RATIONS GÉODÉSIQUES

119. Si l’on devait lever la carte d’une côte très-accidentée, ou d’un archipel composé d’un grand nombre de petites îles , il serait possible qu'on ne pût pas trouver un terrain convenable pour y mesurer une base; on choisirait alors deux sommets visibles l’un de l’autre et situés , par rap port aux points principaux de la côte ou de l’archipel, une distance convenable pour former des triangles. On déterminerait par des observations astronomiques les positions géographiques des signaux qu'on y aurait érigés ainsi que l’azimut de l’un sur l’horizon de l’autre, puis on calculerait leur plus courte distance en mètres par la méthode suivante :

Soient A et B (figure 54), deux lieux du sphéroïde terrestre connus par leurs latitudes II, II', et leurs longitudes P, P', et situés en outre à une distance l’un de l’autre qui ne dépasse pas un degré. Abaissons de B sur le méridien de A l’arc perpendioulaire B M , et désignons par n", x", y" les arcs A B, B M, A M considérés sur la sphère dont le centre serait en D ", milieu de la distance D D' interceptée sur la ligne des pôles par les normales qui correspondent sur le sphéroïde aux points A et B; de plus appelons Z et z les

angles en ces points. Cela posé dans le triangle sphérique A M B rectangle en M , on a , vu la petitesse de ses côtés relativement au rayon terrestre, et le peu de différence qui existe entre Z et z :

x" = u" sin Z , y" = u" cos Z.

On tire de là , pour évaluer l'azimut de B sur l’horizon de A compté du sud vers l’ouest :

tan g Z = yr.

Tout se réduit donc à connaître x" et y”.

Or les méridiens de A et de B interceptent, avec le plan AD" B, sur la sphère que nous avons décrite, le triangle BCA dans lequel on a :

CA = 90°— AD"e = 90° — h,

CB = 90“ — BDV = 90“ — h', CAB = 180° — Z,

AB = u", . BCA = P' — P.

En substituant ces quantités dans les relations générales

sin BCA sinCAB sin AB sin CB ’

(a) cos CB = cos CA cos AB -+- sin CA sin AB cos A,

on en déduira les équations Suivantes parle procédé employé article 108 :

p< p 5inZ

COS h * •

. h' = h- u" cos Z - ---j — ( a " sin Z) ! tang h\ et de celles-ci on tirera :

x"=tt" sinZ = (P'- P) cos h 1 , y" = a" cosZ=/i-è'--^-x" 2 tang h.

Lorsque les angles h, h' seront connus, on calculera l’azimut Z à l’aide de ces valeurs de x", y", puis ensuite on se procurera u" par l’un/î des équations

“ sinZ ’ “ cos Z'

Si l’on représente actuellement par K le nombre de mètres contenus dans cet arc, parx et y les coordonnées linéaires de B par rapport à A exprimées en unités de la même espèce, on aura, pour les déterminer, les relations :

• K — a" ç' sin 1", x = x" ç' sin 1", y =j" ç’ sin 1",

dans lesquelles le rayon ç' de notre sphère est à fort peu près égal, comme on peut le voir, à la longueur de la grande normale qui passe parla latitude moyenne des deux points; ainsi la valeur qu’on devra employer est celle que donne la formule suivante - ;

Cherchons maintenant à exprimer h, h' en fonction des arcs donnés H, H 1 . Avec un peu d’attention on voit que les triangles h AH, H' B h.', situés l’un dans le plan du méridien P A E , l’autre dans celui du méridien P BE', donnent :

h = ü — D"AD, h‘ = ü' -t-D'BD';

de plus, comme la distance des deux points est supposée ne pas dépasser un degré, oni a à fort peu près l’angle

ICO TRAITÉ ÉLÉMENTAIRE

D"AD = D'BD"=| = A e 2 (sin H — sin H ) cos H' (page 143);

ou bien , en transformant au moyen de la seconde des formules de la page 8 , et ayant égard au peu de différence qui existe entre H et H' :

y = t e 2 (H — H') cos 2 x (H-t-H').

Par conséquent, les valeurs d eh, h' qu’il faudra substituer dans les équations ci-dessus sont :

4 = H — a e 2 (H — H') cos 2 a (H -t- If), h‘= H'-t- A e 2 (H— H') cos 2 A (II -H H').

120. L’erreur qui existera sur la longueur d’une base ainsi déterminée ne dépendra que de celles des observations astronomiques ; car l’expérience démontre qu’une distance de 80,000 mètres environ est la même à 2", 34 près, lorsqu’on la déduit d’une triangulation ou quand on la calcule par la méthode précédente, au moyen des latitudes et longitudes de ses extrémités fournies par la géodésie.

121. On aura soin de choisir les deux termes de la base aussi loin l’un de l’autre que les localités ,et le but qu’on se propose le permettront; en un mot, on fera en sorte qu’aucun côté des triangles à former ne soit plus grand quelle, si l’on veut ne pas s’exposer à introduire dans leur détermination des erreurs plus fortes que celle qui provientdes observations au moyen desquelles elle a été obtenue.

Il ne faudra pas employer dans les calculs des triangles

DE GEODESIE.

l'angle Z à l'aide duquel on l’a déterminée. Pour orienter le réseau trigonomé trique, on partira de la valeur de cet angle fournie par les observations astronomiques, et on s’en servira pour calculer les distances de l’autre extrémité de la base à la méridienne et à la perpendiculaire du point où il a été observé. Les cooi données rectangulaires , et les positions géographiques des points remarquables de la côte ou des îles dont se compose l'archipel qu’on veut reconnaître, s’obtiendront ensuite par les procédés ordinaires (articles 71 et 112).

122. Si la longitude de l’un des points, de B, par exemple, n’était pas connue, que l’on se fût contenté d’observer seulement H, P, H' et l’azimut Z compté du sud vers l’ouest , on obtiendrait la base a" = A B par la relation

sin h' = sin h cos a — co.s h sin a cos Z ,

que donne l’équation (a) (page 158).

On emploiera pour dégager a un angle auxiliaire f déterminé paé le rapport

tang h

et on aura

tang ip :

cos Z

. . . «in A'

sin le — « ) — — • ■ sin e.

» ' sin h T

La valeur de a une fois trouvée , on la convertira en se? condes, puis on calculera . comme ci-dessus la distance linéaire K que l’on cherche , par l’équation . ;

K = u" a sin 1".

123. Si l’on n'avait observé que les angles H, Z et P' — P=p, il faudrait commencer par se procurer II' en fonction de H. Pour cela menons la droite B D, et considérons pour un instant le triangle CAB comme appartenant à la sphère décrite avec la normale A D = BD à fort peu près; on aura (pages 142 et 144), en observant qu’on peut prendre cos s II ;= cos 2 -A (II — t — II" ) à cause du peu de différence qui existe entre II et II".:

H' = H" -fi, ■ fi = e 2 (H-H") cos 2 -j- (.H+H"),