TRANSFORMATION- DES COORDONNÉES

73. Si l’on avait besoin de connaître par rapport aux nouveaux axesÂX, AY (figure 22), quelques-unes des positions H, I, F, E. . ., déterminées relativement aux anciens, on y parviendrait aisément sans passer par de longs calculs. 11 suffirait d’ajouter aux logarithmes des côtés A H , A I , IF.... que l’on a déjà, ceux des sinus et cosinus de leurs gisements apparents par rapport au méridien de A.

Ces. gisements se déduiraient de l’azimut supposé connu du côté' AH sur l’horizon de A (article 71).

Par gisement apparent d’une droite NL, par exemple.

nous entendons l’angle qu elle forme avec une parallèle menée en N ou en L à la méridienne A Y du point A.

* Ce procédé est préférable au suivant où entrent les coordonnées de l’origine des anciens axes.

Supposons qu’un point B (figure 21 ) soit déterminé relativement aux axes A'X', A' Y', par ses distances B F — a;', BG=/, et qu’on veuille ses coordonnées AC=.r, AD=^ par rapport aux nouveaux axes A X, A Y. On mènera par le point A deux parallèles aux anciens axes, puis du point C', où l’ordopnéeBG rencontre l’axe des X', on abaissera une perpendiculaire sur chacune des lignes BC, AX; cela posé, si l’on nomme a. l’inclinaison des méridiens de A et de A', ouleur convergence, p, (j l’abscisse et l’ordonnée de A par rapport à A', qu’on regarde comme positives les coordonnées des points situés au nord et à l’est de A, et qu’on compte aussi positivement l’angle a. en allant du nord vers l’est , on aura :

x = AC = C'II -h A E = (/-y) si» “ (*'-/») cos “ . •

y = BC = B H — C'E — (/-</) cos « — (x'-p) sin <*.

Lorsque l’axe A Y' sera à l’ouest au lieu d’être à. l’est de A Y , c’est-à-dire quand la nouvelle origine sera à l’ouest de l’ancienne, alors « sera négatif dans les formules précédentes. L’expression générale de la valeur de ce petit angle sera donnée à l’article 111.

CALCUL d’un POINT PAR LA STATION.

74. — Il est souvent nécessaire de connaître avec exacti lude, surtout en mer, la position d’un lieu relativement à d’autres qui sont déterminés par leurs distances respectives

ou par leurs coordonnées rectangulaires. A cet effet on construit (figure 25) sur les lignes AB, AC, qui joignent trois points A, B, C relevé* avec un théodolite ou'un instrument à réflexion, des segments capables des angles observés O • et O' (article 19) ; l’intersection de ces circonférences donne graphiquement la position du point O dont il s’agit de calculer la distance et le gisement par rapport à A. Pour y parvenir on tirera d'abord des triangles rectangles ABD, ACE les longueurs des hypoténuses au moyen des équations

»mü % sinü ...

puis on résoudra le triangle DAE, où l'on connaît actuellement les côtés b, b' et l’angle compris

* = BAC — { 180" — (0 + 0') j.

On en déduira les angles S', <f' par les relations ‘*(*+0 = 90° - y. tangj [f-f) = cot

Enfin de ces données on tirera :

, A O = D = b sin S' = b‘ sin S' 1 ,

OAY=Z=BAY -+- (O+J) -‘l 80 "= 1 80 “— (O'+r+YAC) ,

et par suite les distances du point O à la méridienne et âi la perpendiculaire de celui auquel sont rapportés A, B, C.

Il est aisé de voir que l’exactitude des résultats fournis par ces divers calculs dépend de la grandeur des angles observés 0,0'. Ainsi il y aura un certain choix à faire parmi les signaux qu’on apercevra d’un point dont on voudra déterminer la position par le procédé actuel .

Quand les longueurs AB, AC ne sont pas données di-

-DE GEODESIE.

rectement, ainsi que l'angle BAC, on les détermine à l'aide de leurs coordonnées rectangulaires.

Pour vérifierla distance D on la calculera de nouveau avec • B, A et un quatrième point, puis on prendra la moyenne des résultats.

Si l’on veut avoir le gisement vrai du point O par rapport à A, il faudra corriger lcgisement Z, trouvé par ce calcul , de l’inclinaison du méridien de A sur celui du lieu à partir duquel on compte les coordonnées. Dans le cas actuel on voit qu’on devrait ajouter à Z le petit angle a! . La page 205 contient un exemple de ces calculs.

Il est bon de déterminer ainsi, par leurs gisements vrais et leurs distances aux points remarquables d’une côte, les basses principales de dessus lesquelles on a pris des vues.

Led angles O et O’ devront à la rigueur être réduits à l’horizon avant d’être employés daus les calculs, et pour faire cette réduction il faudra connaître la distance zénithale , des points A, B, G (article G3).

Lorsque les observations auront été faites à la mer avec un cercle à réflexion, la distance zénithale à. employer sera représentée par z=90° — h, h désignant la hauteur Qngnluire vraie du signal au-dessus de l’horizon. On trouvera à l’art. 95 la valeur de h en fonction de la hauteur apparente-observée.

Cependant on pourra généralement se dispenser de réduire à l’horizon les angles observés, s’ils sont un peu grands et si en même temps l’un des signaux qu’on pourra prendre pour départ se trouve très-près de l’horizon (page 91). ,

S’il s’agissait de déterminer la position d’un point situé près d’une côte très-élevée, ali lieu de prendre (es angles . sons lesquels on aperçoit les distances comprises entre les

signaux placés sur sou sommet et les éléments nécessaires pour les réduire à l'horizon , on pourrait mesurer les angles horizontaux compris entre les points du pied de la côte qui s sé trouvent dans les plans verticaux menés par l’œil et le • sommet des signaux; ces points s'obtiendront aisément à l'aide d’un fil 4 plomb. Ce procédé sera toujours assez exact; car il suffit, pour le but qu’on se propose dans ces sortes d’observations, d’avoir les angles à une minute près.

CALCUL 1)E LA PLUS COURTE DISTANCE DE DEUX POINTS CONNUS PAR, LEURS COORDONNÉES RECTA NC UL AIRES , OÙ, POUR PARLER CORREC- TEMENT. PAR LEURS DISTANCES X LA MERIDIENNE d’üN LIEU ET PAR