CHAPITRE IX

* EXPRESSIONS ANALYTIQUES DES DIFFÉRENTES LIGNES DE L'ELLIPSOÏDE DE RÉVOLUTION , EN FONCTION DE LA LATITUDE.

113. * Lorsqu’on veut employer les dernières formules du chapitre précédent , il faut d’abord obtenir la valeur des rayons de courbure p et p’ du méridien et de la perpendiculaire , en fonction de la latitude du point connu A ( ligure 35), supposé l’origine des coordonnées. Or, dans les courbes du, second degré , ce rayon est , comme on sait , représenté généralement par

n désignant la longueur de la normale terminée au grand axe et -j la moitié du paramètre.

Dans le cas actuel on a :

et

sin II

Cette dernière valeur devient

en mettant au lieu dey l’expression qu’on déduit de l’équa-

tion du méridien (article 109), lorsqu'on y remplace a: par sa valeur

DF = AD cos H =r

a cos 1 1

(t-e a sin’ll)*

Le rayon de courbure du méridien 4 A X sera donc, par la substitution des ces quantités dans la première équation posée ci-dessus :

Ç (1 -«’sin’H) * ‘

114. * Passons actuellement à la recherche de celui de la section perpendiculaire Z'AMZ'.

Si, dans l’équation précédente, on fait H = 90°, on aura pour la valeur du rayon de courbure au sommet du petit axe :

Or le plan mené par la normale AB, perpendiculairement à celui du méridien Y A X, coupe le sphéroïde terrestre suivant une ellipse Z'AMZ' A' dont A est le sommet du petit axe ; par conséquent , le rayon de courbure de cette section perpendiculaire sera en ce point, d’après l’observation précédente , en désignant par a', b' les demi-axes et par e' le rapport de l’excentricité au demi-grand axe :

Pour déterminer a' et b' cherchons l’équation de la section Z'AMZ' A' relativement aux axes BY', BZ'.

Le sphéroïde a pour équation, quand on prend pour axe de rotation celui des Y :

Or les coordonnées d'un point quelconque M de la section dont il s’agit, sont, dans son plan :

BC=y, BD = z\

et celles de ce même point considéré' sur le sphéroïde ont pour valeurs, en fonction des précédentes :

MN = CE=j=/ sin H,

OE = x = OB -+- BE = p -+- y' cos H ,

BD = z*.

Par conséquent, si on les substitue dans l'équation (1), on aura pour celle de la section perpendiculaire Z'A M Z 'A' rapportée aux axes BY', BZ' :

(l-e s cos 2 H)/ 2 +2 p cos H ( 1 -e 2 ) / + ( 1 -e 2 ) z' 2 = ( 1 -e 2 ) (a 2 -p 2 ).

Faisant disparaître le’second terme par la méthode connue en algèbre , c'est-à-dire en posant :

p cos II ( 1— e*) 1-e* cos*H '

ce qui revient à placer l’origine des axes en un point b de celui des Y', on aura, après les réductions :

(l-e 2 cos 2 H)y 2 + (l-e 2 )z 2 = t e . co THl

d’où , en posant successivement y" = 0, et z' = 0 :

(l-**cos’H) (a'-p*) cos* H ( t — r* ) 1 — ** cos* H

(l-«*)j(Wcos*H)(a>V)-*-/>*cos*H(l-<*)| y 6 (1 — e*cos*H)*

et par suite

g»— t' 1 sin 1 H

a* 1— r*COS*H •

La valeur de a' 2 dépendant de p 2 , cherchons d’abord cette quantité. On a :

• p = OE — BE = g — y cot lï = — T ;

r J (t— c’sin’H)»

d'où

" — 1— «WH

Introduisant cette expression dans celle de a' 2 , on en tire après les réductions :

(l-**>in*U) (1-**co5*H) ’

par conséquent,

(1— ,'.in-ll| fl — .'cn.'H)

Ç * „ «•* .in* H ’

* i .1 in

donc enfin

Ç ( 1 -e’sin’H)» '

On peut remarquer que cette valeur est la même que celle de la normale AD = N (figure 34), terminée au petit axe.

LIGNES PRINCIPALES DE L’ELLIPSOÏDE DE REVOLUTION , ET FORMULES DIVERSES.

Rayon

de

courbure

/ du méridien P= — “ ^ ^ , ,

I ç (î-tWHyî

d’une section perpendiculaire au méridien, ou longueur de la normale terminée au pe-

tit axe

d’une section qui fait un angle z avec le méri-

PP

p’sin ’z-+-p ’cos a cos H

dien

Rayon d’un parallèle (l «* ' *Htf

Rayon OA de la terre (ligure 54). . R'=aj

log ç=log( 1— e 2 )+log a + 5 M - ( 1 ,

l i i «’sin’HN

•»g Ç = +log a+ M — (1 +— — J -,

log (l+c 2 cos 2 H)= + Me 2 cos 2 H^l .

116. Ces trois dernières formules, dans lesquelles le module M = 0,4542945, slobtiennent aisément à l’aide des séries logarithmiques (d') données à l'article 7. Pour les appliquer, il faut connaître les valeurs de e i et de a. Or, si l'on désigne par a , l'aplatissement de la terre , c’est-à-dire le rapport entre la différence des axes a , 6 et le grand axe , on aura :

d’où

Mais d’une autre part

donc

et par suite

117. En comparant entre eux les longueurs des arcs du méridien mesurés en France et au Pérou , Delambre a trouvé que l’on devait adopter pour valeur de a la fraction m ‘ K - = 0,00522945 dont le logarithme est :

log a =7,5091290.

Dans cette hypothèse le quart du méridien a pour longueur en toises :

Q = 51311 1 1‘, 4, * IogQ = 6, 71021141,

ou en mètres , en prenant pour unité de longueur le mètre légal qui vaut 443 K *"**,296 :

Q t= 10000722", log Q = 7,00003134.

Si l’on substitue actuellement pour a et-Q les valeurs précédentes dans les formules suivantes :

log a = log —

. . x . 2Q Ma Ma*

log t = log — 2 ÎT

Ma*