Soit O le pôle de la face (i 1 1), on a (n

cos»OX = 4, cos»OY = 4> cos»OZ = 4, 6 6 6

donc (n° 43)

OX = OY = OZ, d'un autre côté XY = YZ = ZX = 90°, donc les angles YOZ, ZOX, XOY sont tous égaux à 120°, et les arcs OX, OY, OZ partagent en deux parties égales les angjes droits YXZ , ZYX , XYZ.

En considérant le triangle POX , on a

coUng PX sin XO = cos XO cos OXP -h sin OXP cotang POX ;

si , à la place de X , on écrit successivement Y et Z , et qu'aux lignes trigonométriques on substitue des valeurs

(37) proportionnelles en fonction de h^ kyl^ on obtient

46. De la forme <le3 expressions établies n^ 43, il ré-t suite que la distf^nce des pôles (AA/), {pqr) est égale à la distance de deux pôles quelconques des formes |AW|, l^çrl , pourvu que dans les symbples de ces pôles les si-» gnes et Vordre des caractéristiques /i, fc, /soient les mêmes que les signes et Tordre des caractéristiques py q^ r.

47. Des formules établies n^ 42 il résulte que si les symboles de deux pôles de la forme | hkl\ ne diffèrent que par le signe de A, ces deux pôles seront à la même distance de (oio) et dç (opi). Par conséquent^ l'arc de grand cercle. qui les réunit se trouve coupé à angles droits e^ en deux parties égales par le cercle de zone (oio, ooi)^ par conséquent les pôles de | hkl^ sont distribués sur la sphère de projection symétriquement au cercle de zone (oio, ooi). On ferait voir de même que les pôles de { hJil] sont distribués sur la sphère de projection symétriquement à l'un quelconque des l;rois cercles de zones qu'on

peut mener par les pôles de { ioo}.

48. De la forme des expressions établies n^ 43, il ré-i suite que si les symboles de deux'pôles de la forme | AA/| ne diffèrent que par l'arrangement de la seconde et de la, troisième caractéristique , ces dçux pôles sont en mémq

temps à des distances égales de (m), (ï")* Par con-^ séquent, l'arc de grand cercle qui réunit ces deux pôles se trouve coupé à angles droits et partagé par moitié par

le cercle de zone (iii^iii)^ par conséquent, les pôles de ihkl\ sont distribués sur la sphère de projection symétriquement au cercle de zone (iii^iii). On ferait voir de même que les pôles de {hhl^ sont distribués sur la sphère de projection , symétriquement à Fun quelconque des six cercles de zones qu'on peut faire passer par deux pôles quelconques de 1 1 1 1 } .

49. Si Ton fait passer tous les cercles de zones possibles par les pôles de {100} et par ceux de 1 1 1 1 1 , ces cercles partageront la surface de la sphère de projection en vingthuit triangles rectangles. Les pôles de { hkl^ sont distribués symétriquement à un côté quelconque deTun quelconque de: ces triangles*, par conséquent l'arrangement des pôles est toujours sy;métrique dans deux triangles adjacents, et toujours semblable dans deux triangles alternatifs.

'50. Si l'on conçoit des cercles de zones menés par deux pèles quèlcoilques de 1 100 } , et par deux pôles quelconques dé {i I t'I , l'un des systèmes de cercles partage d'une manière symétrique les triangles formés par l'autre. D'après cela, les {iôles de x (hhl) sont distribués sur la surface de la sphère symétriquement aux cercles de zones qui passent par deux pôles dé 1 1 1 1 } , et les pôles de tt | hhl\ sont distribués sur la même surface , symétriquement aux cercles de zones qui passent par deux pôles de 1 100 } .

'51. Si l'on examine la position des pôles de deux formes hémiédriques, Tune et l'autre à faces inclinées ou parallèles, et dérivées de la même forme holoédrique, mais l'une directe etl'autre inverse , on peut se convaincre que ces deux formes sont identiques sous tous les rapports , et que la position seule fait la différence : l'une d'elles prendrait la position de l'autre en tournant d'un angle droit autour d'un des axes cristallographiques. Les combinaisons d'une forme holoédrique avec une forme

hémiëdrique , directe ou inverse, ne difièrent de même que par la position \ mais quand deux formes hémiédriques à faces inclinées, ou deux formes hémiédriques à faces parallèles, sont combinées entre elles, leurs pôles respectifs se trouvent, ou dans les mêmes triangles, ou dans des triangles différents, suivant que les deux formes combinées portent Tune et Fautre le même nom ou un nom contraire*. La combinaison de deux formes hémiédriques directes ou celle de deux formes bémiédriques inverses est donc essentiellement différente de la com* binaison des mêmes formes bémiédriques , dont Tune serait directe, Fautre inverse.

52. Si l'on se donne la distance angulaire des pôles de deux faces qui appartiennent soit à la forme i hko \ , soit à la forme | hhk \ , et qu'on exprime le cosinus de cette distance angulaire eu fonction des caractéristiques des faces , on arrive à une équation d'où Ton peut tirer le rapport des caractéristiques.

53. Si Ton se donne les distances angulaires d'un pôle quelconque de la forme |/iA7| , avec deux autres pôles de la même forme cboisis arbitrairement, et qu'on exprime te cosinus de ces distances angulaires en fonction des caractéristiques des faces , on arrive à deux équations , desquelles on peut tirer les rapports de deux caractéristiques à la troisième.

54. Déterminer la figure géométrique et les angles de la figure | hkl\ , quand on donne à /i, ft, / certaines va-. leurs' particid ières.

On trouve l'angle compris entre les normales de deux faces quelconques , autrement dit la distance angulaire de leurs pôles , en substituant les caractéristiques des faces à la place des lettres /i, A, /•,/;, ^, r, dans les formules déjà trouvées (n"" 53). La lettre placée sur l'arête

qui résulte de rîiitersection de deux faces , dans les figures qui accoropagnent la description de chaque forme particulière, sert à désigner Tangle compris entre les normales à ces faces. La même lettre est placée sur totttes les arêtes qui servent de sommets à des angles dièdres égaux. Les positions relatives des pôles qui appartiennent aux différentes formes sont représentées par les fi g. 9 et 10, et par \ai fig' Î7, qui est la projection gnomonique de i-un des octants découpés sur la sphère de projection par lés trois cercles de zones qui passent par deux pôles de la forme |ioo|.

Le nombre de faces de chaque forme holoédrique a déjà été déterminé (n®38).