Déterminer la position d'un pôle
Soienl'ÇJîg. 89) X, Y, Z le» points où les axes cristallographiques percent la sphère de projection 5 a, a^ c les paramètres du cristal-, P le pôle (Kkl).
Puisque les axes sont rectangulaires, les trois distances angidaires XY, YZ, ZX sont égales à 90***, par conséquent
cos XY =: Q, ces YZ = G, ços ZX = G ;
X, Y, Z sont donc les pôles de (100), (010), (001), et les. angles dièdres en X, Y, Z sont droits. Dont;
cos PX = sin PY cos PYX = sin PZ cos PZX,
cos PY = sin PZ cos PZY = sinPX cos PXY,
cosPZ = sinPXcosPXZ = sinPYcosPYZ;
cotangPX = tangPZY cos PXY = tangPYZ cosPXZ,
cotang PY = tang PXZ cos PYZ = tang PZX cos PYX ^
cotaDg PZ = taDg PYX cos PZX . = tang PXY cos PZY .
Mais
7 cos PX = Y cos PY = ^ cos PZ i
(5i)) diaprés cela
«wigPXY = ^, tangPYX = ^, tangPZX = ^
cotang PX = - Gos PXT = -|î cos PXZ,
k la
h hc
cotmg PY = - C08 PTX = — cos PTZ, h la
™ /fl ^^^ la ^^^ cotang PZ = T-cos PZT = ,- cos PZT,
ne kc
tang»PZ = - — ^, .
86. Les pôles de { iio| partagent par moitié les arcs qui réonissent deux pôles adjacents de | loo | *, car, si N est un pAJe de I iioj , et X, Y les pôles adjacents de | ioo|, on trouve (n** 85)
cotang NX = i , cotang NY = i .
Les arcs NX, NY sont donc égaux l'un et Tautrc à 45°; le point N est donc milieu de XY.
87. De la forme des expressions précédemment établies (n® 85), il résulte que les distances des pôles de .| Afc/jau plus rapproché des pôles de {ooi| sont toutes égales, et que les angles dont les sommets sont à ces pôles et qui sont sous-tendus par des arcs de cercle menés d'un pôle quelconque de | hkl^ au pôle le plus rapproché de { lOo | sont tous égaux.
D'après cela, il est facile de voir que les pôles de la forme { A/ii/| sont distribués deux à deux sur la surface de la sphère de projection symétriquement à chaque cercle
de zoue qu'on peut mener par deux pôles quelconques des trois formes | ooi } , | ioq | , 1 1 lo | .
88. Si la surface de la sphère de projection est partagée en seize triangles parles cinq cercles de zones qui passent par les pôles des deux formes |ooi|, |iooi, jiioj, Farrangement des pôles de la forme | Afc/| sera symétrique par rapport à un côté quelconque de Tun quelconque de ces triangles. L'arrangement des pôles de { hkl } est donc toujours symétrique dans deux trianglçç. adjacents et toujours semblable dans deux triangles alternatifs.
89. Les pôles de la forme h{ /iA7l $pnt distribués sur la surface de la sphère de projection symétriquement aux deux cercles de zones qui passent par les pôles de | ooi | et par ceux de { iio} .
Les pôles de -/ | A/c/| sont distribués sur la même surface symétriquement aux deux cercles de zones qui passent par les pôles de {ooi | et par les pôles de | ioo| . L'arrangement des pôles de r | hkl\ est symétrique au cercle de zone qui passe par les pôles de 1 100} ; cet arrangement est semblable dans des triangles situés tous deux du même côté de ce cercle de zone, et symétrique dans des triangles situés de côtés opposés.
90. Deux formes directe et inVerse ne diflèrent que par leur situation* Si la sphère de projection faisait une demi-révolution autour de la droite qui joint deux pôles opposés de { 100 } , les pôles d'une forme directe et ceux d'une forme inverse échangeraient mutuellement leur position, qu'il s'agisse soit des formes hémiédriques à faces parallèles, soit des formes hémiédriques à faces inclinées de la première espèce. Quant aux formes hémiédriques à faces inclinées de la seconde espèce, c'est autour de la droite qui joint deux pôles opposés de {110} que lademi-
( 6i ) révolution devrait s'opérer pour que rechange réciproque de position ée fit entre les pôles.
91. Soit, dans la forme jA^oj la distance angulaire de deux pôles représentée par K, F ou M, selon que les symboles de ces pôles diffèrent entre eux seulement par le signe de &, par Tordredes caractéristiques A,^, ou en même temps par Tordre des caractéAstiques A, ^ et par le signe de l'une d'elles 5 on a ^
tang-K=^, F = 90»— K, M = go*'.
92. Soient, danslaforme { Ao/} , Lia distance entre deux pôles qui ne diffèrent que par le signe de /, F la distance de deux pôles qui ne diffèrent que par l'arrangement de hj o; on a
-L=-7— > cosF=sm*- 7. ne 2
93. Soient, danslaforme { AA/| ,L,Klesdistances de deux pôles dont les symboles ne diffèrent que par les signes de / ou d'une des caractéristiques A: on a
tang - L = -r- ces 45°» ces K = sin' -. «-•
94. Soient enfin les distances entre deux pôles de la forme { hkl} représentées par H, K,L, suivant que les symboles de ces pôles diffèrent entre eux par les signes de A, i, /. Soit F la distance de deux pôles dans les symboles desquels A et ^ occupent une place différente , quand d'ailleurs les signes des première, deuxième et troisième caractéristiques de l'un de ces symboles sont les mêmes que les signes des première, seconde et troisième caractéristiques de l'autre. Soit G la distance de deux pôles dans les symboles desquels A, k occupent une place différente , quand d'ailleurs les signes des deux premières caractéris-
tiques dans run de ces symboles sont contraires aux signes desdeux premières caractéristiques dans l'autre , le signe delà troisième caractéristique / étant toujours le même dans les deux symboles.Soit enfin Mla distance angulaire de deux pôles dont les symboles diflèrent par la place qu'occupent les caractéristiques A et i et seulement par le signe de l'une d'elles. Alors 90°-^ i H, 90^— ^ K, 90°— 'j L sont les dislancesd'unpôl^quelconquede [hkl^ aux deux pôles les plus rapprochés de 1 100 1 et au pôle le plus rapproché de {001}.
Les arcs de grands cercles F et G se trouvent compris entre les côtés de deux angles dièdres dont le sommet est au pôle (001) et qui sont respectivement égaux à 90° — ay, 90**+ 2y. L'angle dièdre (f qui a son sommet au pôle (001) comprend lui-même entre ses côtés les arcs de grands cercles qui mesurent la distance d'un pôle quelconque de I hkl^ au pôle le plus rapproché de 1 100 1 . L'arc de grand cercle M est compris entre les côtés d'un angle dièdre de 90** qui a son sommet au pôle (001). D'après cela (n** 85)
tang ? = ^, tang |L =z= — ces (p,
sin -jK = cos-j L 5C sin «p, sin-j H =r cos-J-L cos «p, sin I G = cos j L sin (45° -H «p), *
sin -i- F = cos ~L sin (45° H- (p), cos M = sin^-jL.
9S. Si l'on se donne la distance angulaire de deux pôles de l'une des formes |AAo|, |/2o/|, |AA/} (*), la
(*) Le rapport des paramètres du cristal étant d'ailleurs connu.
distance des deux pôles ou son supplément i^eprésentera un des arcs désignés par F , K , L , et les formules précédemment établies (n^' 91 à 93), permettent de déterminer le rapport des caractéristiques.
96. Si l'on se donne la distance d'un pôle quelconque de la forme { hkl^ , à deux autres pôles de la même forme , qui ne sont pas situés sur le même cercle de zone que le premier, les distances angulaires données ou leurs suppléments représentent nécessairement deux des arcs H, K, L , F , G , M. Au moyen de ces données , on peut calculer f et L , et par conséquent les formules données cidessus (n** 94j permettent de déterminer le rapport des caractéristiques.
