Proposons-nous maintenant de déduire x de l’équation

log tang (fl + x) - log tang a = r = ‘±pp. (i ;

On regardera x comme une fonction de p ; et puisque ces deux quantités deviennent nullesen même temps, on aura, en recourant au théorème de Maclaurin ,

•*■ = ($)/’ + S?) » + S?) h + etc- 1

série dans laquelle les coefficients différentiels doivent correspondre à a?=o. Mais en général , par les différenciations successives, l’équation (i) donne

= îcos (aa -+■ aa?).^ = sin [J\a -4- ,

= 4 cos (4« -t-4^)> ^ = 4sin (a<z -+- aa?) cos (4^ -H 4*2‘) > etc. ;

par conséquent, en faisant x = o dans ces coefficients, il vient définitivement

x = p sin ia -h ^ sin 4 a sin ia cos 4 a -+- etc. (a)

Si l’on avait à résoudre l’équation

log sin (fl + x) — log sin a = r, (3) on ferait r = pp cot a, et en passant aux différentielles successives, on

tang [a -+- x) cot a ,

dx cot a

dp * cos* (a-hx) 1 d*p cot a

dp 2 cos * (« H- x)

aurait

dx

dp ~~ dxx dp* ~ d*x dp 3

2 cot sin(<7 -+- x)

COS3(fl-t-x) ’

mais comme il faut ensuite faire x = o, dans ces coefficients différentiels, on a plus simplement

/<£r\ ^ /' d*x \ 2 /<Px\ 2.1 4 • 2 sin * a

\dP/ ’ 1 / sin 2a ’ \ dp* ) sin * . la sin*2a ’

de là

JL- + -X-(

sin2ar 3sin*2« v

en se bornant aux termes en p3.

103. Les deux questions que l’on vient de traiter sont relatives aux tables trigonométriques. 11 en existe d’analogues pour les tables des nombres ; les voici :

Soit log A un logarithme donné , dont il faut trouver le nombre A correspondant, au moyen de grandes tables de logarithmes. On choisira , parmi les logarithmes de ces tables , celui dont les quatre ou cinq chiffres décimaux soient communs avec log A , et l’on aura

log A = log a H- r.

Passant de là aux nombres , il viendra

A = aekr ,

e désignant le nombre dont le logarithme hyperbolique ou népérien = i , et k étant le module qui sert pour passer des logarithmes ordinaires aux logarithmes hyperboliques, c’est-à-dire que .

* = ; = ^434^ = î>3°258 • • ; ainsi .

A - a = a(e*r - i) = aekkr {e'kr - e~ikry, mais en général

r .2. 3. 4 CtC

- ^—7 — etc,