CHAPITRE IX

DES GONIOMÈTRES, etC.

264. Le goniomètre de Carangeau se compose de deux petites règles de métal {fig» 1 29) réunies par un axe sur lequel elles tournent à frottement doux. Pour mesurer les angles des cristaux , on appuie ces règles sur deux faces perpendiculairement à Tarète. Ensuite, sans altérer leur position respective, on les applique sur un cercle divisé {fie' ^^^) ^^ faisant coïncider avec le centre le sommet de Tangle qu'elles forment entre elles. L'arc compris entre les deux règles mesure Finclinaison des faces ou le supplément de la distance angulaire de leurs pôles. Il est évident que cet instrument ne peut donner de résultats précis.

265. Le goniomètre à réflexion deWoUaston est représenté (^g'.iSi); un cercle gradué L, dont la division peut donner les minutes au moyen du vernier N, est fixé sur un axe creux, qu'on peut tourner par la tète ronde M. Un second axe CS traverse l'axe creux du cercle L, et peut, à volonté, être entraîné parla rotation du cercle, ou se mouvoir d'une manière indépendahte, au moyen de la tète S. Ce second axe porte un bras recourbé CF.

La pièce FG est réunie à CF par une charnière qui lui permet de tourner autour d'un axe perpendiculaire àCS,

et qui rencontrerait le prolongement de cette ligne 5 elle porte en outre en G un collier que traverse une broche HK.Cette broche peut tourner sur elle-même, et en même temps glisser dans le sens de sa longueur, tout en demeurant perpendiculaire à l'axe du mouvement possible de FG, et en rencontrant, au même point que ce dernier, la ligne se prolongée. On fixe le cristal au moyen d'un mastic mou sur une lame mince de métal montée en K dans une fente*

266. Manière de mesurer les angles des cristaux. Soient p^q deux faces d'un cristal, {pq) l'anglecompris entre deux perpendiculaires menées à ces faces d'un point intérieur au cristal *, (^pq) est , en d'autres termes, la distance angulaireîdes pôles de ^ et de ^. Rendons l'arête du cristal parallèle à l'axe de l'instrument, et rapprochons-la autant que possible de cet axe, au moyen du mouvement de charnière de FG, du mouvement de rotation et du glissement de HK^ établissons ensuite le cercle solidement sur une table.

Soient A, 6 {fig* i32) deux signaux situés dans un plan perpendiculaire à l'axe de l'instrument, et qui coupe enC l'intersection commune des faces p^ q\ on tournera le cercle jusqu'à ce que Timage du signal A, reçu par réflexion sur la face p^ coïncide avec celle du signal B vue directement^ puis on lira l'arc marqué par le vernier.On tournera de nouveau le cercle jusqu'à ce que l'image du signal A , vue par réflexion sur q^ coïncide encore avec celle du signal B vue directement, et de nouveau on lira l'arc marqué par le vernier. La différence de ces arcs mesure (yt?<jr), et , par conséquent , le supplément de l'angle du cristal, suivant la définition généralement reçue de l'angle compris entre deux plans qui limitent un solide.

En effet, si l'on tire, dans le plan de l'angle ACB, la ligne EC qui partage cet angle en deux parties égales , et la ligne CD perpendiculaire à la première^ au moment de la

première observation , la normale à la face p coïncidera avec CD \ au moment de la seconde observation , la normale à la face q coïncidera avec CD ; le cristal , et par conséquent le cercle auquel il est invariablement fixé , a donc, entre la première et la seconde observation , tourné de r angle (^pcj) compris entre les normales aux faces.

L'œil de l'observateur doit être placé à un ou deux pouces du cristal^ il aperçoit alors distinctement l'image de A réfléchie sur l'une ou l'autre face, sans voir le'cristal luimême, n est essentiel que le signal B et l'image du signal A s'aperçoivent sans confusion •, quand A et B ne se trouvent pas à la portée de la vue distincte , il faut armer l'œil d'une Ibntille , ou d'une petite lunette , qui grossisse deux ou trois fois, et qui permette d'apercevoir nettement les signaux.

267. Si une face r appartient à la même zone que p et q^ elle se trouvera parallèle à l'axe du cercle^ et, par conséquent, il arrivera un moment, pendant sa révolution, où l'image du signal A , vue par réflexion sur cette face , coimeidera avec le signal B vu directement.

Si donc on veut trouver les faces qui font partie de la zone à laquelle appartiennent deux faces déterminées , il faut ajuster le cristal comme pour mesurer l'angle compris entre celles-ci ; et ensuite examiner quelles sont les autres faces qui , pendant la révolution du cercle, permettent à l'œil de superposer l'image réfléchie du signal A sur l'image directe du signal B.

268. Afin de rendre perpendiculaire à l'axe du cercle le {Jian ABC , qui passe par les deux signaux et par un point de l'arête du cristal •, on tournera le pied de l'instrument, où l'on déplacera A, jusqu'à ce que l'image deA, vue par réflexion sur le plan du limbe, ou sur tout autre surface brillante parallèle à ce plan, coïncide avec un point A' aperçu directement. Les points A et A' doivent être

tous deux placés sur une droite parallèle à Taxe du cercle, et la distance qui les sépare doit être double de la distance du point C au plan du limbe ou à la surface réfléchissante. On fixera ensuite une glace à faces parallèles à la place du cristal , on l'ajustera jusqu'à ce que les images de A réflécbies sur Time ou sur l'autre surface viennent, pendant la révolution du cercle, se superposer exactement sur les mêmes objets ^ puis on établira le signal inférieur B précisément sur le cbemin parcouru par ces images réfléchies. Le plan ABC une fois perpendiculaire à l'axe de l'instrument, on sera sur que l'arête commune aux faces p et q est parallèle à cet axe , quand la rotation de la tête ronde S aura pour effet de faire passer sur B l'image réfléchie de A. On facilite l'ajustement de l'arête en collant le cristal sur la lame K, de manière qu'une des deux faces, /^par exemple, soit presque parallèle à cette lame, qu'on fixe ensuite dans la fente ménagée à l'extrémité de HK,de manière que l'arête soit presque perpendiculaire à la broche HK, et par conséquent HK à peuprès perpendiculaire àCS. En tournant HK autour de son axe , on fait en sorte que l'image de A réfléchie sur p puisse se superposer à B; et en tournant FG autour de sa charnière en F, on peut faire en sorte que l'image de A réfléchie sur q puisse se superposer à B. Comme Ja dernière rectification peut avoir dérangé la première , il est nécessaire de répéter les épreuves.

269. Les distances du cristal aux deux signaux doivent être à peu près égales, et ne peuvent être moindres que deux à trois mètres. Quand on observe le jour, on peut prendre pour signal supérieur une barre noire étroite, placée vers le haut d'une fenêtre et parallèle à l'axe du cercle , et pour signal inférieur une ligne tracée en blanc sur un fond noir, et parallèle à la première.

Dans certains cas il y a avantage à prendre pour signal supérieur l'image du Soleil produite par une lentille d'un

court foyer, ou la lumière du cîel qui passe par un petit trou ouvert dans un écran.

Quand on observe la nuit, on emploie avec succès des fentes étroites pratiquées dans des écrans. Ces fentes sont éclairées par la flamme d'une bougie , l'une directement, l'autre au travers d'une feuille de papier interposée. La première sert de signal supérieur, et l'autre de signal inférieur (*).

270. Quand les points où la réflexion s'opère sur chaque face ne sont pas à la mén^e distance de Taxe du cercle,

(*) Enfin le moyen suivant paraît préférable à tous les autres.

Lçs rayons du Soleil, réfléchis par un miroir, ou mieux par un héliostat, au travers d'une ouverture circulaire à laquelle on donne depuis un quart de millimètre jusqu'à trente millimètres de diamètre, selon que les faces sont plus ou moins réfléchissantes , servent de signal lumineux. Pour signal moins brillant , on emploie une ligne horizontale ; mais, au lieu de la regarder directement, il est plus commode de viser à son image réfléchie sur un miroir plan de verre noir convenablement disposé.

Les signaux A et B sont établis à cinq ou six pouces de distance verticale , et, si l'on illumine directement l'ouverture A au moyen des rayons solaires, on ne laisse parvenir à la fente B que la clarté diffuse du ciel , ou bien l'on amortit la lumière directe en interposant une feuille de papier derrière la fente.

On observe l'ouverture A réfléchie sur les faces du cristal, en même temps que la fente B réfléchie sur le miroir, qu'on incline d'environ 4o° avec l'horizon; de sorte que l'image de B fait l'effet d'un signal très-écarté du premier, qu'on verrait directement derrière le plan du miroir.

Quand le miroir est adapté au pied même du goniomètre, il n'est plus nécessaire que l'instrument soit fixé sur une table il'une manière invariable.

(^Note communiquée par l'auteur^)

la révolution du limbe , entre la première et la seconde observation, difiëre un peu de Tangle des normales.

Soient A, B {fig* i33) les deux signaux^ PQ, PE les intersections du plan perpendiculaire à l'axe du cercle qui passe par A et par B avec les faces p etq^ quand elles occupent successivement la position où l'image réfléchie de A se superpose à l'image directe de B. Soient P, Q les points où la réflexion s'opère ] (jyq) l'angle compris entre les normales aux facesy? et ^ ;¥ l'angle dont le limbe a tourné entre la première et la seconde observation (cet angle ne peut surpasser 1 80°). Si PEQ = E, (/?^)=Vrî: E^ le signe inférieur correspond au cas où l'on a tourné le cercle dans le sens PQE5 le signe supérieur, au cas où il a tourné dans le sens QPE.

Soient AP, BQ prolongés jusqu'au point de rencontre D,

2PEQ = 2PED -h 2QED

= 2 (EQB — EDB) + 2 (EPA — EDA)

=: AOB -h BPA — 2 ADB

= AOB — ADB -+- BPA — ADB

== PBQ + PAQ,

donc PEQ est égal à la demi-somme de PBQ et de PAQ. Si le point P ou le point Q tombait respectivement en dedans de l'angle AQB ou APB; PEQ serait égal à la demi différence des angles PBQ, PAQ.

271 . Elimination de l'erreur qui provient de l'excentricité des points auxquels la réflexion s'opère.

Soient A et B à égale distance de C, point auquel l'axe du cercle est rencontré par le plan ABC qui lui est perpendiculaire. SoientV l'angle dont le limbe a tourné entre la première et la seconde observation, quand te cristal est à gauche du limbe ^ E Terreur due à l'excentricité 5 P, Q

lespointsoùla réflexion s'opère. Qu'on tourne Tinstrument dans un azimut tel que le cristal se trouve à la droite du limbe, etqu'on répète l'observation. Soient V l'angle dont le limbe -n tourné entre la première et la seconde observation, faites dans cette position; E' l'erreurdue à l'excentricité ; F, Q le^ points où la réflexion s'est opérée. PQ, FQ' seront des lignes presque égales et également inclinées à EC, mais dans une direction opposée; par conséquepl

PAQ :^ FBQ'f PBQ = P'AQ',

et par conséquent E, E' sont des quantités presque égales. Or maintenant , dans chaque position de l'instrument, on a tourné le limbe dans un sens contraire entre la première et la seconde observation ; E , E' ont donc des signes différents; les angles V, V sont donc l'un plus grand, l'autre plus petit que (pq) ; par conséquent , si (pq) = V dz E, (pq) =V' qp E'. Puis donc que les quantités E, E' sont à peu près égales , on a prescpie exactement

Lorsqu'une des faces réfléchissantes est grande , il faut la noircir, en réservant la place où l'on veut que la réflexion s'opère. Si l'on négligeait cette précaution , on ne pourrait plus supposer que les lignes PQ, FQ' sont égales et également inclinées à CE.

Toute erreur qui proviendrait d'un défaut de centrage du limbe s'éliminerait en répétant chaque lecture dans deux positions du cercle, telles que le zéro du vernier fût^ dans les deux cas, à i8o° de distance.

Quand les distances AC, BC sont égales, on a approximativement

AC = EC cos|ACB;

( i69 ) par coDséquent, si PQ fait Tangle 6 avec EC,

AC sin PEQ = PQ cos | ACB sin 0.

272. Mitscherlich a découvert que, dans quelques cristaux qui n^appartieunent pas au système octaëdrîque , les angles compris entre certaines faces varient légèrement avec la température. Ainsi les plans de clivage du spath calcaire qui, à la température ordinaire, comprennent entre eux des angles de io5^5', se rapprochent de Fangle droit de 8', 5 quand la température du cristal augmente de loo® centigr.Une augmentation de température dilate en eflet linéairement une normale à la face(i 1 1) de 0,00286, et contracte linéairement une ligne parallèle à la face (m) de o,ooo56.

La distance des pôles m , m d'un cristal d'aragonite {fig'^A) diminue de 2', 8? et la distance des pôles A:, t'augmente de 5',55parun accroissement de température de 100" centigr.Pour un cristal de gypse, qui appartient au système prismatique oblique les changements de température font varier l'angle compris entre les deux axes cristallographie ques perpendiculaires au troisième, en même temps que le rapport des paramètres,

273. Trouver la valeur des angles plans des cristaux. Soient la face yt? qui rencontre les faces 9, r, et P, Q, R

les pôles de ces faces ; les arêtes d'intersection de p avec <jr, r sont perpendiculaires aux plans des grands cercles PQ, PR; par conséquent l'angle plan compris entre les arêtes d'intersection de p avec y, r est le supplément de l'angle PQR.

Les longueurs des arêtes ne sont soumises à aucune loi connue.

274. Le système auquel appartient un cristal quelconque se détermine surtout eu observant l'espèce de symé-

( i7« ) trie qiii domine dans T arrangement des faces. Quand le cristal est transparent , ses propriétés optiques peuvent aider à découvrir* son système cristallin.

Haûy avait avancé quç les. cristaux qui appartiennent au système octaédrique ne possèdent pas la double réfrac-r tion; David Brewstçr découvrit : que ceux qui appartiennent au système pyramidal n'ont qu'un axe optique parallèle k Taxe cristallographique OZ , perpendiculaire lui-même aux deux autres axes OY, OX correspondants aux paramètres égaux^ que ceux qui appartiennent au systèmç rhomboédrique n'ont qu'un axe optique, également incliné aux axes cristallographiques ^ et qu'enfin les cristaux qui app^^^tie^nent aux trois autres systèmes ont deux axes optiques.

Dans les cristaux qui appartiennent au système prismatique , les axes optiques se trouvent toujours compris dans le plan de deux axes cristallographiques; dans les cristaux qui appartiennent au système prismatique oblique , les axes optiques sont, ou clans le plan des axes cristallographiques OZ,OX, tous deux perpendiculaires au troisième OY, ou dî^ns un plau qui passe par OY; ils font? dans ce cas, des angles égaux avec OY.

Ainsi: dans l'idocrase, l'axe d'optique est perpendiculaire à la face/; (fig^ 5i); dans le spath calcaire, l'axe optique est perpendiculaire à la face o {fig» 68); dans l'apatite , il est perpendiculaire à la face p (fig* 78) : dans le quartz , il est parallèle à l'intersection des faces r. Si im cristal de quartz présente des faces d'une forme hémiédrique située dans une zone de laquelle font partie deux faces adjacentes p,z, ce cristal se trouvera dextrogyre ou lévogyre, suivant que les zones sont directes (comme dans \9ifig. 75) ou inverses. (Transact, of the Cambridge philosophical Society, vol. I, p. 43; vol. IV, p. 79.)

L'aragonite a deux axes optiques perpendiculaires à^

l'axe de la zone kk (Jig*64)^ et qui font des angles de g^y^ avec Taxe de la zone mm'. Dans le sulfate de magnésie, les axes optiques sont perpendiculaires à Taxe de la zone mm' (j^g*. 86 ) et font des angles de 25**5o' avec une normale à la facee. Dans la topaze de Saxe , les axes optiques font des angles de 3 1^9' avec une normale à la face p\ leur plan passe par cette normale et par l'axe de la zone nn (Jig- 87). Dans Fépidote , les axes optiques sont perpendiculaires à Taxe de la zone mt {fig. 98) : l'un fait un angle de 5**i i' avec la normale à r du côté de la normale à /; l'autre fait un angle de 18° 5' avec la normale à m, du côté de la normale à f.Dans le feldspath, les axes optiques sont parallèles à la face p {fig* 95), et font des angles d'environ 58** avec une normale à la face m.Daps l'acide oxalique, les axes optiques sont perpendiculaires à l'axe delà zoneyt?e {fig* 96), et font des angles de 56** avec une normale à^. L'axinite et le sulfate de cuivre ont l'un et l'autre deux axes optiques, dont la position, relativement aux faces de cristallisation , n'est pas bien connue.

275. La description géométrique d'un cristal peut être considérée comme complète, lorsqu'on connaît l'inclinaison réciproque de ses axes, les rapports de ses paramètres, les symboles des formes simples dont il présente la combinaison, et les symboles des faces de clivage.

A l'inclinaison réciproque des axes, et aux rapports des paramètres, on peut substituer certains angles qui permettent de calculer facilement la position des faces et les angles qu'elles «Comprennent entre elles. Dans le système pyramidal, la distance du pôle (001) au pôle (m)? ou bien au pôle (loi), peut suppléer au rapport des paramètres. Dans le système rhomboédrique, la distance des pôles (100), (m) peut remplacer l'inclinaison réciproque des axes. Dans le système prismatique , on peut se donner les

distances du pôle (m) aux pôles de deux des trois faces (loo), (oio), (ooi). Dans le système prismatique oblique, la distancedes pôles (i i i),(oio), et les inclinaisons de l'arc de grand cercle, qui mesure cette distance, sur les cercles de zones qui passent par le pôle (oio) et par les pôles (ooi), (loo), peut remplacer Tinclinaison réciproque des axes OZ , OX et le rapport des paramètres.

Dans le système prismatique oblique non symétrique , les distances réciproques de deux des trois pôles (loo), (oio), (ooi) entre eux , et du pôle (m) avec deux des mêmes pôles, peuvent suffire, au lieu de l'inclinaison réciproque des axes et du rapport des paramètres.

276. On a prouvé (n° 23) que tout pôle dont une caractéristique est plus grande que l'unité est l'intersection de deux cercles de zoz|.e$ qui passent par des pôles dont les caractéristiques sont plus simples que celles du premier. Le tableau suivant fait voir que la position d'un pôle quel-' conque , dont la plus grande caractéristique ne surpasse pas 7, peut être déterminé parles intersections successives de cercles de zones qui passent par les pôles dont les carac-» téristiques sont plus simples , en commençant par les pô-t

les (m), (m), (m), (m).

Qu'on suppose le pôle T déterminé par l'intersection des cercles de zones PQ, RS: la première colonne renferme les caractéristiques de T^ la deuxième et la troisième, les caractéristiques de Pet de Q^ la quatrième et la cinquième, les caractéristiques de R et de S. Si T avait trois caractéristiques numériquement égales à celles qu'on peut trouver dans la table, mais différentes parle signe ou par l'arrangement, on déduirait les symboles correspondants de P, Q, R, S de ceux donnés dans la table, en appliquant les règles établies (n° 20).