L’usagfe qu'on fait des caries dans la navigation

consiste principalement à tracer le rumb de vent suivant lequel il faut se diriger pour aller d’un point à un autre , et k connaître la longueur du chemin parcouru : il importe donc d’avoir une projection qui donne immédiatement ces deux choses. . " - . •-

On a d'abord imaginé les cartes, plates où la sphère est développée en un rectangle qui a pour base la longueur de l’équateur, et pour hauteur la moitié du méridien. Par ce mode de construction , les degrés des méridiens conservent leur grandeur réelle, mais ceux des parallèles sont fous égaux aux degrés de l’équateur. De là résultent deux graves inconvénients : 1° le rapport entre les degrés des parallèles et ceux du méridien pris sur la carte n’étant pas le même que sur le globe , la ligne qui joint deux points sur la carte n’indique , par l’angle sous lequel elle coupe les méridiens, le rumb de vent qu'il faut suivre pour aller de l'un de ces

points à l’autre , qu'autant qu'ils sont tous deux placés sur le

même méridien ou sur le même parallèle ; 2° dans les routes

oldiques, ou dans celles d’est et ouest, le chemin paraît •

plus long d’après la carte qu'il n’est réellement; elle n’hi-

dique sa véritable longueur que lorsqu'on a navigué sur un

même méridien ou sur l’équateur.

Projection de Mercator.

155. Les cartes réduites, dont l’invention est due, à Mercator, ont l’avantage de parer aux deux inconvénients que nous venons de signaler. Dans leur construction on donne la ipême longueur à tous les degrés des parallèles,

(celle du degré de l'équateur); mais, comme elle diminue en réalité à mesure qu’on avance vers le pôle , on augmente . les degrés correspondants de latitude de manière à ce que le rapport entre la grandeur d’un degré de parallèle et celle du degré de méridien correspondant , pris tous deux sur la carte, soit le même que celui qui existe entre ces deux longueurs prises sur le globe.

Nous allons nous occuper de calculer ce rapport en ayant égard à l’aplatissement de la terre. Soient Je, et dp les éléments de l’équateur et d’un parallèle compris entre les deux mêmes plans méridiens (figure 58), db! l’élément d’un de ces méridiens correspondant kdp; a, r les rayons de l’équateur et du parallèle, on aura : •

, d p «= — de;

et le rapport entre dh' et dp sera exprimé par

ilh' J h' a

dp de r ‘

Si nous désignons actuellement par d h la longueur que doit avoir sur la carte l'élément dh! lorsqu’on y représente dp par de, nous aurons, pour le rapport entre les éléments du méridien et du parallèle de la carte, l’expression j - e ; comme il doit être le même que celui qui existe réellement , on posera i

dU dh' . dh.' a

Je dp ~~~ de * r ’

d’où

(1) dh = dh' X -y .

Le petit arc dh' s'obtiendra facilement si l’on observe qu’en un point A du méridien (figure 54), dont H est la • latitude, on a :

le signe moins indiquant ici que l’on suppose l’origine de l’arc h' à l’équateur; car, dans ce cas, il croît lorsque x diminue.

Cela posé , de l'équation du méridien ( article 1 09 ) on tire :

et celle-ci devient , en remplaçant x et y par leurs yaleurs trouvées ^ page 146):

Par suite

dh 1 —

Ÿ - — — oot H. • d*

dx( 1 +cot a H)* = —

ou bien r en substituant pour dx sa valeur déduite de la différentiation de x par rapport à H :

dh , = *Wd «

( l-e’sin'H)»

Introduisant dans l’équation différentielle (1) cette valeur de dh', et celle du rayon r du parallèle donhée à l'article 115, elle prendra la forme : • .

a(l— VH a o(l— *VH

dh=

cosH(l — t’ ain’H)

Pour l'intégrer multiplions e 1 par sin 2 H-+-cos J H= 1 , nous aurons :

,, cos H JH «cosH<m

d/i = a — r^n- — ae ■

1 — sin’H

l-^sinMI •

d’où, en prenant les intégrales entre l’équateur et la latitude H: »

» /■ (/sinll / rf(rsinH)

h = a J T^ïï ~ ■

Les calculs de l'intégration étant effectués, on trouve:

Or, en vertu de la première des relations (8), page 7, et de la troisième des relations (b'), page 14, on a :

~ï~ — sin ~~ H ~ ~~ tan 8 2 ^45 -t- y J ■

I / 1 -4-e sinH \ „/ . „ (« sin H) 5 \

L °g VT — f sinH / ~~ 2 v Sln H +

donc

h = n | l,og tang (45°-t- y^ — c* sin H — ***”’ H j.

En exprimant en minutes le rayon a de l’ équateur et convertissant le logarithme hyperbolique en logarithme vulgaire, on dura enfin :

* x m l°g tang(45"+y) — (c 5 sm H+— y- ).•

Dans cette formule, dont le premier terme convient à la sphère, le module M = ; — — p-tT; =0,4542945.

J log nepenen de 1 0

154. Les tables de latitudes croissantes de Mendoza ont été calculées sur cette formule dans l’hypothèse d’un aplatissement «=^=0,005115. La différence quelles donnent avec celles qu’on obtiendrait pour ee = ^ est sans importance, car, sur la longueur d’un arc de méridien compris entre l’équateur et le parallèle de 82°, elle ne s’élèverait qu’à 1', 12.

Si l’on représente par une longueur quelconque la minute de l’équateur, on aura de suite avec ces tables le facteur par lequel il finit multiplier cette valeur pour obtenir la grandeur de la minute de latitude croissante correspondante à une latitude connue; car la longueur qu’on veut donner sur la carte à la minute de l'équateur étant désignée par m millimètres, par exemple, l’expression de celle d’une minute de latitude croissante à la latitude H sera , en appelant n, n' le nombre de minutes de l’équateur contenues dans des arcs de H° + 10', H°- 10 :

Longueur d’une minute de latitude sur la carte = -^j~x m.

Dans les cartes particulières du Pilote français la minute de l’équateur, c’est-à-dire m, est représentée par 0",0271, et dans les cartes générales par 0 m ,0103; ou, en mesures anciennes, par un pouce et 0 P ,581:

135. On pourra donc actuellement tracer avec facilité les méridiens et les parallèles de la carte, de degré en degré, ou de minute en minute; chaque point se placera ensuite graphiquement sur cette projection par sa latitude et sa longitude au moyen du compas de proportion.

Avant d’y rapporter les détails topographiques et les sondes, qui se trouvent sur les divers plans de construction, on commencera par marquer les points d’intersection des droites qu'on a menées sur chacun d’eux parallèlement à la méridienne et à la perpendiculaire; puis, dans les quadrilatères ainsi formés , on réduira par les méthodes graphiques connues les détails que renferment les carrés correspondants du plan.

On se contente ordinairement de ne calculer en latitude . et longitude que les intersections distantes de 6,000 mètres les unes des autres; pour obtenir les positions géographiques de celles qui sont comprises dans ces can es de 6,000 mètres de côté, on partage sur la carte, en trois parties égales, les côtés des quadrilatères correspondants et on mène des droites par les points de division opposés; les positions données par leurs intersections mutuelles ne différeront pas du résultat qu’aurait fourni le calcul , vu l’échelle de la carte.