CELLES DES PIEDS DE CES PERPENDICULAIRES X CE MEME LIEU
75. La distance de- deux points connus par leurs coordonnées rectangulaires s’obtient en résolvant le triangle rectangle qui a pour côtés de l’angle droit la différence ou la somme des coordonnées de ces points. Cette approximation suffit pour l’usage qu’on fait de ces distances, qui sont toujours peu considérables. Il est d’ailleurs assez inutile de chercher une méthode rigoureuse pour les calculer, puisque les données d’où l’on part sont fautives.
Voici cependant la marche que' l’on devrait suivre en supposant exactes les coordonnées de chaque point , considéré comine situé sur une sphère dont le rayon aurait pour longueur la grande normale qui correspond h leur latitude moyenne (page 159).
Soient A' A" ces deux points (figure 24), A'B = x',
B A=y' les coordonnées du premier par rapport au point A dont II ut P représentent la latitude et la longitude;
A IV =.r", B' A —y” celles du second. Si l’on mène les mé-
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ridiens P A', P A", on formera deux triangles sphériques rectangles P B A', P B' A", dans lesquels les deux côtés de l’angle droit sont connus. Leur résolution déterminera les côtés b, b' et l’angle A' P A" du triangle A' A" P. Celui-ci, où l’on connaît actuellement deux côtés et l’angle compris, fournira le troisième côté u qu’ü s’agissait d’obtenir; on le convertira en mesures linéaires en multipliant par ç' sin 1" sa valeur exprimée en secondes, ç désignant la longueur de la grande normale dont nous avons parlé ; sa valeur sera donnée par la table V.
Ainsi les équations qui résolvent complètement notre problème sont les suivantes :
cos b — sin (H+/) cos x', tang P'= C0 ,^ S ^.yj ' .
cos b' = sin (H +7") cos a:'', tang P"= ^^-^7 )'’
cos a == cos b cos b' -+- sin b sin b' cos (P'~ P").
Pour se débarrasser des cosinus des petits angles, x', x", P' — P" =p, et a dont les logarithmes ne sont pas donnés assez exactement parles tables - , on les remplacera par leurs valeurs en fonction du sinus de la moitié dé l’arc , puis après les réductions on prendra les logarithmes dans chaque membre; on obtiendra alors, au moyen des relation (d') de la page 1 5, les formules suivantes, dans lesquelles le module M a pour logarithme 9,6377843 :
log cos b = log sin (H+/ ) — 2 M sin 2 -j x' ( 1 +sin 2 ~ x') , log cos b‘= log sin (11+/') — 2Msin 2 |x"(l+sin 2 ÿÆ"),
tang P' = - to °^
tang P" =
cos(H+7') laiifl x“ cos (H +-/■)
2 logsin J- a =iogsm b sin 4'sin 2
K = a" o sin 1".
| Vain 6. s in 6' sin*Jp
} * V»in fcsin 6' sin’ \ pj
4 Vsintsinfc'sin 4
Avant de les employer, il faudra diviser les distantes linéaires x',y', x", y" par ç' sin 1", afin de les transformer en arcs. A cet effet on devra à la rigueur prendre pour log le nombre qui dans les tables V correspond à la la
titude ^90° — ~Y~) ; mais, comme les angles b, b 1 ne sont pas connus dès le commencement de l’opération, il faudra d’abord les calculer approximativement en prenant le log- ^, j.; qui convient à la latitude H du point de départ; avec leurs valeurs ainsi obtenues on cherchera celui qui est relatif à ^90° ~£~) ' P u ^ s on s cn serv ' ra P° ur con-
vertir les coordonnées linéaires en ares; après quoi on suivra la marche des calculs indiqués par les formules cidessus.
L’exemple suivant, où l’on a siipposé pour plus de sim plicité les points situés sur une sphère qui a pour rayon la grande normale sous la latitude de 45°, montrera qu’on peuttoujours éviter tous cçs longs calculs lorsqu’on veut 'obtenir ° la distance de deux points connus par leurs coordonnées rectangulaires; d’ailleurs jamais on n’aura à opérer sur des nombres aussi considérables que ceux d’où nous sommes partis.
x , =222,96S“80uest, Hfe47* 0' ONord. x- 158,956*1 Est.
y= 189,709, 8 Nord, Rayon de la sphère =6, 387,589“ y=224, 564, 7 Nord.
