une face quelconque est le pôle de cette face. Une face et son pôle se désignent ordinairement par la même lettre et par la même notation symbolique. Les points où les axes percent la sphère sont invariablement désignés par X, Y, Z.
10. Soient {fig. 4) X, Y, Z les points où les axes d'un cristal quelconque percent la sphère de projection; soient a, i, c les paramètres du cristal, ABC le triangle polaire de XYZ.
Les arcs AY, AZ sont égaux à 90 degrés; donc
ces AY = o , CCS AZ = G ; donc
abc
- ces AX = - €05 AY = - ces AZ.
Donc (n** 8) A est le pôle de la face (100); de même, B est le pôle de la face (010), et C de la face (001). H. Soit P le pôle de la face (hkiy, alors (n« 8)
? CCS PX = T COSPY = 7COSPZ.
Lorsque A et P sont situés du même côté du grand cercle BC, PX est plus petit que 90 degrés. Par conséquent, cos PX est positif.
Lorsque A et P sont situés de deux côtés opposés du
(7) même grand cercle , PX est plus grand que 90 degrés,^ cos PX est négatif. Si donc on regarde h comme positif dans le premier cas , il sera négatif dans le second.
Même conclusion pour fc et pour /, qui sont positifs ou négatifs suivant que les points P et B, P et C sont respectivement du même côté des grands cercles CA et AB, ou de côtés opposés.
Lorsque P est situé sur le grand cercle BC , PX = 90**, cos PSr=5: 05 donc A = o. Lorsque P est situé sur CA, cos PY =|0 , et par conséquent ft = o. Lorsque P est situé sur AB, cos PZ = o , par conséquent /= o.
Si Ton tire les diamètres AA', BB', CC, PF, les notalions symboliques de A, B, C, P étant pour A (100), B (010), C (001), P (hkl), celles de A, B', C, F seront
pour A (7oo) , B' (oïo), C (oo'i), F (hkî).
12. X, Y, Z (Jig> 5) sont trois points situés d'une manière quelconque sur la surface de la sphère 5 P, Q , R , trois points pris arbitrairement sur la circonférence d'un grand cercle : on demande la relation qui lie les distances de P, Q, R à chaque point X, Y, Z.
Des triangles sphériques PQX, RQX on tire
cos PX = cos QX cos PQ -h sin QX sin PQ cos PQX , cos RX = cos QX cos RQ -f- sin QX sin RQ cos RQX.
Si l'on ajoute la première équation multipliée par sin QR à la seconde multipliée par sin PQ, et si l'on observe que
cos PQX + cos RQX = o , sin PR = sin (RQ + QP) = sin RQ cos QP + sin QP cos RQ,
on arrive à une équation qui se joindra à deux autres équations analogues, qu'on peut déduire de la première en
(8) écrivant successivement Y et Z à la place de X :
cos PX sin QR H- cos RX sin PQ = cos QX sin PR , cos PY sin QR 4- cos RY sin PQ = cos QY sin PR , cos PZ sin QR -f- cos RZ sin PQ = cos QZ sin PR;
d'où l'on tire, en éliminant successivement, équations considérées deux à deux , sin PQ sin PR,
. ^ Tcos PX cos OY — cos PY cos O
entre ces , sin PQ, sin QR,
-r-î—r^ (cos PX COS QY — cos PY cos QK) sm PQ ^ ^ ^ ^
= . ^^ (cos PX cos RY — cos PY cosRX) smPR ^ ^
= -r-^ (cos QX cos RY — cos QY cos RX ) .
smQR ^ ^ ^ '^
. ^^ (cos PY cosQZ — cos PZ cosQY) sm PQ ^ ^ ^ '
= . ^^ (cos PY cos RZ — cos PZ cos RY) smPR ^
= . ^^ (cos QY cos RZ — cos QZ cos RY).
sinQR ^ ^ X /
. ^^ (cosPZ cos QX — cos PX cosQZ) sm PQ ^ ^ ^ *
= -V— s=r (cos PZ cos RX — cos PX cos RZ) smPR ^ ''
= . ^ ' (cos QZ cos RX — cos QX cos RZ),.
smQR ^ ^ >. /^
Éliminant deux des quantités sin PQ , sin PR , sin QR , entre deux quelconques des équations précédentes, on arrive à l'équation de condition
= cos QX(cos PY cos RZ — cos PZ cos RY) -h cos QY (cos PZ cos RX — cos PX cos RZ ) -f. cos QZ (cos PX cos RY — cos PY cos RX).
