TU A I T È

et parallèle kABjtttn sens contraire, dans le même tems qu'il auroit parcouru AB^il est clair que le corps resteroit en repos au point ^. Gar sa vitesse et sa direction aW-point^ est précisément la même, que s'il é toit animé e% ce point par deux puissances égales et parallèles aux puissances suivant-/;/ J? et ^C, et par conséquent égales et contraires aux puissances suivant ^o jgc.

Cela posé , imaginons que le corps A qui décrit la lighe Ag, soit sur un plan KLMHqui puisse glisser librement entre les deux coulisses K L^ IM, parallèles kA C. Qu'on fesse mouvoir ce plan entre les deux coulisses ^ de manière que tous ses points g décrivent des lignes gc égales et parallèles kAC^ dans le même tems que le corps A eût décrit la ligne AC; et qu'en même tems les deux coulisses se meuvent en emportant le plan parallèlement kABj et en sens contraire, avec une vitesse égale à celle que le corps^aurôit eue suivant AB^ il est évident que tous les points^tlu plan décriront uniformément des lignes ga, égales et parallèles à la diagonale ^ Z> du parallélogramme J5 C. Il est de plus évident queïe corps ou point mobile A^ est tîré<îontinueIkment en cet état par quatre puissances contraires et égales deux à deux, et que par conséquent il doit. rester en repos djans l'espace absolu. D où il s'ensuit, que quand le coirps ou point mobile A, est arrivé à un point g du plan, ce point ^ doit^e trouvera la place que le corps occupoit quand il a commencé de se mouvoir. Ce qui ne sauroît être , à moins que la ligne A g ne tombe

DÉDTNAMKIUE. 3j

BUT la diagànBleADf et le point^ mir le pokt JD (io)« Donc, etc.

29. La démonstration qu'cm apporte d* ordinaire du Théorème précédent, consiste à imaginer que le point ut^ se meuve uniformément sur une règle ji B avec la vîtesse qu'il a reçue suivant ^^^ et qu'en même tems la ligne ou règle A Bit meuve suivant A C avec la vîtesse que le corps A ^ reçue suivant A C. On prouve très-bien dans cette supposition , que le point mobile A décrit la diagonale AD. En général la plupart des démonstrations communes de cette proposition sont fondées sur ce qu'on regarde les deux puissances mis^xiiAB tXAC^ comme agissant sur le corps A pendant tout le tems de son mouvement, ce qui n'est pas précisément l'état de la question- Car l'hypothèse est que le corps A tend à se mouvoir au premier instant suivant AB ttACkhi fois , et Toi) demande la direction et la vîtesse qu'il doit avoir en vertu du concours d'action des deux puissances.

(10) Puisque le point nobile A doit jnester en repos dans Tespace absolu , il faut que le mouvement du plan sur lequel on le suppose , l'emporte en sens contraire précisément de la même quantité dont Use seroit ayancésansle mouvement du plan; donc quand il a dédrit une ligne = Agy le point du plan qui étoît €;ii gy au commencement du ■louyement , doit avoir décrit g A et être par conséquent en A \ d'un autre côté ce point a dû décrire une ligne parallèle à la diagonale AD^ donc la ligne ^^ ne peut être que la diagonale même*

Xiks cptW a pris une directipn moyenne AD , les deux tendances suivant AB eiAC n'existent plus; il n'y a plus de réel que sa tendance suivant A D.

J'ai donc cru devoir prévenir cette difficulté, et Êiîre voir que le chemin du corps ^ est le même, soit que les deux pu issances n agissent sur lui que dans le premier instant, soit qu'elles agissent continuelUment toutes deux à la fois sur le corps. Cest à quoi je crois être parvenu dans la démonstration que fai donnée ci-dessus.

3û. Si un corps parcourt ou tend à parcourir une ligne droite ACfJig. \oJ avec une vitesse quelconque > et qu'on prenne un point B par-tout où Ton voudra sur cette ligne A C prolongée ou non , la vitesse A C pourra être regardée comme composée de la vitesse A B et de la vitesise BC. Car A C peut être r^ardée comme la diagonale d'un parallélogramme » dont ABjBC sont les côtés. Donc^ etc.

R E M ut E Ç^ U E.

3i. Quelques lecteurs pourront être surpris de ce que je tire la démonstration d'une proposition si simple en apparence^ d'un cas général beaucoup plus composé; mais on ne peut, ce me semble» démontrer autrement la proposition dont il s'agit ici, qu'en regardant comme un axiome incontestable , que l'effet dç dffnx r^"^^^ ^^^^ jointes est égal à la somme de leurs effets pris séparé-

DE DFNAMiqUE, 39

paS^ssëz évident, ni assez simple, qui/tient d'ailleurs de trop près à la question des forces vives^ et au principe des forces accéléralrices dont nous avons parlé ci-dessius art. 22* Cest la raison qui m'a obligé à éviter re;n faire usage, ayant d'ailleurs pour. but dans ce traité de réduire la mécanique au plus petit noimbre de prin-^ cipes possible , et de-tirer tous ces principes de la seule idée du mouvement, c'est-à-dire de^rpspace parcourt et du tems employé à leparcouriK, sans y faire entrer en aucune façon les puissances et leâ ca^u^es motrices. .

Corollaire ïl.

3 2. Si«n corps est poussé suivant ABetAC [Fig^i t ) par deux puissances accélératrices quelconques, sa direction sera la diagonale d'un parallélogramme feit sur des côtés AB, AC , proportiofm^els aux forces accélé-^' tâCrices suivante 5 et ^ C;et safor*ce accélératrice suivant AD sera à chacune des deux suivant AB et AC^ comme AD esta A B et AC. Car soient Ab et Ac les espaces que le corps A eût parcourus dans lecom*' mencement de son mouvement eri Vertu de chacuhé des' puissances , on aura fart^ 22 J A b: Ac: : AB : A C. Donc les lignes bd, cd, parallèles à AC,AB concourront au point d de la diagonale AD. De même si A ^9 A% y s<^t les espaces parcourus en teras égaux en vertu de ces mêmes puissances, on aura Ab.Afi::

le quarré du tems par A bon par A eau quarré du tems par A fi ou par A x, c'est-à-dire comme Ac est k A xj donc le point de concours J^ des lignes /3 /, xcT , sera encore sur la diagonale A D. Donc si on suppose que le corps A se meuve sur la règle AB au premier îns-i tant, avec la force accélératrice qu'il a suivante il? ^ et que la puissance accélératrice suivant A C, agisse en même-tems sur la règle p^ur la porter de A vers C, le point A décrira la diagonale A d, dans le même tems qu'il auroit décrit AbouAc^^tsa force accélératrice suivant AD, sera à chacune des forces suivant les côtés 9 comme la diagonale à chacun de ces mêmes côtés.

De là on voit comment à une force accélératrice quelconque, on peut en substituer d'autres, eu telnom^ bre qu'on voudra.

Au reste, comme nous avons vu cî-dessus {art. 24) de quelle manière on peut réduire à un mouvement uniforme l'effet instantané d'une puissance quelconque; il est clair que la combinaison des effets de tant de puissances qu'on voudra , et la recherche de l'effet uni* que qui en résulte , se réduit par là fort aisément aux loix du mouvement composé uniforme. ;

Du mouvement en ligne courbé^ et des forcés centrales.

33. Comme un corps tend de lui-même à se n^ouvoîr en ligne droite , il ne peut décrire une ligne courbe » qu'en vertu de l'action d'une puissance qui le détourne

continuellement

continuellement de sa direction naturelle. On peut déduire de Tarticle précédent, les principes du mouvement d'un corps sur une courbe.

. Il est .démontré qu'un arc infiniment petit d'une courbe quelconque, peut être pris pour un arc de cercle, dont le rayon seroit égal au rayon de la développée de cet arc de la courbe. On réduit par ce moyen le mouvement d'un corps sur une courbe quelconque, au mouvement de ce même corps sur un cercle dont le rayon change à chaque instant.

: La puissance qui retient un corps, sur une courbe, est appelée i^dJiïcuWhxemeui force centrale j quand elle est toujours dirigée vers un point fixe; mais nous la nommerons ici^rce centrale tn général^ soit qu'elle tende vers un point fixe ou non. Cette puissance n'est par sa nature «qu'une puissance accélératrice ou retardatrice, dont la direction est différente de celle du corps. On peut, par tout ce qui a été dit ci-dessuç, {art. 24 et 82) réduire à un mouvement uniforme l'effet instantané de cette puissance, en regardant comoie un polygone d'une infinité de côtés la courbe qu'elle fait décrire au corps ; et cet effet est double de celui que la force centrale produiroit dans la courbe considérée exactement comme courbe. Ainsi, supposons qu'un corps décrive un arc de cercle infiniment petit TtDE { Fig. 6) , en vertu d'une puissance, qui au point D le détourne de la ligne droite suivant une direction donnée : si on regarde le cercle comme un polygone, la corde RD sera la ligne

que le corps aura décrite dans Hnstant précédent, et DO égale et en ligne droite avec R D , celle qu'il tend à décrire Tinstant suivant. Donc tiraht OE" parallèle, à la direction de la force centrale enDjOË sera TefFet instantané de cette puissance; au contraire, si on considéroît le cercle comme cercle rigoureux , la tangente D iVseioît la ligne que le corps tendroit à décrire, et NE TefFetde la puissance qui le retiendroit sûr la courbe^

La ligne NE divisée par le quarré du tems eiMplô}^ à la parcourir, est {art. 1 8, 22r êjf 26) Texpression de la force accélératrice en vertti de laquelle le corps décrit la courbe ; or cette ligne NE esrt égal^ au quarré de lâ ligne DNoxi de l'arc DE ou RD, divisé par NQ^ et NQ lest au diamètre du cercle, comme le sinus dé Tangle que fait la forcé centrale avec la courbe, est au sinus total (11) ; de plus, la ligne Z>jB divisée par fe tems employé à fct parcourir, est { art. i5) rexpressîon de là vitesse du corps* Donc dans une courbe quelconque , TefFet de la force centrale est comme lé quarré de la vî^* tesse divisé par le. rayon de la développée, et multiplié par le rapport du sinus total au sinus de Tangle que ùAt cette force avec la courbe.

En général, rélémeat du tems étant supposé oonstan*, la force centrale est représentée par la ligne O E dans i« courbe polygone, et par iVJE dans la-courbe rigoureuse. U faut par conséquent avoir égard à cette différence

(i 1) Car NQ on EQ est le double du sinua de l'angle V £ D.

DE DFNAMIQUE. 48

d^expression dans la comparaison des effets de deux forces centrales; et pour ne pas faire Tun des effets double de ce qull est par rapport à l'autre , il faut considérer les deux courbes, ou toutes deux comme polygones, ou toutes deux comme rigouretises.

Les forces centrales, et en général toutes les forces accélératrices ( si par le mot dejbrce nous n'entendons que les effets) sont entr'elles comme les petits espaces ^u\in corps parcourt dans un même instant en ycrtu de ces forces. On a coutume de comparertoutes ces forces à la force accélératrice constante que nous connoîssons le mieux , je veux dire à la peaanteûr. Si E est l'espace qu'un corps pesant parcourt dans on tems fini T,

— 55 — sera l'espace qu'il parcourra dans le tems dt,

et si Tare DE est supposé parcouru dans le même tems dt, la force centrale sera à la pesanteur , comme

la ligne NS à -^55—, ou çonoune OEz;^zNE

Or soit r ie rayon de !« développée de la courbe en

, N, S le sinus de fangle que fiut la directîqa de la force

centrale avec la courbe t ^ le sinus total ,. e lespace

que le corps parcourroit uniformément dana le tems T

av«c la vtU(S8e< qu'il a en 2)«. icm aura JD £ s: ■ ' ^ ;

OE =; -^ X -4" = ''±^''sr^' ' Donc l'effet instantané de la pesanteur est à celui de la fprce centrale ,

Fij

comme 2 J? à ^^^ ou comme E à t c ^' ^t ainsi

le rapport de ces- deux effets, que la plupart des Géomètres prennent pour celui des causes mêmes, est exprimé en termes finis (*).