AS ^ AT

mettant dans ces équations au lieu des lignes qui y entrent, leurs valeurs analytiques, on parviendra à déterminer V et t) et on verra, si Ton veut en faire le calcul, qu'il n'y a jamais que des équations linéaires à résoudre- En effet, on tirera d abord des deux équations

la valeur de ; comparant ces deux va-

leurs, on fera disparoitre le radical i/ a^ + i*, et on aura une équation , où il n'y aura plus que t d'incoi^nue, et où cette inconnue se trouvera au premier degré :

DE DYNAMIQUE. ^29 on trouvera donc aisément la valeur de t , qui étant

mise dans Tune des deux valeurs de — / . =r

on aura la valeur de ^. . ^s < .

R E M ji E qu S I.

\ y s. Je ne m*étends pas davantage sur la solution de ce problême , et je ne cherche pas même à la simplifier , parce que 1 on en trouve une très-belle solution dans Touvrage de M. 'Mac^Laurin , qui a pour titre A Treatise offiuxions. On peut au reste , par notre prin* cipe , trouver les lois du choc quand une boule en rencontre à la fois t^uit qu'on voudra; problême qui a été résolu par M. Jean BemouUi, mais par le principe de la conservation des forces vives y et seulement pour le cas . où les boules choquées sont égales et disposées semblablement de part et d'autre de la direction de la boule choquante. M. Bouguer a au^i résolu ce problème pour ce dernier cas seulemeht ( Journal des Saçans, Avril 1728) mais sans y employer le principe de la conservation des forces vives. M. Bernoulli dans son Discours sur le 'Mouvement 9 a tiré de la solution qu il a donnée un grand nombre de' belles conséquences sur le mouvement des corps dans les fluides. On y trouve entr'autres plusieurs théorèmes quil na pas démontrés , et dont ) ai donné la démonstration dans mon Traité de Véquilibre et du mouvement des fluides , Liv. IIJ. Chap. I. .. i

33o TRAITE

RsUuiBQUE IL

J. ♦ri^W'vt^*^^ 176. Au reste, quand on fait attention à la nature du ^•XV-ÎÎ?' problême général des corps qui se choquent plusieurs

à la fois, avec des vitesses et des directions données, on peut rencontrer dans le détail plusieurs difficultés qu'il est bon d eclaircir ici, et qui pourront nous donner lieu de faire sur les lois du choc des corps , quelques observations nouvelles.

Supposons, par exemple , qu'une boule A ( Fîg. 62) raûe suivant A L , rencontre à la fois les boules C, D, M , F semblablement situées de part et d'autre de la ligne .^4 L; que les boules F , JE soient en repos, et que les boules C yD , aient parallèlement k A L une vitesse égale à celle du corps A ; il est évident que le corps A n'aura aucune action sur les boules CetD, et que tout se passera de la même manière, que si le corps A ne touchoit que les bouies E , F. Mais si les boules Cy D avoient une vitesse moindre que celle du corps A suivant AL; alors le corps A auroit de Faction sur ces boules, et il paroît d'abord "qu'il doit communiquer du mouvement à toutes les quatre^

Cependant voici une difficulté. Supposons que la vitesse des boules Cet D avant le choc , ne soit que de très-peu moindre que la vitesse du corps A : si elle n'est que très-peu augmentée après le choc , alors , comme les boules A^ C^ D doivent aller de compagnie , la vitesse de la boule A ne sera que très-peu diminuée; de

D E D TN A M I Q U K aSi

plus les boules F, E devant aller aussi de compagnie avec ia boule yf, auront une vitesse qui sera à la vitesse du borps'A après le choc ) comme le cosinus de Tangle B AFhM sinus totale et qui par conséquent sera comme infiniment plus grande que la vîtesse perdue par le corps A. Mais par notre principe , le corps A animé de la vî* tesse qu'il a perdue, doit feire équilibre aux corps £, F, C ,D anrméfe en sens contraire de ce qu'ils ont gagné de vitesses: or la vitesse perdue par le corps A étant ihjp.) très-petite, ne sauroit faire équilibre aux vitesses finies des corps £, F. Donc la vitesse des boules C, D ne sauroit être de très- peu augmentée. Mais d'un autre côté si leur A^îtesse est augmentée d'une quantité qui ne soit pas très*petite, alors elles ne pourront aller de compagnie avec>le corps A , dont la vitesse doit nécessairement être diminuée.

On rencontre une nouvelle difficulté dans Fapplica- -tîon du calcul à ce problême. Car on trouve très-aisément les expressions des vitesses des cinq corps après le choc, quoique suivant la remarque que nous venons de faire, il ne paroisse pas qu'il dpive être facile de les trouver. Cependant k calcul est fondé expressément sur les deux conditions, que les cinq jcorps aillent de compagnie après lé choc, et qu'animés en sens contraire de ce qu'ils ont perdu ou gagné de vitesse , ils se fassent équilibre.

Mais si on examine de quelle manière le calcul satisfait à ces conditions^ on verra que de la façon dont

232 TRA ITÈ

il les exprime , elles ne s*accordent pas toujours avec la nature du problème ^ et peuvent même conduire à une fausse solution, si on ne les applique commQ il fkut à la question proposée. Pour que les corps, par exemple, aillent de compagnie après le choc, il faut que les vitesses de ces corps estimées suivant une perpendiculaire à Feadroit du contact , soient égales entr elles , condition que le calcul exprime. Mais il faut de plus que ces vitesses soient dans le même sens ou dans des sens diffërens , selon l'exigence du cas : condition que le calcul nVxprime point, et ne peut exprimer. De même , pour qu'il, y ait équilibre entre les corps touchans F, C, D, JE et le corps yf, il ne suffit pas que la somme des mouvemens de même part soit = o , ce qui est la seula chose que le calcul exprime ; il faut encore que les mouvemens faisant équilibre , soient dirigés suivant A B , FA, CA,DA,EA.

Comme le calcul ne peot exprimer ces conditions, ce n'est qû'apès avoir trouvé les valeurs et les directions des inconnues, qu'on peut voir si ces conditions sont remplies. Si toutes les conditions ne sont pas remplies, comnae il airive dans le cas dont il s'agit ici , c'est «ne marque qu'il y a de certains corps dans le système qui ne souffrent rien de l'action des autres , et dont \t% mouvemens ne reçoivent aucun changement. Ainsi dans le cas présent, quoique les corps C et Z) aient une vitesse moindre que la vitesse du choquant A^ néanmoins ces corps C et D ne recevront aucun changement, et

tout

DE DYNAMIQUE. 233 tout se passera de la même manière, que^si le corps A choquoit les deux corps jE, F seuls. Car les corps C et D ne peuvent diminuer de vitesse par la rencontre du corps A : ils ne peuvent non plus recevoir de vitesse par 1 action du corps yf; car comme on l'a vu ci-dessus, ces corps ne peuvent aller de compagnie avec le corps A après le choc. Or il n y aura point d afction entre les corps ^, C, jD s'ils ne vont pas de compagnie après le choc En effet» quand il y a action entre deux corps , leurs œouvemens peuvent toujours se réduire à des mouvemens dans le même sens pour chacun, par les-* quels ils ne se nuisent point, et à dés mouvemens contiaires qui se détruisent. Or les mouven>ens contraires ne peuvent se détruire , que les mouvement dans le mêr me'sensné^oient ^aux. Car si lé premier corps alloit plus vite que le second, il n'y auroit entre Tua et l'autre aucune aclioa mutuelle possible.

ReMu^jrque 1 I t. ^

i 77. Il n'en est pas de même^ lorsque tes corps A 9 C, D,E, J^sbnt des corps à ressort. La vitesse du corps A , ne diminue que petit à'petit^t par des^ degrés i nsensibiiesr; aiq^iil ne pe^ mâipy^ les corps C,Z),

et par conséqilet^-ii/^oitrnécessairebent; altérer ieun^> mouvemens. Qe^t pourquoi H ûiqt bien se garder ^powi HxDuV^dahs ce câe^là te» ^tesses après le choc , de so ^rvîr êéliBL rèjgleî qtte wouS avions *d0»fijéei«/Tv>:i ^J ) •>« ^^Getieiréflextoa urfei»* fait feafetipe amrë;! ize&t qufr'

Gg

pour les lois du choc des corps à ressort qui se rencontrent plusieurs à la fois , cette mênae règle peut être souvent très-fautive.

Supposons , par exemple , les cinq corps A . F^ E ^ C, D CFig,,62} à ressort parfait ; il se fait dans l'instant du choc une compression dans chacun de ces corps, telle que le corps choqué reçoit à chaque instant en arrière, suivant chacune des directions F A , C A , D A ^ E A und ^juantité de mouvement infiniment petite^ égale à celle que les corps F^ C, D, E reçoivent en avant :' ces corps s'applatissent ainsi de plus en plus, jusqu'à ce qu'enfin ils puissent aller de compagnie avec des vitesses qui soient égalea dans le même sens; pour lors ils commencent à se rétablir peu à peu , et perdent ou gagnant de nouveau des quantités de mouvement égales à celles qu'ils ont déjà perdues ou* gagnées.

Mais comme nousignorops entiérementsuivantquelle loi le ressort produit Taccélération dansjes corps, nous ne pouvons savoir si les cinq corps cessent d'être comprimées tons cinq au même instant; et si j par exemple , lès corps C et D ne commenceat.pas à se rétablir ,, quoi-^ que les corps '£*> F ne soient pas j encore eotiéiçeçàent Gomprimési »Ea cc«cais , les ci^q. loerps n'îiîQient.ppint def oomjbagnîôlapnèsfîle choc/ ensb^ppbaant lôêm© que| Ift ressqrt Snè ies uétaBlîtîpaè dans leur çreniîer état Or, si» cela étqit^il ne fatfdwit plua povti trouver Je mcHiViementr des citï^corp3^âpflrè5lJieM<âl>fiQiU(S* 8Çf^yk:d^i\^\iaçéi\\Q^^.

dcf Yapfi:x 6h^m^ regaribnit jdîàh©ïîd;ke cijiq. corps fiom-

,me durs; car cette méthode suppose formellement, que les cinq corps ( abstraction faite de leur ressort ) aillent de compagnie fiprès le choc.

Une raison qui donne lieu de douter que la compression finisse dans le même instant pour tous les cinq corps, c'est qu'il y a nécessairement des cas où cela ne j^eut arriver, comme quand les corps C et D sont supposés avoir une vitesse parallèle à ^ i , et qui soit de très-peu moindre que celle du corps A suivant A L.

S*il y a des cas où la compression des .cinq corps puisse finir en même tems, on conçoit qu'en changeant quelques circonstances^ alors la compression pourra ne pas finir dans le même tems; par exemple, si la boule ^rencontre quatre boules C, Z) , Jî, Fj égales et en repos, et que la compression dans ce cas-là finisse au même instant pour toutes les boules ( ce qui ne peut pourtant être prouvé) on conçoit qu'en augmentant la masse des deux boules C et Z) , il pourra se faire que ces deux boules achèvent d'être comprimées avant les deux boules E, FrOU ne le soient qu'après. Il est donc, aKsolu*ment nécessaire de chercher comment il faut s'y prendre dans ce cas, pour avoir les lois du choc. C'est ce qu'on va voir dans l'article suivant.

Du choc cl^s corps d ressort qui se rencontrent plusieurs

à la fois.

178. Je regarde avec plusieurs Auteurs deux corpi à ressort A^ i? qui se choquent , ( Fig. 63 , 64 ) com-

G g ij

me S'ils étoîent réduits à leurs centres de gravité j4 ^ Bj et qu'il y eût un ressort placé entre deux, capable de contraction et de dilatation, ce qui représente la compression et restitution successive des deux corps. De plus comme la conipression se fait en fort peu de teras, j'imagine que ce ressort ne se dilate et ne se contracte pas beaucoup, mais qu'étant très-peu contracté il a une trèsgrande force ; et j exprime cette force par une fonction de la quantité dont le ressort est contracté ou dilaté, c'est-à-dire que je suppose proportionnelle à cette fonction la petite quantité de mouvement que l un des corps^ perd , et que l'autre reçoit à chaque instant : car ces deux quantités de mouvement sont égales (art. t5y\ parce que le ressort tend à se débander également en sens contraires, avec une vît esse qu'on doit regarder comme infinie par rapport à celle des deux corps, sa masse étant infiniment petite par rapport à celles de ces mêmes corps. Cela supposé, si a^ b (Fig. 64) sont les points où sont parvenus les corps A,B ^et qu'on nomme Aa^x, B h , y,ei t le tems écoulé , on aura — A ddx = ^ (x — y). dt^,tiBddy:=:^(p {x — j). dt"" ; d'où l'on tire — A ddx—Bddy y etndt — Adx=Bdy, n étant un nombre constant , qu'on déterminera de la manière suivante ; on supposera que a , b soient les vitesses des corps A,B quand ^ = o ; on aura par conséquent lorsque x y et y = o, -^-^ ^=>ae\dy'^bdt:

donc n ^ Aa-\- B b.

L'équation intégrée donne n t — Axi=^ By, et par conséquent — A ddx = (p {x — JLX^^éJL^ d t^ s si l'on fait x — n t — a .t ~ ^ qjj aura f à cause de d t constant ) ^ ^ . b ddu . ^ ^ ^, ^^ — ^- V.'*''^" = d f\ d a <p u; d'où l'on tire

^y-^r — - ^;f f "' =dt'rdu<pu,et

179. Au reste, si je donne ici cette solution, ce n'est pas qu'elle soit nécessaire pour trouver le mouvement des corps Â, B; cardans cette hypothèse il leur arrivé précisément le même changement, que si la coni^ession et la restitution se faisoient chacune dans un instant : et comme c'est principalement le mouvement aprè^ le .choc qu'on cherche, que d'ailleurs la loi d accélération ou de retardation instantanée est inconnue, il est évident que la solution précédente ne peut jetter aucune lumière sur ce cas particulier; aussi n'est-elle ici que comme une introduction à des cas plus compliqués.

180. Dansla figure 65, imaginons que les corps ^, C, D,Ej jP soient des points unis par des ressorts A C\ AD eio. et cherchons simplement les vîtesses des corps

i38 TRAITÉ

A, F, C, parce que les corps E,D doivent subir précisément les mêmes changemens que les corps I* , C ; supposons Içs corps arrivés en à ^fy.c; menant les perpendiculaires a (p, a X , on aura (if= ofà, cause que les lignes A a , Ff sont très-petites , le ressort A F n'étant que très-peu compressible , comme nous Pavons supposé plus haut. Si on nomme p le cosinus de l'angle B A F, r celui de jB A C ; on aura en faisant A aj X , Ff , yyCcjZi-^Addx — \^ip(p [p ^ — y )+2/'(p(ra; — z)\ dt'' (48); Fd dy^(p (p X — y) dt^ ; Cddz=(p(>x — z) d t^. l\y a un cas où ces équations peuvent être séparées en généVal , c'est celui où (p {px — y) =1 F (p x — y ) ; ç (rx — z) = G (rx — z)(Get Fêtant des constantes ) ; en ce cas-là on peut trouver les valeurs de x , àey et de 2 en /, par la méthode expliquée dans la solution du Problême V ci-dessus , où nous avons enseigné la ^manière de construire des équations semblables. Le rassort cessera de se comprimer entre les corps A , F , lorsque />^/ a; stxdi^dy, et entre les corps A,C, lorsque r d x sera =dz.

i8î. Lorsque le corps A ne choque que deux corps

(^) La quantité dont le ressort A F est comprimé lorsqu'il devient afj estAF — a/z=. A^ + ^F — af; mais afzz^fzr:çF+ Ff^ comme op 1'^ déjsi. remarqué ; 4o|ic la quantité dont le ressort e^i çom* primé, sera-^^ — Ffz=.px — ^. De plus la force ^ (;?a: — ^) dirigée «uivant/a, exerce sut vantai une action exprimée par;5^(par--j-); la même chose doit se dire du ressort A C; donc ^■^Addx:=i etc. -

DE DYNAMIQUE. 239 F, E sembldblement situés de part et d'autre ; ce qui arrive au corps Fdevant également arriver au corps E, ' il n'y a pas plus de diiBculté, que si lecorps A ne cho-. quoit que le seul corps F^. et tout se passe à peu près, comme si la compression et la restitution se faîsoîent en un instant; c'est pourquoi iescaIculsprécédenssontaIor$ fort peu nécessaires. 11$ peuvent n^aninoin s servir à trouver exactement la vitesse du .corps A^ et le chemin du corps F, qui se meut , non suivant la droite Ff^ com me nous, l'avons supposé , et comme on peutlesupposersans erreur, mais sur une très-jielite courbe, . Les équations qu'on ti)6uve~d'abànJ^i en- supposant que F'se meuve suivant F.J', etquç ^f= <pj\ sont — A ddx — -^p ip [px— y }(l i' , et F d dy == ip (^px — y ) ét^:^^où Ton tire, cpaime-dans tart. 178,. la valeur dé x de j- en t. Mais si on nommey o, ( Fig. 56T7j Ônaura de plus Ta forcê^sulvantjro égale

à Ja force, .suivant <?.o itiuitipliée par X4->,ç'çstrà-; dire par ^*- pu par J^ - y -i.- ; — - P; J , (yn appellant if -/^V'^) et' -l'on Jîrëridra-àu lièu'de^ a; ^j/'lâ' quantifié pIuB exSote p'x—y-^ , VL'? . '"p') / parce que-f4 F — a (en négligeant I^s différen trdisifemeé ^^,^ff .^ '^ '-~ ff TT TïïTrst^ ;(49.)-

.-I •,■ iir ■it-j ■!, I -i I ,■„. ■!,:■■ ■',■. ^i'cii^ii. ^iip . ■

remarquera ensuite quç dans la' première des équations précédentes, au lieu de .î/;, double du cosinus de Tan- ^t B uiF^ il faut mettre Iex3ouble du cosinus de Tangle B a /(5o), qu'on trouvera =/? — ^^v\}—f^\ ^

v^ [ 1 — /?* ] ; cela pôsé^ nommant u la distance entre les deux corps , on aura les équations — Add ^ ^

Fd dyszçu. dt* j déplus on a — df a ^ p die. — .f^J LnZlL — dy, et par conséquentr-^</<3?« = p d.d 0^. -n-. d d y t^ d/i f^w^ -.^-^ ff' v . ^^

parce-que tvdHfk un infiniment petit du troisième ordre pVès, comme

ite«t«î^éaelé.voîr;aeplusiy=---?y- =r — 1^ V '^n bégfigeant

lei quantité in^niment petites du troiâiêmfe ordrc^ . '

(5o) Cos. Ba 1 z=:cos, (B A l -^ A l a) ^coi. B Â l ytx:tk, A la '^sin,

BAliïTi.Ala;. mw, cq4* AImzzli pjpuisquexet angle e8tinfi'(Mmi^ntfi|e7;

^ y-"- — —" ^a^Xx' a^Xi

tît; 8În. Bw^/=;V^.i*— p*;et8ia.-af/a;:; - — r— 7 — =; — rrs — X

(5ÎIJ Nou# supputons ici que U fhrce 8uIvantJP*^ourIe coq>&Fe|ii» même qiie-Ia forcfe .suivant a o, parce qu'elles ne di^rent l'une de l'autre

me.d'une a:ij>.^!:'.f^A'L^"''"^"^P^*'tff ^" ^f^fîwr/ nr^rr , f ^ q»^ "^"* "*^- Tons égard ici qu'aux quantités infiniment petites du y^rrmi^r ordre , négligées danslé ^cnôi^r calcul:' '"^' • -^^ -'^ •

Or

DE DTNAMiqUE. 241 • Or par la première tolu tion approchée^ on a une valeur de ^ eni/^ et de plus wie équation séparée entre dtet ^ du, c'est-à-dire, une valeurde^/renttetrfw; et par conséquent une valeur de i/i^ en 1^ et en rf i ; faisant donc les substîaitions convenables, cfesl-4 dire, mettant au lieu

de ;r sa valeur en u dans les termes lIif!^\ztPDl±Étl^

et ' /■ ^ ^^^ — ^ — au lieu de d d x sa valeur

~ ^ ^ ^^ — ^ et au Heu de d x^ sa valeur, qu^on

trottve aisément égale au produit dddt* par une fonction de «, on parviendra k une équation de cette for-

V étant une fonction de u. Or cette équation est întégrabie. ^faintenant u étant connue en^^ ou plutôt i^eni^^ oA aura la v^eur de a; et à» y par iioeniétbqde ^^t- simple. Car la première soiutic^Klbnne d^s ùtt> et la seconde donne dta. duT u.; donc mettanit A u

au lieu de x dans le terme ^* (^"*^y) » ^' ^^'

\ . - iK ^■'"T — : — :• >on

aura — A ddx^sidt* 2 w, et— -y#4?^rt^ jBf +C = f t f d t Su : doù Ton aura >la valetUTiKle as en u. Celle de y sera encore plus fecile à troovet* , puiitqile J^y + D£+G^/4tfdtif^u:

Où aui-a enfin Yéquditïçn F d d s a ±£lL!=V .L x

dt*p{px "^y ) ; et cpoime <v ety sont connues en t, tout le monde voit que^l'intégcatioii est foct simple.

R £ M ui R Q U E.

1 i8a. II résuhe de IVrtitle- précédent » que quand le corps, udf choque deux corps à ressort C, D (Fîg. 65), également situés de part et d autre delà direction ^ jB du corps choquant, les vitesses de ces trois corps après le choc sont, sinon exactement, au moins à peu près les ;gpièo\es, que si la compression et la restitution du ressort se faisoîent dans uni instant. II n'en seroit pas de même, si les boules choquées n'étoient pas semÛablement sî^tuées; de part et d'autre de la boulp chçquante.

En .effet , supposons que la boule dure A mue suivant 'AB (Fîg. 67) rencontre les boules dures et en repos C, D avec une vitesse représentée par A a; supposons •de plus que cette, boule A. ne change <poit)tde^d|i^tk)|n : aprèâ le ehoc , et qud A a soit sa vitesse^ oft aura ( en faî- ^SQûtile» parallélogranîmes A nml^, A^pt^a i, et mt- \fiant les lignes a.a;,.^ 1/ perpendiculaires h AC,A D) (62) Q. Aw(^A» ^^; et D. A.d^A. n p : donc *zX<: npiiC. Ax : D. A d} c'est-à-dire, que comme n*

1^ ^1 > ^ a ^4 ^ 1 «^ |l. . ^— irii4^ Il I , I > Vu 11 ■■ ^ ■■■ > u II II

' (dft)'LWtfiri»ott[^8'deyftiirttIIev de-cenipajgi^ijpiès le choc, le . fy»rps C doit avoir la vitesse A x (^arl. ;i65 ) , puisque le cçips A étaot supposé garder la vitesse A a aura la vitesse A x dans la direction A C; nais en vertu du principe ^ le corps C animé en setis contraire de la vi«tessé A X doi^ £|iTe équilibre a v eorps A animé .de la vitesse 1 Ji qo'il a perdue ; donc , etc. Même raison de la seconde équation.'

DE DYNAMIQUE. 143 est à ^ n , ainsi te cosinus de Tangle*^ A C, multiplié ' par C, ddît ftreàu produit du corps D par le cosinus de î angle BAD^Bonc le produit dn corps C par h sinus defangte £ ^ C, et parsoo cosinus, doit être égal aa produit du çofps D par le sinus de l'angle B AD,et par son cosinus.

Si^efi x^orps ÇetD sont égaux * on aura le procUiit du sinus d'un des angles par son cosinus, égal au produit du sinus de l'autre angle par son cosinus , ce qui ne peotarriver, à moiiw queies angles ne soient complément i'ua de l'autre à 90 degrés, et qu'ainsi l'angle i?^ Cne soit droit. On aura pour lors ^ f : v£ a; ; : i^^: ^ (/, Donc, n on suppose Ut ligne A a infinîmeht petite, onjvoit que duis le cas où.les trois corps A , C^ D sont à ressort, si l'action dès ressorts AC^AD n'est pas comme les li* gnes Ax, A £^, le pointa sera écarté de la ligne droite A a dès le premier Instant, et c^u'aiiisi les lois du choc entré ces trois corps seîront fort différentes de ce qu'e||Q9 serotent , si la cdoapression et UresUtiitJQQsefaispiejntea un instant. ■ ■ , \ .■ . ■ i

1 83. Soit en général AB{ Fig. 68 ) la direction du corps choquant, j4<ï!a courbe qu'ilxîècfitpèHdànl la c<^pression et ,la.|restî(i4ion du ressortir Jjf.f ^x^ a'it=izl C €t=.y , D i^j^u, \& cDsinitsxlç ûodl'ClaTirrfreii^a

et l'on trouvera — Ad.dx^ =r '^ i^ +'r-^T~y) ; 4. ~i*-A ditii a=<p (a + rq:r-.w-,io)n^ifi;.fÇ<i.«!j,^,;

d'où Ton tire^ A ddx=Cddy jet At — Am^^Cy, et de même — Addz zixDddu, etCt--^ A z=Du.

On aura donc (en mettant dans les deux premières équa^ tîons , peur j et u leurs valeurs ) deux équations où il ne restera plus que deux inconnues ^^ <^ et qui pourront se construire par les méthodes expliquées ci-dessus, si f{x + rz — y)=F. {x^rz — yjeta ip(a + ra: — u) s:zG.(z + rx — u).

1 84. Soient deux corps A,a{ Fîg. 69) , unis par un ressort A a, qui se choquent suivant AD, ad, de manière que leur centre de gravité C restât en repos, s'ils pou voient se mouvoir suivant AD, ad; ces deux corps décriront deux courbes semblables A G , â^ pendant I9 (ems de la compression ( 53 ) , et la compression finira lorsque Casera perpendiculaire à chacune des courbes ; ensuite pendant la restitution du ressort 9 ils décriront les courbes G JP, ^y* semblables aux prémices; d'où Ton voit que leur mouvement après le choc sera le raémei que si la compression et la restitution se fkisoientdansun instant. Cela est vrai en général , lorsque deux corps à

(53) L'état du centre de gravité ne changeant point par l'action des corps entr'euz , ce centre doit rester en repos pendantla compression ^ si, èômme on le suppose , il W dû y rester sans Ito compression : or dans e« éM les distanees des deuàoorps à lee point immobHe gardiattt .toufoucs la rapport récjproque de ces deux corps , seron t toujoars daqs le même rapport : donc les deux courbes AG^ag seront semblables ; il en sera de même après la compression. De plus il est aisé de Toir que la compression doit finir quaàd la Kgnë G^tfni joint les deux cturps est perpendi* csilaire aux^coorbes qu'ils déciifent , puisqu'ils sont alors le plus pfès VuQ de Vautre qu'il est possible»

DE DT'N AMiqU E. 24S

ressort viennent à se choquer d'une manièrequelconque; car il est aisé de voir que le mouvement de leur centre de gravité ne changeant point par leur.actÎQn n^utuelle, il n'y a qu'à chercher quels; s^roient leurs .raonveipenft après le choc s'ils venoiept se frapper de manière que, leur centre de gravité fût en repos, et donner ensuite à tout ïe système le mouvemertt du centre de gravité (54). . Si les deux corpsétçiçnt mpus, leurs vUessef après le choc seroient plus grandes qufs s'ils étoient durs. Car. dans le cas de la dureté des deuxcorps, les vitesses après le choc seroient aux vitesses avant lechoc» confine Cd, à Ca iSS'} ; et dans le cas où ils serpieot mqtis , c'est-à'S dire, où le ressort se coinpr|merort.sansseréfab||r» ce;^ mêmes vitesses seroient coqiraq CdkÇ^. Qr Csif^Ç^.-, Donc , etc. ,

(64) Car ce iiiouT«in«nt étant commna Ji toul^ le>.p<trliea da tj^té-, me. ces parties n'ont ppîot d'autre actionlei uneaiDrleiaolrct qae celle' ^uî rétal'teroît dettnonvemenseii vertu desquehle'centre Ai^èvit^ré»'' (eroit enrepos. AF^garddel* nteuedaceotie de.gHnrjl^ Q» a dooaé le no(»y.en de la déteiqiiner, art. 7a.

(55) Dam le cai des corps durs , si a b iafiaiment petite reprAeqte la rîlesse arantle chocjaûntirmit Cbcc% dJrriWtt^ tvrt »4, '•éct érè rxftititv% la vitcwr aptèi le ebot * pai*(|ae le «eptiie ttl.tafipaté'ràitn en repçt et qvc la rïteue perdae dpit être dirigée t a b:: Cd:Ca. Dansle cas des corps Oioiu, la ritessi i la rileoe araut le choc :': Cà^: êg;-c*t le» t tteii^t «rit une courbe m rerto d'âne force dirigée k uKpoh ■OD inverte 4fa pfpeiidiculairei meiiées de f^.poJfll

14Â ^ T-KJâlT^É'

SCOLIE GÉNÉRAL

i85/ Ce n'fest-lâ i^ù'uhe trè*-petite partie des ques^ tîbns' qu'on -peut à^er èùr te fchbc des corps; En voîcî quelques-unes tjur méritent lattentîon des Géomètres.

" NûisitVdns faitvmrdârisl'Ëîîé^rddpBdîe'iu iiqke'-Tom€'V'.^. 447.'^/ i^^iie le ^t^sbrt", quand ÎP rehdroit parfaitement aux corps choquans la figure qu'ils ont perdue par le dioc, pourroîtbîen ne leur pas ren* dre pour cela totateléur Vitesse, éf Inéme qall ne la leur tefiddltbàs en effet. Maî^ là quantité dé vitesse perdue ciSpèmt' d<e la ûghré et' de la hiatière du corps, et ne peut être déterminée que d'une manière hypothétique et conjecturale. En effet imaginons une suite de points ou d'atomes parfaitement durs, disposés en ligne droite, ef, l3fnls' bar des' ressorts infiniment pe(i(s placés entre

dw<im-S<»Pf»riG^ ^stéi|i/e.4Çfpc»ûjlt» djjr* ainsi iihis-re- ^ré8efft«râ'ài8fz-iexa€teirient«iho(M^s-àiéssort. Supposons^ensuite que ce système' vienne "fralsperperpendicu-

I^^i;>e9t Up'pliAi joéJ)rAnWe),«wyant la 4irçcUon de Iftitigiteiqui dn(î(«!tau8 ee^'pQtitt'torps/ H est^évident qoe le^ ftKijt'dfirpè *ftjr •fluî fràï)jJëra'îM^cïi?temelrtt're plan ;

perc^a^l i|îstwît. tpulg.fBft. y îjfepse. L^

eeiut*qiM suit iintpédâatdfiQeBt lu «premio*, -pourra awart^

cer*^'àftt^oî<"péu,'^vU l?i çonipressibrîité'èl'petit ressort placé entre'^uï'î^^iaig-çoiïfmé çp tenw9 est -{- /{y^-*)

DE nTN jdM'I qu E. ^4,7

InfiraflDdBtifWtii * <|^'i( doit ces$ei^4e. «e.cqmf^rûoiejt dès que ses parties seront absolument contigues les i^ggs^fjx

p^titj^^Fej>E^ arfivcn^ ^osfj^'aUfpreniiei: corps, o^^st-il p»$ jbBe«.«^jïïifsei^)}lftJ?Je,;;(>u «plutôt m%%-i\ pas certain que ce second corps n'aura pas enti^^^gnt pei^u^sçui

jtes^ïlt'OM.pJu.^^ 4g tepdaqçe au cwûvewçqf^ S anéantit» IteWftik çou^j^jicçmnp^e quanjCLf^n. c§ï$« '<!"!«; „<jhoqu^ m:^ 4ii^§ijial4^jU en,sef^dç.5pçfyg3^e.pJi}pjeurs

cor9pres§i^idesjr*^sort8.,,ç^qp^,u>^ pu faj^«fM?f ge lu reste, ne recevront par, la resUt^lipçirCJji.rèssôrt que la partie de mouvement que la compression du ressort leur avoit fait perdre, et ne pdbA'ont jamais recouvrer Tau- IrerBartio, qui. A é^é, entièrement détruite. Cependant chaque ressort se rétablira dans son premier etar, efnar

conséquent le système reprenoTfi'sajDremiere fleufeet

^ -^^ •■ ■ • V" "^ '< '■'■ '-'11? i«''lïv 8 'K'^''^'%. M' SjQia nqnisa^remiere vitesse. Mais on senCbien quii est Ttçs-

.,q;45)ÇV^i^Çt ^^S??°® 4^P9f *^Vw oe-tronver Ta^Viiessc «w chaauç petit.corps âpres la restitution jè(2?«8of?,¥t^âr

..fm.^f. . •' Of;r.1Br«ni 9up§t{o B 29ubiMn ftSM^'îv il

conséquent la vitesse totar&au corps c

♦-WP.V^ÇW^If.^P'itkt'^puver là, vitesse de' — -^ ,

ri^ffîS!kiMfwMKiPJn.*£o°aQi^^ ^e degré detéhqtie'^ de iirfrw ,\j«I««5p6rj>kn noiîieoqquz aflw ,3lcrGldm98f .a

roidetir de chaque ressort, ce qui doitrançt dans cha-

^q\li5 cas". t. j . . ' j

Ce tjuQ noùs^ vêlions <le dîré du choc dNw^ corps à re^ sort contre un plan inébranlaMé*; doit ât^bir liée et même dans le choc mutuel de deux corps à ressort, <)i(i doivent nécessairement perdre quelque partie de ieur vîfesée par l€ choc.' •

Ôri supposé ordinaîreniént que quand im ^èorps' à ressort chbqiie un plan rnébranïablei il ti^y a ^ueïa partie infiniment petite placée au point dé contact qui perde tout d*un coup son mouvement, et que les autfefs pat- Itîes rië perdenBé leur c][ue! peu À^pëù ,' et sont toujours ôh ipoùveftiehtfpolïrVàpprôcber dù^pïai&i jusqu*à.ce que te ressort 30if tdiit à-fkrt; Bandé. Lé raisooneteient précé- "(Jent sûiaif poûr'i'no'rrtr^i' cfomhièn cette^hj^othèsé eat peu conrormte^à là^âture7\'^ '^ : ^- • ^^^"^^ '• ^•

Nous avons suppose dans tqqt lé cours des fechcr- .ches précédentes, que quand deux corps a ressort se

çhoqu6l^ avec ^qes vitesses qui sont en raison m verte

de leurs masses, té ressort ^ès deuy corps èét senlblkblé- ..Q^eat çt j^eaTfsaient banqea chaque instant, eV<sôrté que

iés yitessQs j:)erdues a chaque instant ^rit en ra^sonrin* . verj?e de». XQfis^es , 'et ^ye le point d attouchement reste ^:çq,repo,s,pçncUîlit tout le rjpssort'se bande

let jse^^ébiàndé. .Or si 'Je ressort dés cj^il^ctorpsiiifet

pas semiblabre 9 cette sûjpposiitioQ n*àurâfpiasliètf| oeqtii

peut

peut apporter du changement dans les solutions.

C est donc une supposition trop limitée et trop peu générale, que celle qui a été faite par plusieurs Auteurs, pour expliquer les lois du choc des corps à ressort. Ils imaginent un ressort placé entre les deux corps, et également bandé par Tun et par l'autre, ensorte que chaque corps perde à chaque instant des quantités de mou* vement égales, ^t que le. point du ressort placé au centre de gravité des deux corps reste en repos. Il est visible que cette supposition ne peut représenter clairement que le seul cas où le point de contact reste eu repos pendant que les deux corps se compriment et se réta* blissent.

Si un corps à ressort vient choquer perpendiculairement un plan inébranlable, et qu'on suppose ce corps à ressort parfait , c est-à-dire capable de reprendre par son ressort la vitesse qu'il a perdue par le choc, il est évident que ce corps rejaillira après le choc avec toute sa vitesse. Mais si dans Tinstant où le corps est entièrement applati , et a perdu toute sa vitesse par le bandement du ressort, on vient tout-à-coup à ôter le plan , il est évident que le ressort étant alors absolument libre, iend à se débander en deux sens contraires , et que les mouvemens qu'jl tend à imprimer étant opposés, doivent se détruire mutuellement; doù il s ensuit que le corps rejaillira avec une vitesse beaucoup moin-

dre que dans le premier cas ; il pourra même arriver qu'il ne rejaillisse pointdu tout, si la figure du corps dans son état de compression étoit telle, que le ressort se débandât également dans les deux sens contraires. Par la même raison si on ôte le plan dans le tems oii le ressort n'est pas encore tout-à-fait débandé et rétabli , le corps rejaillira évidemment avec moins de vitesse que dans le cas du plan immobile.

Or quand le ressort des deux corps est parfaitement semblable, ensortequ ils se bandent et se débandent en même tems , le point de conlact demeurant immobile durant tout ce tems, ces corps se servent mutuellement d'un appui inébranlable; et Ion conçoit qu'ils doivent rejaillir avec leurs premières vitesses. Mais si un «les ressorts est débandé avant l'autre, le corps dont le ressort est débandé ne peut-il pas alors se séparer de lautre corps, et la vitesse avec laquelle ce dernier rejaillît n'en sera-t-elle pas diminuée ?

Quelles sont les lois du choc dun corps dur contre un corps à ressort ? Elles se réduisent à savoir ce qui arrivera quand deux corps, l'un dur, l'autre à ressort, se choquent en sens contraire avec des vitesses réciproquement proportionnelles à leurs masses. Il est évident que dans ce cas le point de coijtact ne peut être immobile, comme dans celui où les deux corps sont à ressort, et à ressort semblable. Le point immobile (car il

DE DTNÀMIQUE. 25t

faut qu'il y en ait un ) sera donc dans Tintérieur du corps à ressort Mais ce point immobile sera-t-il toujours le même, ou changera-t-il à chaque instant pendant que le ressort se bande et se débande? Il me semble qu'il doit changerde place. En effet i°. dans le premier instant de la compression le point immobile doit se trouver infiniment proche du point de contact, ou pour parler plus /exactement, très-proche. Car si ce. point n'étoit pas très-proche du point de contact , il faudroit donc que la partie finie du corps à ressort, placée entre ce point et le point de contact, changeât brusquement sa vitesse de positive en négative, ce qu'on ne peut supposer dans un corps à ressort tel que celui dont il est question , et dans lequel toute partie finie doit être supposée perdre sa vitesse par degrés. Pour le faire sentir, nommons a la vitesse positive avant le choc, et — b la vitesse devenue négative dans la partie du corps dont il s'agit ; ii s'ensuivroît donc que cette partie auroit perdu la vitesse a + b qui auroit été détruite brusquement. Or cela ne se peut dans un corps à ressort tel qu'on le suppose. Le point immobile sera donc au premier instant comme infiniment près du point de contact. 2?. Dans les instans suivans, comme les parties du corps dur ne peuvent céder, et qu'elles avancent toujours, il est évident qu'elles doivent £aîre\éculer le point immobile, lequel se trouve tropprèsdu point de contact, etpar conséquent du corps dur t pour rester toujours à la même place. Le point imr mobile changera donc pendant que le ressort se bande^