LIVRE DEUXIEME

conséquemment ,

A-a = akr.el'kr 1+1

■ ~wm

■ etc.^ ;

enfin , prenant le logarithme vulgaire de chaque membre , on a

log(A - a) = log (akr) + |r-t- Ara — TâTô^V4 -h etc. (5)

S’il s’agissait de la formule

log A = log a — r,

on aurait cette série ,

log (fl — A) = log [cikr'j — -^kr* — 23V0AV -4- etc. (6)

La convergence de ces deux séries permet le plus souvent de s’arrêter aux termes en r.

104. On résout analytiquement le problème inverse avec la plus grande facilité. En effet, soit A un nombre donné, dont on demande le logarithme exact jusqu’à la quatorzième décimale : on choisira, dans les grandes tables, un nombre a qui ait les cinq premières figures communes avec A , et l’on fera

après quoi l’on aura

logA = logfl + ft(^ — -H-Sgi - etc.). (7)

On suppose, dans cette circonstance, que l’on n’a à sa disposition que la table ordinaire des logarithmes à vingt décimales, pour tous les nombres depuis 1 jusqu’à 1 161 ou 1200; alors, pour trouver le nombre æ, on cherchera dans la Table des diviseurs les plus simples des nombres, par Burckhardt, un nombre très-peu différent de celui qu’expriment les quatre ou cinq premières figures de A, et dont les facteurs soient plus petits que 1161, afin que leurs logarithmes puissent se trouver dans la table avec toute l’exactitude désirable.

i44 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

105. Un autre problème non moins important à résoudre est celui-ci: Étant donnés séparément logB et logC, trouver le logarithme de B -p C ou celui de B — G, c’est-à-dire réduire deux termes à un seul.

Supposons G < B; on fera g = A, et l’on aura log A = log C — log B, log (B + C) = log B -+- log (i A).

Maintenant soit a un nombre fort approché de A, et dont le logarithme se trouve dans les tables , ainsi que log (i -+- a) ou log (i — a) ; on aura

log A = log a ± r,

r étant un très-petite quantité qu’il faut déterminer avec beaucoup de précision. Si l’on passe de là aux nombres, on aura, comme ci-dessus,

ou bien par suite,

A = ae!yr,

i + A = H- aekr H- a — a; i + A = (i -+- a) [i - (j^) (i - «*’■)]•

Soit b = ; on pourra écrire

i + A = (i+fl)[i — b (i — e^)];

et prenant les logarithmes vulgaires de chaque membre , il viendra l°g(i + A) = log(i H- a) — [xb(i — e*r) — p ^-(1 — e*r)* — etc., pétant toujours le module 0,434^9448- Mais

ekr = i 4- kr-\- etc. ;

on a donc , à cause de [xk = i ,

log (i + A) = log (i -f- a) ±l br -4- — ~ ^ kr* ±. etc. ; (8)