MESURE DES ANGLES AVEC LE CERCLE RÉPÉTITEUR DF. BORDA

42. La partie essentielle de cet instrument consiste (figure 1) dans un limbe divisé II, qui porte deux lunettes indépendantes l’une de l’autre et mobiles autour de son centre. Chacune d’elles, est munie d’une agrafe a, destinée à la fixer sur ce cercle à l’aide d'une vis de pression p. Celle qui se meut sur sa surface supérieure entraîne avec elle quatre verniers, au moyen desquels on peut évaluer exactement l’arc quelle a parcouru.

Ce limbe 1 1 tourne autour de l'axe central d’un arbre b b, dont la partie inférieure est terminée par un tambour T. Vers sa partie supérieure se trouve un axe transversal cc, porté sur deux supports c d,’ cd que rattache ensemble une traverse d d vissée sur le talon qui termine une colonne mobile ee. Cette dernière pièce enfin a sa base au centre d’un cercle divisé ff, qui repose sur un trépied armé de vis V, V', V".

Lorsqu’on fait tourner cette colonne autour de son axe ee, elle entraîne avec elle le limbe et ses deux lunettes.

L'arc parcouru dans ce mouvement de rotation se mesure sur le ccrcl ef f, à l'aide du vernier de l’alidade e t> qui fait corps avec elle.

Pour arrêter le mouvement de la colonne , on serre la vis v; alors tout le système est fixe. Si l’on desserre actuelr lement la vis a de l’agrafe du tambour T, on pourra faire mouvoir le limbe qui entraînera les deux lunettes à la fois. En la serrant de nouveau et desserrant au contraire celles des deux lünettes , on leur fera prendre toutes les positions possibles l’une par rapport à l’autre.

Les vis de rappel r, v", v" 1 et la vis sans fin du tambour sont destinées à produire lentement les divers mouvements de la colonne , des lunettes et du limbe.

Ainsi on peut donner, 1° un mouvement de rotation A tout l’irtstrumçnt autour de sa colonne; 2° cette pièce étant rendue immobile, le limbe et les deux lunettes peuvent tourner sur son axe; 5° les deux lunettes sont susceptibles à leur tour d’être rendues fixes ou mobiles indépendamment l’une de fautre.

• Outre ces divers mouvements nn peut encore renverser le limbe avec sa monture en le faisant basculer autour de l’axe c b. Pour produire cet elTet, il suffit de desserrer la vis v 1 qui presse contre un quart de cercle adapté à cet axe. .

Ces principes généraux étant posés, passons aux diverses rectifications de l’instrument. 11 est essentiel d'abord qu’au parallélisme parfait existe entre le limbe et les axes optiques des deux lunettes, c’est-à-dire, les droites qui passent par le centre de réfraction de chaque objectif et l’intersection des fils des réticules; les angles observés sont alors dans le même plan que celui sur lequel on compte les degrés. Pour

remplir cette condition on rend d’abord vertical le plan du limbe (figure 1), par le procédé qu’on indiquera plus bas; puis on dirige la lunette supérieure sur un objet o, éloigné et bien net. Après avoir lu le numéro de la division à laquelle correspond le zéro du vernier du pied de la colonne, on fait faire à l’instrument une demi - révolution autour d'elle, et on ramène l’objectif de la lunette vers le même , point de mire. 11 est bien évident que dans sa nouvelle position l’axe optique bo' (figure 1), fait avec la droite ab, parallèle au limbe, le même angle a bo qu’avant le retournement du limbe à 180°; seulement il est dirigé à gauche de cette ligne , s’il était à sa droite au commencement de l’opération.

Pour amener cet axe dans la position a b qu’on cherche à lui donner, il faut donc faire parcourir à l’intersection des fds la moitié de l’intervalle observé o b o'. On se sert à cet effet des deux vis qui font marcher, en serrapt l’une et desserrant l’autre, le châssis auquel ils sont attachés. Lorsque les fils sont fixes, on fait tourner l’objectif d’une quantité convenable sur son axe. Le défaut de sphéricité de ce verre permet d’employer ce moyen.

Pour éviter les tâtonnements dans la bisscction du petit angle o b o', on note la'position du vernier v placé au bas de la colonne, lorsque la lunette est dirigée sur le point o; après le retournement du limbe on ramène la lunette sur ce même point à l’aide de la vis de rappel 'v, et on évalue le petit arc parcouru; on fait alors revenir le vernier sur lui-même d’une quantité égale à la moitié de cet arc, puis ensuite on amène les fils sur l’objet au moyen des vis de . leurs châssis.

Lorsque, après quelques répétitions du même procédé, on a rendu le parallélisme parfait, on l’établit pour la lunette inférieure en’amenant l’intersection de ses fils sur le point ôù correspondent ceux de la lunette supérieure. Cette opération se fait avec les vis de leurs châssis, ou en faisant tourner l’objectif d’une quantité convenable autour de son axe.

fl 5. Si après cette rectification on veut rendre bien vertical le fil qui est à peu près parallèle au limbe, on le dirigera sur un objet éloigné bien net, et on examinera si en faisant mouvoir la lunette, après avoir desserré l’agrafe qui la retenait, le point qu'on avait visé passe è sa droite ou à sa gauche. Pour détruire cet effet, s'il a lieu, on desserrera la vis qui fixe le tuyau où se trouve le châssis des fils et on le fera tourner autour de l’axe de la lunette, d’une quantité suffisante, pour que la déviation observée ne se reproduise plus; on serrera alors la vis dont on vient de parler et on sera sûr de la verticalité du fil , ou , ce qui est ici la même chose, de son parallélisme avec le plan du limbe.

A4. Lorsque dans la caisse du cercle répétiteur se trou vera une lunette d'épreuve, on pourra s’en servir pour la rectification des axes optiques; niais avant il sera nécessaire de s'assurer qu’elle-mêmc est rectifiée. On la placera sur le limbe de l'instrument disposé horizontalement, et on remarquera à quelle ligne d’un objet très-éloigné répond son fil rendu d’abord horizontal par le procédé qu’on vient d’indiquer. Si, en la renversant sur ses faces opposées, la même ligne n’est pas rencontrée par le fil, on élèvera ou .

on abaissera cejui-ci de la moitié de la distance comprise entre les deux lignes observées. Si ce fil n’était pas mobile, on ferait cette opération en tournant l’objectif sur son axe, comme précédemment. Cette rectification étant faite, on dirigera sur la ligne de repère observée les lunettes de l’instrument , et on amènera sur elle les intersections de leurs fils à l’aide des vis de leurs réticules ou du mouvement de leurs objectifs.

• Mesure Se l'angle compris entre deux objets.

. 45. Pour mesurer actuellement l’angle compris entre deux points, après avoir rendu immobile la colonne de l’instrument en serrant la vis v de son pied ( figure 1 ), on amène dans leur plan les axes optiques des deux lunettes avec deux des vis V, V^du pied, et on a bien l’attention de les y conserver pendant tout le temps que dure l’observation. (Si les deux objets étaient très-inclinés à l'horizon, on ferait pencher le limbe vers leur plan en desserrant la vis v‘ qui l’empêche de tourner autour de son axe horizontal. ) Cette disposition prise, on fixe la lunette supérieure sur zéro et on la dirige sur l’objet de gauche en faisant tourner sur son axe de rotation le limbé rendu mobile par le desserrement de l’agrafe a' du tambour; lorsqu’on a arrêté l’instrument dans cette position v on pointe la lunette inférieure sur celui de droite. L’objet de gauche étant alors amené bien exactement à l’intersection des fils aVec la vis sans fin du tambour, qui entraîne à la fois le limbe et ses deux lunettes, ’on fait mouvoir la vis de rappel v 1 " de la lunette inférieure jusqu’à ce que l’objet de droite soit coupé en deux parties égales par son fil vertical; on desserre alors l’agrafe a'

du tambour, puis on fait tourner le limbe jur son axe jusqu'à ce que la lunette inférieure soit sur l’objet de gauche. On arrête de nouveau le limbe, et on desserre d’agrafe v" de la lunette supérieure pour l’amener sur celui de droite. L’espace circulaire quelle a parcouru pour y arriver est évidemment le double de l’angle compris entre les deux points en question. Si, après cette opération, l’intersection des fils de la lunette inférieure ne correspondait plus au point sur lequel elle était fixée d'abord, .on l’y ramènerait avec la vis sans fin du tambour, et on mettrait la lunette supérieure sur l’autre, avec sa vis de rappel Prenant maintenant pour départ la division où est arrivé le vernier de cette lunette, et la dirigeant de nouveau sur l’objet de gauche à l’aide d’un mouvement donné au limbe, on pourra recommencer l’opération précédente et obtenir ainsi le quadruple de l’angle qu’on cherche, puis ensuite le sextuple , etc.

Si les numéros des divisions de l’instrument se succédaient de droite à gauche lorsqu’on se suppose au centre du limbe , ce serait la lunette supérieure qu’il faudrait diriger sur l’objet de droite au commencement de chaque opération.

Mesure des dislances zénithales.

46. Lorsqu’on veut mesurer une distance zénithale, on renverse le limbe en desserrant la vis v' (figure 1), et on fait en sorte qu’il soit vertical ainsi que l’axe e e de la colonne de l'instrument.

Pour donner cette position à cet axe, on place le limbe renversé dans la direction de deux des vis V, V' du pied et

on amène au milieu du tube , avec la vis de rappel de la lunette inférieure, la bulle d’air du grand niveau quelle porte; on fait ensuite tourner tout l’instrument de 180° sur

• sa colonne. Si dans eette nouvelle position la bulle d’air ne se fixe pas au milieu du tube, comme on l’y avait placée d’abord, on fera la correction moitié avec les deux vis V, V' du pied, en élevant l’une et abaissant l’autre simultanément,

• et moitié avçr la vis de rappel i>'" de la lunette inférieure. Quelques épreuves du même genre suffiront pour amener cette bulle à ne plus quitter ses repères dans le retournement du limbe à 180”, c’est-à-dire quand on le replacera dans le vertical des deux vis V, V'. Si actuellement, après avoir fait tourner le limbe de 90° autour de la colonne, la bulle n’occupe plus le milieu du tube, on l’y ramènera avec la troisième. vis V" dans la direction de laquelle ce mouvement a placé le plan du limbe. De cette manière, l’axe delà colonne se trouvant à la fois dans deux plans verticaux sera luimême vertical ; alors , quelque position qu’on donne au limbe autour de la colonne, le niveau ne devra plussç déranger.

47. Pour rendre le limbe vertical, On met dans ses repères le petit niveau qui lui est perpendiculaire. A cet elTct, on fait marcher la vis de rappel r ,v (fig. 1), voisine de v', qui imprime à ce cercle un mouvement de rotation autour de l’axe transversal ce. On sent que la verticalité n’a. lieu qu’autant que ce petit niveau est perpendiculaire à la surface du limbe. Afin de s’assurer qu’il satisfait à cette condition, on emploie un fil à plomb qu’on fait battre librement dans les fentes pratiquées sur les tiges de deux pinces, qui s'adaptent aux points le plus haut et le plus bas de la cir-

conférence du limbe. On fait confondre la fente de la pince inférieure avec le fil à plomb par le moyen de la vis de rappel v”; on amène ensuite la bulle du petit niveau au milieu de son tube avec la vis placée à l'une de ses extré- • mités ; cette opération se fait une fois pour toutes , car il est bien rare que cette perpendicularité cesse d’avoir lieu quand elle a été une fois bien établie.

48. 11 est aisé de voir que la verticalité du limbe n’aurait pas lieu , quand bien même le fil à plomb battrait dans les fentes des tiges , si- leurs distances à son plan n’étaient pas égales ; il faut donc vérifier les pinces avant d'en faire usage, si l'artiste n’a pas eu le soin de les construire convenablement. Après avoir disposé le limbe de manière à ce que le fil batte dans les fentes de leurs tiges , on les détache pour les mettre l’une à la place de l’autre, et l'on introduit de nouveau le fil à plomb dans la fente de la tige supérieure; on remarque alors l’intervalle qui le sépare de celle de la tige inférieure, puis on amène sous lui le milieu de cet espace à l'aide de la vis de rappel t>", voisine de v' . Pour mieux apprécier cette distance , généralement peu considérable , on fait une marque sur la tige au point où bat le fil à plomb, et l'on rentre ou l’on sort cette pièce de la moitié de l’espace observé , en la vissant sur sa pince ou en la dévissant un peu; le reste s’achève, comme on vient de le dire, en faisant marcher la vis de rappel v nr jusqu'à ce (pie le fil batte dans la fente de la tige ainsi allongée on racourcie. Si, actuellement, on change les pinces de place r le fil devra battre encore librement dans leurs deux fentes; elles seront donc dans les conditions voulues pour remplir le but auquel

DE GÉODÉSIE. é 75

elles sont destinées; on sera sûr alors, en mettant la bulle du niveau dans ses repères, qu’il est , dans cette position , perpendiculaire au plan du limbe , et que réciproquement ce plan sera vertical toutes les fois que le petit niveau' sera calé.

49. L’instrument étant ainsi disposé, on opère de la manière suivante pour mesurer une distance zénithale. On fixe la lunette supériéure sur zéro , et on place le limbe à gauche de la colonne si l’instrument est divisé de gauche à droite ; on desserre l’agrafe a' du tambour, qui arrête le mouvement du limbe, et on dirige la lunette sur l’objet ; on rend ensuite horizontal le grand niveau avec la vis de rappel «"' de la lunette inférieure. Si cette opération a imprimé au limbe un petit mouvement autour de son axe de rotation, la lunette supérieure ne sera plus sur l’objet; on y ramènera ses fils avec la vis sans fm du tambour, et on remettra le niveau dans scs repères avec la vis de rappel t; ; enfin, après s’être assuré que le fil horizontal est bien tangent" à l’objet, on retournera l’instrument de 1 80° ; on desserrera l'agrafe de la lunette supérieure , puis on lui fera décrire une demi-circonférence pour la ramener sur le point; si dans cc mouvement le grand .niveau ne s’est pas dérangé , l’arc quelle aura parcouru sera la mesure dudoublede ladistance zénithale cherchée. Si la bulle d air n’était plus au milieu de son tube après le" retournement du limbe, cela proviendrait d’une légère inclinaison produite, sur le diamètre horizontal de ce cercle, par le mouvement donné à la lunette supérieure; on la corrigerait alors tout entière avec la vis sans fin du tambour , puis ensuite on amènerait l’objet sous les fils de la lunette supérieure avec

sa vis de rappel v". En répétant plusieurs fois la même opération et partant toujours, pour chacune, du point d'arrivée du vcrnjer à la fin de la seconde observation conjuguée, on aura successivement le quadruple, le sextuple, etc., de la distance zénithale.

Evaluation en secondes des parties du grand niveau.

50. Pour être en état d'apprécier l’erreur (pie l’on commettrait en négligeant de remettre la bulle dû grand niveau dans ses repères, après le retournement du limbe, il faut évaluer d'avance le nombre de secondes correspondant à uné ou plusieurs parties de l'inclinaison de ce niveau. Le limbe étant vertical , on amène à cet cfTct la lunette supérieure fixée; au zéro sur un objet quelconque ; on dispose ensuite la lunette inférieure de manière que l’une des extrémités de la bulle de son niveau se trouve sur la dernière division tracée sur le tube. Lorsqu'on s’est assuré que le fil horizontal de la lunette supérieure se trouve toujours sur l’objet, on fait tourner le limbe avec la vis sans fin du tambour, jusqu'à ce que la même extrémité de la bulle soit visà-vis une division quelconque du tube , distante de la précédente de n parties, par exemple; on ramène alors la lunette supérieure sur le point que l’on a visé , en faisant usage de sa vis de rappel v", et l’are parcouru représente le nombre de secondes correspondant à une inclinaison de n parties du niveau. Pour avoir un résultat plus exact , on recommence plusieurs fois la même mesure, en partant toujours, au commencement de chacune, du point d’arrivée delà lunette à la fin de la précédente. En divisant l’arc total qu’elle a successivement parcouru par le nombre n de

DE GEODESIE.

parties du niveau, répété autant de fois qu’on a fait d'opérations, on a très-exactement le nombre de secondes correspondant à une partie de la division du tube. 11 faudra prendre le nombre s de parties tel que l’autre extrémité de la bulle ne touche pas au bout du tube.

MESURE DES ANGLES AVEC LE TIlÉODOUTE RÉPÉTITEUR DE GAMBET.

51, Le théodolite répétiteur de Gambey a, sur le cercle de Borda, l’avantage de donner les angles observés réduits immédiatement à l'horizon; il. y a donc économie de' temps à s’en servir dans les opérations géodésiqucs, puisqu’on est dispensé de prendre les distances zénithales des signaux, et que* dans la rédaclion.du travail, on a de moins à effectuer tous les calculs relatifs à la réduction à l’horizon.

Dans ceux de ces instruments qui n’ont point de limbe vertical, la lunette supérieure porte sur deux supports fixés au limbe du vernicr, et la lunette inférieure, qui n’a d’antre objet que d’indiquer si dans le cours d une opération l’instrument s’est dérangé de la position qu’il avait d’abord, est fixée au bas de la colonne et peut s'incliner à volonté. Ainsi , sans nouvelle figure, on peut se représenter un instrument du genre de celui dont nous parlons, en supposant que dans la figure 1 la colonne ee soit prolongée jusqu’au limbe, que la lunette inférieure soit appliquée en g , et que la supérieure soit placée sur deux supports qu’entraine avec lui le limbe du vernier. Pour rendre cet instrument propre aux observations , il J'aat placer dans une position horizontale le plan du limbe, ainsi que l'axe de rotation de la lunette; de plus, il

faut faire en sorte que taxe optique de cette lunette soit perpen- . diculaire à son axe de rotation.

52. Ces diverses rectifications s’opèrent de la manière suivante : On met un niveau à cheval sur l’axe de rotation de la lunette, et on le place dans la direction de deux des vis du pied ; avec elles on amène sa bulle dans scs repères , et on le retourne bout pour bout ; si la bulle est dérangée, on fait l’une des moitiés de la correction avec la vis qu’il porte à l’une de ses extrémités , et l'autre avec celles du pied. Le niveau étant rectifié, pour s’assurer de l'horizontalité de l’axe de rotation sur lequel il repose, op fait décrire à la lunette une demi-circonférence sur le limbe. Si , dans cette nouvelle position, lé niveau n’est plus calé, on le ramène à cet étal, moitié avec-les vis du pied, moitié avec celles qui sont adaptées à la partie supérieure de l’un des supports de l’axe (l’une s’élève et l’autre s’abaisse). L’axe étant rendu horizontal après quelques épreuves du même genre , on donne cette position au limbe en faisant décrire à la lunette un arc de 90°, et en ramenant avec la troisième vis du pied la bulle du niveau au milieu de son tube. '

Enfin, pour établir la perpendicularité entre l’axe optiipie et celui de rotation, après avoir placé la lunette sur zéro, on amènera ses fils sur un objet éloigné, par le mouvement de la vis de rappel du limbe. On l’enlèvera de dessus ses supports, et on la retournera sur son axe; on la fera mouvoir ensuite avec sa vis de rappel jusqu'à ce que l’intersection de ses fils soit revenue sur l’objet. Cette opération terminée , on la fera rétrograder de la moitié de l’arc quelle aura parcouru, et on ramènera les fils sur le point au moyen

des vis de leurs réticules. Si, actuellement, on la retourne de nouveau sur son axe, l’objet devra encore se trouver à leur intersection; quand cette circonstance n’a pas lieu, on recommence l’opération précédente. Si l’on s’apercevait que l’un des fils n’est pas vertical, on lui donnerait cette position en faisant tourner le collet qui le porte , comme pour le cercle répétiteur.

53. Veut-on actuellement mesurer l’angle horizontal entre deux objets? On dirigera sur un point éloigné et bien net la lunette inférieure, qu’on y aura amenée à peu près avec la vis de rappel du pied de la colonne, avant de commencer les rectifications; on fixera la lunette supérieure . sur zéro, et, par le mouvement du limbe avec sa vis de rappel, on placera bien exactement l’intersection de ses fils sur l’objet de gauche. Si la lunette inférieure ne correspondait plus au point de repère après cette opération* on l’y ramènerait, avant de passer outre, avec la vis de rappel du pied de la colonne, et on remettrait la supérieure sur l’objet qu’on a visé, à l'aide de la vis du limbe; alors on détachera l’agrafe de la lunette supérieure pour la pointer sur l'objet de droite. Si dans ce mouvement l’instrument s’était un peu dérangé, on en serait averti par le déplacement de la lunette inférieure; il sera d’autant plus sensible que l’objet sur lequel elle est dirigée sera plus éloigné et bien délié ; on commencerait alors par la remettre sur le point quelle a quitté, avec la vis de rappel du pied de la colonne, puis eqsuite on mettrait exactement le fil vertical de la lunette supérieure sur l’objet de droite, avec sa vis de rappel. L’arc parcouru depuis zéro sera la mesure

de l'angle cherché. Si l’on rend actuellement le limbe libre en desserrant l’agrafe de sa vis.de rappel, qu’on replace sa lunette sur l’objet de gauche et qu’on recommence la même Opération, on aura successivdbieni le double, le triple, etc., de l'angle.

54. Les rectifications à faire et la marche 5 suivre, pour mesurer une distqnce zénithale, sont les mêmes avec le théodolite qu’avec lo cercle répétiteur; seulement on emploie un procédé différent pour rendre l’axe* optique de la lunette parallèle au limbe, lorsque ce cercle a*une position verticale. On commence par arrêter le mouvement de la lunette autour de son axe de rotation. On se sert pour cela d'une virole qui traverse à la fois deux tiges de cuivre; l'une est adaptée au limbe et l’autre «4 la monture de la lunette. On dirige alors l’intersection des fils sur un objet éloigné, et. on fait tourner l’instrument de 180° autour de sa colonne ; on ramène. la lunette sur ce point en lui faisant décrire une demi-circonférence, puis on observe de combien l’intersection des fils en est séparée; on la ramène sur lui , avec la vis du vernier placé- au bas de la colonne (page 69 ), et avec celle du ressort que porte le tuyau de la lunette vers son milieu. Si, dans le cours de l’opération relative à la mesure d’une distance zénithale , le grand niveau se dérangeait, on remettrait sa bulle dans ses repères avec la vis du pied la plus voisine de l'oculaire ou de 1 objectif.

Il est très-rare qu’en transportant l’instrument d’un point de station à un autre les vis des supports, et celles des réticules se dérangent, surtout ces dernières : on voit donc combien son installation est prompte et facile.

55. Lorsqu’on observe avec cet instrument des points autres que ceux de la triangulation principale , on ne répète pas généralement les angles; on dirige sur celui qu’on a pris pour départ la lunette supérieure fixée au zéro, et on arrête le plan du limbe en serrant la vis de son agrafe; on rend libre alors cette lunette, et on la dirige sur tous les points de l'horizon qu'on veut relever.