ÉQUATION DE LA LOXODROMIE

156. La courbe que l'on suit en mer pour se transporter d’un lieu à. un autre a, comme on sait, la propriété de couper tous les méridiens sous un même angle ; c’est donc une spirale qui s’approche continuellement du pôle en le contournant à l’infini : on la nomme loxodromie.

Pour calculer son équation sur le globe supposé sphérique, considérons deux de ses pointp B et A infiniment rapprochés, l’un de l’autre (figure 54 )v et désignons par R' l’angle constant CBA, compté du nord, qu’elle fait avec chaque méridien. Si l’on mène le parallèle B b , on formera le triangle rectangle élémentaire AèB, qui donnera, en appelant a le rayon de l’équateur, d P l’arc Ee, mesure de l’angle A C B , dH l’accroissement de la latitude H quand on passe de B en A :

dP cot R' = a

dH

cos H

d sin H * l-sin'H ’

parce que B b = d P cos H.

Si l’on intègre chaque membre, et qu’on prenne l’intégrale depuis le point B qui a pour latitude H' et pour longitude P , jusqu’à un point quelconque A, dont H et P sont les coordonnées géographiques, on aura pour l’équation cherchée, par rapport à l’équateur et au méridien d’où l’on compte les longitudes :

* ung («•+")

(P-P'l cot R' = fl Log ) £4

V ' b Ung («•-+- 4 - \

DE GEODESIE. 177

Lorsque R'=o ou 180°, elle - se réduit à P — P— o , ce qui nous indique que la courbe ji’est autre que le méridien du point B.

Quand R 1 = 90° elle devient:

tang ^45" -t- -5-)

Log-

uuig ^45” -t- ,

et ne peut être satisfaite que pour l'hypothèse Hz=?Fl'. La courbe représente doue danj ce cas le parallèle ù l’équateur qui paisse par le point B ; elle serait l’équateur lui-même , si . l’on avait en même temps li'== o.

, Pour, obtenir l’expression, de l’afe P — P' en minutes, on remplacera le rayon à de la terre par sa valeur en minutes; on aura alors, après aVoir converti le logarithme hyperbolique en logarithme vulgaire (article 7, séries n'), et cal-

culé le lacteur numérique — j- — x— :

tang (45' H — 5-1

L’angle H sç calculerait avec l’équation a

logtan g (45 < ’+")=- 75T ^

l°g tan g(45 0 +y).

,705 rang R'

qui se déduit de la précédente, •

La longueur de la partie de la courbe, comprise entre deux points sera donnée par l’intégration de l’équation

rfH == ds cos R',

que donne le triangle A b B.

Si l’on observe que quand H’ =H on a s = o, on en tirera pour l’are compris entre deux points connus :

S cos R 7

Il restera ensuite 4 multiplier par a sin 1" la valeur en secondes de cette quantité, si on veut l’avoir en mesures linéaires. i

Lorsqu’on donnera quatre des six quantités II, H', P, P', R', s qui entrent dans les équations (1) et (2), il sera facile de se procurer les deux autres ; elles peuvent donc servir à résoudre toutes les questions relatives au pilotage.

Si l’on introduit dans l’équation (a) la base du système des logarithmes népériens, et qu’on développe tang f 45? J au moyen de là seconde des relations (8), page 7 , elle prend la forme suivante après les réductions : »

tan &T^ 1

- col R*

âng r