OC
r sin ( O -+- y) D
On a donc pour la correction exprimée en secondes (art. 6)
r sin y
Correction = - s ‘°
l) SI 11 1
G sin I’
DE GEODESIE. • 85
Cette formule se réduirait à un seul terme, si l'un des points était un astre, parce qu’ alors on pourrait supposer D ou G infmi, selon qu’il serait à droite ou à gauche.
Si l’on remarque que dans le triangle CCI) on a G =
D sin d
= D -!" *! , parce que x diffère très-peu de O , on
sin (</-+- jr) sin(d-t-O)’
pourra mettre la formule précédente sous cette forme :
Correction =
r sin O sin (<J — v ) D sin J sin 1 ’
Quoique cette dernière ne renferme qu’un seul terme , cependant on emploie de préférence la première. Ayec celleci on n’a pas besoin de fecôurir aux autres stations pour se procurer les éléments nécessaires à la réduction; de plus, si l’on doit réduire plusieurs angles qui ont le même départ , l'un des termes est le même pour tous , en sorte qu’il ne reste plus qu’à calculer l’autre , ce qui se fait très-simplement.
Quant aux valeurs de D et G% il suffit de les connaître approximativement; à cet effet, on les calculera avec des logarithmes à cinq décimales seulement, en supposant que les observations ont été faites au centre de chaque signal. Le tableau de la page 1 99 renferme une application de cette formule.
60. 11 arrive souvent que la distance /• et l’angle y ne sont pas donnés directement : on obtient ces deux éléments par des mesures et des calculs qui dépendent de la forme du signal ou de l’édifice sur lequel on fait station.
Quelques exemples vont suffire pour indiquer la marche à suivre dans les différents cas qui pourront se présenter.
Lorsque le signal estune tour cylindrique AOB (fig. 16), et que l’on est placé en C , pour avoir la direction C O du centre, on mène deux rayons visuels CA, CB tangents à la tour, et on mesure les longueurs C A = C B = m , CE = n. La demi-somme des angles G CA, G CB fait connaître l’angle G C ü, dont le complément à 560° est, dans le cas actuel, la valeur dey'. La distance CO = r s’obtient au moyen du triangle rectangle C A O dans lequel on a , en posant E O = x :
d’où
et par suite,
m* -+- ïi*
On vérifiera cette valeur en ajoutant à la longueur n celle du rayon EO, qu’on déduira de la mesure directe de la circonférence AOB de la tour; cette manière d’opérer sera même toujours préférable à la première, à cause de l’incertitude qui existe sur les longueurs CA, CB.
61. Plusieurs des clochers qui servent de signaux ont la forme d’un parallélipipède rectangle, à base carrée, et sont surmontés du ne flèche octogonale ou conique, en pierre ou en ardoise,- dont l’axe est le même que celui du parallélipipède. Il résulte de cette construction que l’on ne peut obtenir directement les éléments nécessaires pour réduire au centre de la station les angles observés sur les galeries de ces édifices; nous allons examiner les différents cas qui peuvent se présenter dans cette circonstance.
DE GEODESIE. 87
Lorsqu’on peut installer l’instrument à l’un des angles de la balustrade , en A (fig. 15), il suffit, pour obtenir sur-lechamp l'angle GAO — y , d’ajouter 45° à l’angle G A F' qu’on observe directement en plaçant verticalement un objet en F' (une erreur de plusieurs minutes est sans importance ). On a ensuite r=OA = ^ 1 /2en faisant A F = m.
Si le point de station est en B , milieu du côté A F A F'
= m, alors
OBG = 90° — (G B A qu’on mesure directement), «BG -4- 6BG
et
AF
,OB=; AB = -y-, r = | ou bien encore
( Oc 4 Bc = tang ^ 2 <i 5 Q ? + ( B c qui s’obtient directement ), (On suppose a b = a.)
Quand on est placé en C, la valeur de y s'obtient en retranchant de l’angle observé G C F, l’angle O C F calculé par l’équation
tang OCF =
f AC
où tout est connu; quant à r, on a :
r = OC =
siii OCE
ou
t-ac
cos OCF
Si l’on était en D, dans la direction du rayon O b, l’angle y serait égal à la demi-somme des angles «DG, dDG qui
se mesurent directement , et ia distance r serait donnée par
r = 06 + 6D= . , ■ + (6D qu’on mesure directement).
ma (22 ,jü J ' x '
Enfin, si l’instrument est placé en M sur. la galerie du clocher, pour avoir l’angle y, il faudra prendre les directions GMd,GM6, et mesurer les longueurs des trois côtés du triangle 6 M d. De ces données on déduira par le calcul les angles en b et d; cette première opération faite, on calculera
le triangle 06 M, où l’on connaît b M , 0 6 =■ .
et l’angle 06\1 = 67° 50' -+- ( d b M obtenu par le calcul).
Avec les valeurs que sa résolution aura fournies , on déterminera l’angle de direction y de la manière Suivante :
y=(GM6 mesuré directement) — (OM6 déduit du calcul);
ou bien, ert employant le triangle O.MD :
y=(G Md mesuré directement) -t- (OMd déduit du calcul).
La valeur de r sera donnée parla résolution de ces mêmes triangles.
En général , il faudra toujours prendre pour valeurs des' éléments r et y la moyenne des résultats obtenus par les diverses méthodes qu’on aura employées.
RÉDUCTION DF. L’ANGLE OBSERVÉ ENTRE DEC* SIGNAUX, AU CENTRE DE L’ÉDIFICE SCR LEQCEL LUN d’eUX EST ÉTABLI.
62. L’un des signaux qu’on relève peut ne pas se trouver au centre de l’édifice sur lequel on l’a établi ; s’il est en,c à l'un des angles du carré (lig. 17), par exemple, il faudra retrancher de l’angle observé GOc la partie C Oc.
Or, si l’on mène la droite Ce =r, qu’on abaisse de C la perpendiculaire C c sur O c = D, et qu’on mesure l'angle CcO = c, on aura :
tang O = ô7 = ~D — - r cos c ^ .
d’où, pour la valeur en secondes de la correction cherchée, vu sa petitesse : .
„ . . r sin c f . r coa c \
Correction = ± n l - — r; — .
1) sin I V U )
Le signe inférieur s’appliquerait au cas où le signal observé se trouverait entre le centre de l’édifice sur lequel il est placé et celui avec lequel on le relève.
REDUCTION DES ANGLES À l'hORIZON.
65. Supposons que l'angle B/iA (figure 15) ait été observé dans un plan incliné à l'horizon , et qu’il s’agisse d’obtenir sa projection horizontale B' h A'. Si l’on imagine une verticale 7iH et une sphère dont h serait le centre, les plans verticaux B6B'. AftA' et le plan B/iA la couperont suivant les arcs de grands cercles 116, H a, l a. Ils formeront un triangle sphérique dans lequel le côté a b sera la mesure de l’angle observé B6A = h, et dont l’angle 6 Ha sera égal à la projection horizontale de ce même angle. Si donc on mesure avec le cercle, les distances zénithales H a , H 6, et qu’on les désigne par z, z', on connaîtra les trois côtés de ce triangle; par conséquent, l’angle H qu’il s’agit de calculer sera donné par la formule :
sin -J- II = -
(s— z) sin ( s — z) sin z sin z
dans laquelle s =
(page 11. relations F).
64. On l’emploie quand les distances zénithales différent de l’angle droit de plusieurs degrés; mais, comme ordinairement la différence ne va pas au delà de deux ou trois en plus ou en moins , on préféré calculer la correction qu’il faut faire subir à l’angle observé pour obtenir l’angle horizontal.
A cet effet , élevons au carré les deux membres de l’équation précédente, et remplaçons s — z, s — z' par leurs valeurs déduites de la relation s = ' ■ , nous aurons :
