ALTITUDE DES SIGNAUX ET DU SOL SUR LEQUEL ILS SONT ETABLIS

99. Lorsqu’on emploie, pour calculer les différences de niveau, des distances zénithales réciproques observées à plusieurs reprises dans des circonstances favorables , il est possible d’obtenir pour les deux points extrêmes d’une triangulation du premier ordre des résultats exacts à 2 mètres près. Si l’on veut déduire de ces calculs les hauteurs absolues de tous les points du réseau au-dessus du niveau moyen de l'Océan, ou leurs altitudes, il faudra conduire la chaîne de triangles jusqu’au bord de la mer (figure 50). Là on prendra les distances zénithales réciproques des deux si-

DK GÉODÉSIE.

gnaux S, s, afin d'en conclure la différence de niveau AB des points sur lesquels ils sont établis; eusuite, au moyen d’une échelle divisée en fractions de mètre, on mesurera, à l’époque des grandes marées, les hauteurs ah, ab, ah' du point a au-dessus de deux hàulcsPmcrs consécutives hl\ r h'h' et de la basse mer intermédiaire bb. La moyenne de ces observations fera connaître la hauteur am du point a audessus du niveau moyen (article 22) , et on en déduira pour l'altitude du sommet S au-dessus de ce plan :

. h = SA -t- AB -+- am. ■

On aura donc toutes les données nécessaires pour calculer les hauteurs absolues de tous les autres sommets de la chaîne de triangles. En retranchant de chacune d’elles celle du signal, on obtiendra l’altitude du sol sur lequel il repose. Oette distance du sommet du signal à sa base est égale à iE+dT, JT représentant la hauteur de la lunette de l’instrument au-dessus du sol. . •

‘ NIVELLEMENT TOPOGIlAPniQUE.

100. On conçoit comment à l’aide d’un niveau d’eau ou à bulle d’air et d’une mire divisée (figure 32), le long de laquelle glisse à volonté une plaque a, on peut avoir la différence de niveau de deux points A et B non visibles l’un de l’autre. On fera uhe suite de stations , comme l’indique la figure 33 , et à chacune d’elles on donnera deux coups de niveau, l’un en avant, l’autre en arrière; la. différehee entre la somme des hauteurs correspondantes aux coups de niveau d'avant et celle des hauteurs relatives aux coups de niveau d'ar-

TB AU É ELEMENTAIRE

rière fera connaître, 'Suivant son signe, la hauteur ou l'abaissement du point de départ par rapport au point d'arrivée.

101. Lorsqu’on ne peut pas faire un nivellement composé, la différence de niveau observée entre deux points a besoin , si leur distance est supérieure à 5 ou 600 mètres , de subir une correction qui dépend de la sphéricité de la terre et de la réfraction.

Supposons, par exemple, qu’étant en A (fig. .51), on aperçoive, dans la direction de l’horizontale d’un niveau qui y est placé , le voyant B' d’une mire élevée en O. Si l’on décrit du centre G de la terre avec les rayons CA, CO, les arcs AF, O a, on aura:

Différence de cuveau vrai

ou O F =

Différence de niveau apparent

ouOB'-FEl'.

Brïais le voyant de la mire ne paraît en B' que par l’effet de la réfraction; par conséquent, |a différence de niveau apparent qu’il fait connaître n’est qu’une certaine longueur O B; de sorte qu’on a':

OF = OB — FB = OB — (FB’-BB’),

c’est-à-dire,

Différence dé niveau vrai

Différence de niveau j * apparent > donnée par la mire )

/Correction^ /CorrectionX }

- de • \ réfraction / )

( correction \ de j sphéricité /

Calculons actuellement ces deux espèces de corrections: 1°. Du triangle rectangle B' AC, on tire, en admettant, ce qui est permis dans le cas actuel , que AB' = A F :

(CF + FB'f = CF â 4-XF S ; *

d’où, en négligeant la seconde puissance de F B' dans ‘le

.développement du binôme, et posant AF = K,CF=R:

Correction de sphéricité =-yg-.

Cette quantité représente, comme l’indique la relation (1), la différence entre le niveau apparent et le niveau vrai de deux points. Elle s’élèverait déjà à O” 1 , 5 1 4 pour une distance de 2,000 mètres. *

2°. Pour déterminer l’expression de B B' , nous observerons que l’angle F’ A B' — ~ C, comme formé par une tangente et une corde., et que celui qui est produit par la réfraction a pour valeur BAB' = r = nC, (article 79). Comme ils sont tous deux extrêmement petits, on peut supposer les arcs qui les mesurent proportionnels aux longueurs F B', B B',' et poser : .

fC FB'

nC — BB' ’ ' .

d’où

Correction de réfraction = 2nx Correction de sphéricité.

. Par conséquent,

Différence de niveau vrai

j Différence de niveau apparent j 1 -2/r ^ , donnée par la mire ) 2 K

Le logarithme du coefficient de K 4 est , en prenant pour R la valeur durayon moyen de la terre donnée article 118, .et en supposant n = 0,08 : logiÇj^== 2, 8195550.

» Si l’on veut actuellement avoir par un seul coup de niveau

la hauteur d’un point O (fig. 5 1 ) au-deSsus d'un autre D, on lira à quelle division de la mire élevée au premier correspond le voyant lorsqu'il se trouve dans l’horizontale du niveau placé au second; on connaîtra ainsi la hauteur O B = b. On mesurera de plus l'élévation AD=^& du niveau au-dessus du sol de D, puis on calculera la valeur du terme

'-"J " K 1 relative à 01) — K ; enfin on substituera ces di-

verses quantités dans l’équation

Hauteur du niveau au*dc3sus d où il est placé

niveau 1 ' (/ Hauteur du voyant \ .

lu sol > — * ( au- dessus du sol j — 0,000000066 ;

lacé 1 ( \oi

\«ù est élevée la mire/

et, selon que cette quantité sera positive ou négative, le point où se trouve la mire sera au-dessus ou au-dessous’ de celui où l’on a placé le niveau.

Pour une distance de 500 métrés, le dernier terme, de cette formule ne s’élèverait qu’à O^.0 165. Il résulte de là et de ce qui précède, que, si l’on veut- rendre les observations relatives à un nivellement composé indépendantes de la sphéricité de la terre et de la réfraction , il faut, lorsque les mues sont éloignées de plus de 1,000 ou 1,200 mètres, placer le niveau vers le milieu de l’espace qui les sépare.

NIVELLEMENT BAROMETRIQUE.

102. Pour oblenir la différence de niveau de deux stations au moyen du baromètre , deux observateurs placés à chacune d’elles noient au même instant, autant que pos sible, les hauteurs (H, h) du mercure dans leurs baromètres, et les températures (T, T), (t, t‘ ) indiquées par deux thermomètres, dont l’un, exposé à l’air lifue, donne celle de l’atmos-

DE GEODESIE.

phère, et l’autre, logé dans la monture du baromètre, fait connaître celle du mercure. Ces quantités étant substituées dans la formule suivante , que l’on trouve démontrée dans les traités de mécanique et dans la géodésie de M. Puissant, donneront la hauteur x de l’un des points au-dessus de l’autre.

.*= 18556-j iogï--Sô| j 1 H-ïsw) j 1 *4

Les lettres H , T, T' représentent la hauteur du baromètre et les températures à la station inférieure; h, t, t ' les quantités analogues observées à la station supérieure; /, la latitude approchée du lieu dont on veut. avoir la hauteur, ce qui est toujours suffisant, parce que son coefficient est trèspetit; enfin ç' est la longueur de la grande normale de l’ellipsoïde terrestre en ce point. .,

Comme le second membre contient x, on calcule d’abord la formule en négligeant le terme -i , puis on la calcule de nouveau en y introduisant la valeur qu’on a trouvée.

105. L’expérience a montré que le facteur ^1 est négligeable dans presque tous les cas qui peuvent se rencontrer ; mais alors il faut modifier le coefficient constant 18356; sa valeur nouvelle a été trouvée de 18395 mètres. Ainsi la formule que l|pn devra employer le plus généralement est la suivante :

|ÜT 0 ,J, Il T'-é |t T+l||. cos 2 1 1 (a) X 183.3 |log A 12500 î ) ^ + 500 j ) *. + 552,485 j*

La différence T' — i des températures des baromètres

à la station inférieure et à la station supérieure peut, dans certaines circonstances atmosphériques , se trouver négative.

104. Cette seconde formule, comparée à la première, ne donnerait que 4 mètres d’erreur environ sur une hauteur de 6,000 ; ainsi elle suffira toujours pour tous les nivellements barométriques qui peuvent intéresser la géographie.

Quelques savants prétendent que, sans faire d’observations correspondantes près du rivage , on peut avoir assez exactement la hauteur d’un lieu au-dessus du niveau de la mer. U suffit, suivant eux, d’adopter, pour la hauteur du baromètre et la température du thermomètre supposés placés au bord de la mer, les valeurs suivantes :

( t, h ayant la même signification que ci-dessus).

On conçoit qu’un grand nombre d’expériences pourrait seul faire juger de la justesse de cette assertion.

105. Les hauteurs barométriques observées ont besoin, en général, avant d’être employées, de subir deux correc tions qui dépendent, l’une, de la capillarité des tubes des baromètres, l’autre, de la variation qu’éprouve le niveau du mercure dans leurs cuvettes.

Le premier de ces effets se manifeste d’autant plus que les tubes sont plus étroits; il est tel que l’espace compris entre le niveau du mercure dans la cuvette et le sonlmet du ménisque de la colonne barométrique est toujours moindre • que celui qu'on observerait si la capillarité n’existait pas.

Cette double correction ést nulle dans les baromètres de

Gay-Lussac. Ils sont formés, comme on sait, de deux tubes de même diamètre, réunis par un troisième qui est capillaire. Celui qui communique avec la partie inférieure de ce dernier est percé, vers sa partie supérieure, d’une très-petite ouverture destinée à donner passage à l’air , én sorte qu’il fait office de cuvette. Il résulte de celte disposition de l’appa- ' reil que, si l'on y adapte deux échelles dont les zéros , placés entre les surfaces du mercure, coïncident, on aura la hauteur réelle de la colonne barométrique en faisant la somme .des hauteurs apparentes du mercure, dans le tube et dans la ouvelte. .

On peut encore, avec les baromètres de Fortin, s’affranchir des deux corrections que nous avons signalées. Il suffit pour cela de soulever, à l’aide d’une vis de pression, la paroi inférieure de la cuvette, qui est en ,c.uir, juSqu’à ce que la surface du mercure atteigne une pointe d’ivoire fixée à la paroi supérieure et de laquelle part le zéro de l’échelle. * ,

Cette pointe est disposée de telle sorte que la distance a b (lig. 12 bis) de son extrémité inférieure au plan horizontal 1 1, tangent à la surface/du merçure dans la cuvette, est égale 5 la dépression a' b' que produit la capillarité dans

le tube. • ...

Si elle n’était pas placée convenablement pour compenser cet effet, on aurait recours à la table II, calculée par M. Bouvard, membre du bureau des longitudes.

Supposons, pour en montrer l’usage, qu’une hauteur apparente a a' de la colonne barométrique ait été trouvée de 762 m, ",98-avec un baromètre qui avait un tube de 1 l“ m ,00 de diamètre, et dont la pointe d’ivoire se trouvait A une

distance ac =? 5““, 00 de la paroi intérieure de la cuvette.

On trouvera , avec notre table , qu’à un diamètre de 11“ correspond une dépression de -+- 0"“,55, et que le bout d'une pointe disposée comme on vient de le dire se trouve au-dessous du plan horizontal 1 1 , tangent à la surface du mercure, d’ùne quantité égale à l’effet produit par la dépression de ce liquide dans un tube de 14"‘°; or, celui qui est dù à un tube de ce calibre équivaut à 0“, 16 ; par conséquent on a :

Hauteur vraie bb' de la colonne -j 7 ^ 2 ° 98+0 55-0 j 6 1 =7 65 m ”“, 1 5.

106. Lorsque la paroi inférieure de la cuvette ne sera pas mobile, on emploiera le procédé suivant pour calculer la correction relativeàla variation du niveau du mercure : Désignons par d et D les diamètres intérieurs du tube et de la cuvelte, et par H' la hauteur de la colônne barométrique lorsque.lp niveaudü mercure de la cuvette est au zéro de l’échelle. Si ce liquide s’élève dans le tilbe à la hauteur apparente H", c’est qu’il en est sorti de la cuvette une certaine quantité représentée en

-J , on par TT x f - J -, par conséquent le niveau s’est abaissé dans la cuvette au-dessous du zéro , de la quantité

La hauteur vraie de la colonne sera donc , en ayant égard à la capillarité du tubo :

H = H" - 1 - Dépression relative à d 4 - (H"— H 1 ) ■

Le dernier terme sera positil ou négatif, selon le signe

' - DE GÉODÉSIE. . Î59

de il" — H' , et d’autant plus petit que le diamètre de la cuvette sera plus grand relativement à celui du tube.

On donnera, à l’article 167, une .application de la formule (a), et on indiquera les précautions à prendre pour arrivée à ' des résultats satisfaisants. .