LIVRE DEUXIÈME

et si l’on fait b = — — , on aura de même

log (1 — A) = log (1 — a) br — kr 2 rp etc. (9)

Pour des tables ordinaires à 7 décimales, il suffit de tenir compte du terme en r. Legendre pense qu’à l’aide de ces dernières on peut calculer aisément toutes les formules trigonométriques à deux termes , parce que l’on évite l’emploi des angles auxiliaires, qui allongent souvent les opérations numériques. C’est pour cette raison que nous sommes entrés dans quelques détails à ce sujet.

106. On peut substituer à ces formules particulières d’interpolation une formule générale qui dispense de connaître la loi d’après laquelle se forment les termes successifs des tables.

Soient A, A', A", A'", etc., les termes consécutifs d’une série correspondants aux indices en progression arithmétique ou par différences, a, a h, a ih, a-\- 3//, etc. ; on aura un terme quelconque y ou A(W) correspondant à l’indice a -y nh par la formule suivante , démontrée à la page 591 du Traité élémentaire de Calcul intégral, par M. Lacroix (5e édition), savoir:

AH= A + nSk + Ifepdj» A + j

dans laquelle dA., <^2A, d*A, etc., désignent les différences ire, 2e, 3e, etc., de A, supposées continuellement décroissantes et positives. Lorsque les tables ne donnent que les différences premières, il faut, par des soustractions successives, former les différences ultérieures; après quoi l’on évalue les termes de la série précédente, en poussant l’approximation jusqu’au degré de précision que comportent les tables. Si, par exemple, on employait celles de Vlacq qui sont à to dé- I. V *9

i46 TRAITÉ DE GÉODÉSIE.

cimales, il suffirait de n’avoir égard qu’aux différences secondes; ainsi

l’on aurait simplement

A(IJ) = A + n ^A c?2A^ , (i i)

et de là, en faisant A(/l) =jr , on tirerait

<ÎA-

c’est-à-dire que pour trouver n parle moyen dey, on négligerait d’abord au dénominateur le terme du second ordre n ^ 1 <^a A, pour avoir une

première valeur approchée de n qui serait n =^~ A, et à l’aide de laquelle on évaluerait d’une manière suffisamment exacte le terme négligé. Ensuite on déterminerait une seconde valeur de n par la formule entière (12): elle représenterait alors le véritable indice cherché, et l’on n’aurait plus qu’à évaluer la variable a-\-nh correspondante à la quantité j donnée. De cette manière on obtiendrait dix décimales pour les logarithmes et dix chiffres significatifs pour les nombres.

107. Ier Exemple. Supposons qu’on demande l’angle A (w) donné par la valeur logsin A(#0 = 9,55797 90661 2900, et qu’on ait à sa disposition les grandes tables de la Trigonometria britannica calculées pour des intervalles d’un centième de degré; on verra tout de suite que l’angle A (/0 est compris entre 2i°,i8 et 21 °, 19.

Soit donc a = 210, 18; on aura immédiatement, à cause de la relation (3) ,

logsina = 9,55786688653682, mais log sinA(/0 = 9,5579790661 2900;

ainsi , différence r = 1121 795 9218.

Maintenant calculant seulement les deux premiers termes de la série (4).