CHAPITRE Y III

DE LA MESURE DES BASES, DES MOYENS d’en RAMENER LES LONGUEURS A UNE TEMPÉRATURE UNIQUE , ET DE LES RÉDUIRE AU NIVEAU DE LA MER.

441. La mesure des bases est une des opérations les plus délicates et les plus importantes de la Géodésie, lorsqu’il s’agit de déterminer rigoureusement les côtés d’un réseau trigonométrique. Il est essentiel que les bases soient, sinon les plus longues possible, du moins en rapport avec les côtés des triangles auxquels elles appartiennent ; qu’elles soient établies sur un terrain de niveau , ou plutôt que les lignes géodésiques qui les représentent soient situées dans des plans verticaux , et fassent par conséquent partie des grands cercles de la Terre ; que leurs longueurs soient déduites d’une unité de mesure parfaitement connue et ramenée au même état de température ; car on sait que les métaux , les bois , etc. , passent par differents degrés de dilatation ou de contraction lorsque la température de l’atmosphère varie ; enfin , il importe que ces bases soient projetées sur une surface unique, telle que celle de la mer.

Les règles qu on emploie dans la mesure des bases sont de métal , ou de bois, et représentent un multiple de l’unité de mesure, du mètre par exemple; elles doivent être étalonnées avec la plus scrupuleuse attention, c’est-à-dire comparées à cette unité, afin d’en connaître exactement les longueurs. Lenoir, qui fut un de nos plus habiles artistes, imagina pour cet effet un instrument nommé comparateur , parce qu’en superposant deux règles appuyées par un de leurs bouts sur une pièce d’arrêt de cet instrument , les plus petites différences qu’elles pré-

sentent à l’autre bout sont agrandies et mesurées avec une extreme précision , sur un arc de cercle gradué. On peut en voir la description et l’usage dans le 3e volume de la Base du Système métrique décimal , p. 447 -

Nous venons de faire observer que l’influence du calorique sur les corps se manifeste par l’augmentation ou la diminution de leurs volumes, et Borda a trouvé que par chaque degré du thermomètre centigrade, le platine se dilate de o,ooooo8565 dans chacune de ses dimensions, le fer de 0,0000 n 56, et le cuivre jaune de 0,00001783; mais pour l’objet actuel , la dilatation linéaire des règles est la seule qu’il importe de connaître, afin de pouvoir prendre pour longueur d’une base celle qui répond à une température unique adoptée pour terme de comparaison.

Supposons, dans la vue de fixer les idées à cet égard, qu’une réglé de cuivre , étalonnée à la température de 1 o degrés du thermomètre centigrade, ait été trouvée précisément de même longueur que la règle de platine soumise à la même température , mais 11e représentant le mètre qu’au terme de la glace fondante ; supposons en outre que 1 on ait mesuré avec la règle de cuivre une longueur R à la température moyenne de 180, on saura combien cette longueur contient de mètres ainsi qu’il suit :

Désignons d’abord par dilatation absolue la dilatation totale et linéaire qu’une règle de métal , d’une longueur déterminée, acquiert en passant d’une température quelconque à une autre plus haute : désignons de plus, dans les mêmes circonstances, par dilatation relative l’accroissement de longueur évalué en parties de la règle prise pour unité, au terme de la température la plus basse.

Cela posé , si P et C sont les dilatations relatives du platine et du cuivre , pour chaque degré du thermomètre centigrade , et que oc soit le degré de température auquel il faut ramener la règle de cuivre, afin que sa longueur représente réellement le mètre; on aura, en prenant pour unité de longueur chacune des règles à la température de l’étalonnage,

mètre de platine .. . = 1 — 10P, mètre de cuivre. . . . = 1 — (10 — x) C;

égalant ces deux valeurs, on tire

Or en supposant, comme ci-dessus,

C = 0,00001783, et P = o,ooooo8565,

on obtiendra

x = 5°, 2 centigrades:

c’est la température que doit avoir la règle de cuivre pour représenter le mètre.

Mais la base R ayant été mesurée à la température moyenne de 180, et trouvée par conséquent trop courte, il faut, pour l’exprimer en mèh es, la diviser par la longueur de la règle de cuivre ramenée à la température de 5°, 2 , ou, ce qui est de même, tenir compte de l’excès de température de 180 — 5°, 2 = i2°,8; partant,

longueur de la base en mètres = - - - = îL

Donc, une longueur K égale à 10000 fois la règle de cuivre vau drait K + 1 a,8 CK = 10000»+ a“,2839; d’où l’on voit nue la carrée tion de température étant ici de a»,a839, il n’est pas permis de négliger cette correction , quand les bases et les distances des stations qui en dérivent doivent être mesurées avec une grande exactitude.

Remarquez qu’il est plus simple d’étalonner une règle d’un métal quelconque sur une règle de même matière, parce qu’alors il est inutile de constater le degré de température à laquelle cette opération a ete faite. Si, par exemple, une barre de fer a été étalonnée sur un métré de meme métal , elle représentera la longueur réelle du mètre à la température de la glace fondante, c’est-à-dire 3^ 1 1^,296 de l’ancienne toise de l’Académie, prise à i3° du thermomètre dé Réaumur Les astronomes français qui furent chargés de la grande opération

relative à la fixation clu mètre définitif employèrent, pour mesurer leurs bases, des règles de platine et de cuivre, formant, par leur superposition, des thermomètres métalliques. Ces règles ne furent point mises en contact, afin d’éviter l’émoussement de leurs extrémités et l’effet du recul; mais le petit intervalle qui les séparait fut mesuré avec une languette ou réglette graduée , comme on le verra bientôt.

Dans les opérations géodésiques ordinaires, 011 peut, sans inconvénient, mettre les règles ou les perches bout à bout; mais il est utile de mesurer deux fois, et en sens contraire, la même base, et de prendre pour vrai résultat la moyenne des deux mesures obtenues. A défaut de règles de fer, on se sert avec avantage de verges de bois de sapin trempées dans l’huile bouillante, puis recouvertes d’un vernis épais; parce que , par cette opération , elles sont très-peu sensibles aux variations hygrométriques de l’air. La Jig. 26 représente la forme d’une de ces verges; les branches du losange ABCD et la traverse CD servent d’arcsboutants à la règle AB, et l’empêchent par conséquent de se courber latéralement. On a au moins deux de ces verges, qu’on étalonne avec beaucoup de soin, et à chacune desquelles on donne communément 5 mètres de long. Leurs extrémités doivent être très-peu épaisses, garnies en fer et à vives arêtes, afin d’obtenir un contact parfait. Le mieux est que ces extrémités soient représentées l’une par un clou à tète ronde, l’autre par un clou à tète plate.

Avant de procéder à la mesure d’une base, on trace un alignement avec la plus grande précision possible, à l’aide de jalons ou perches bien droites garnies par le haut d’un petit carré de carton , et par le bas d’une pointe de fer, afin de pouvoir les ficher en terre. On fait disposer tous ces jalons en ligne droite ou dans un même plan vertical, au moyen d’une lunette placée à une extrémité de la base, et dirigée sur l’autre extrémité. Cette lunette doit se mouvoir dans le sens vertical, à la manière des lunettes des passages, afin de pouvoir l’élever ou l’abaisser selon que le terrain l’exige. Ensuite on place les règles sur un pont formé de plusieurs madriers calés solidement sur des trépieds ou chevalets : on les aligne avec le plus grand soin , et on les fixe sur le pont au moyen de brides, afin qu’en ôtant la première pour la placer en avant des autres, celles-ci 11’éprouvent aucun dérangement. Comme il importe d’observer la température des règles, on

a3o traité de géodésie.

leur adapte des thermomètres, mais on prend la précaution de les préserver de l’action directe du soleil. Si ces règles, dont on doit soigneusement éviter la flexion, ne pouvaient être disposées horizontalement, on mesurerait leur inclinaison à l’aide d’un niveau à perpendicule gradué, comme on le voit ( fig . 27); mai sen les mettant constamment dans une situation horizontale (ce qui, du reste, fait perdre beaucoup de temps), il est nécessaire, à cause des inégalités du terrain ou de son inclinaison, de leur faire faire des ressauts comme bc , de ( Jîg . 28). Dans ce cas, on fait correspondre exactement I extrémité postérieure de la règle cd à l’extrémité antérieure b de la règle ab : et c’est à quoi l’on parvient à l’aide d’un fil-à-plomb.

Nous terminerons nos remarques à ce sujet, parce que l’ingénieur inti igent sauia suppléer à nos omissions, modifier selon les circonstances es moyens d exécution et les procédés pratiques que nous indiquons, et donner aux divers instruments à employer dans la mesure des grandes bases, tout le degré de perfection dont ils pourraient être susceptibles.

142. La réduction des règles à l’horizon s’effectue très-facilement. En effet, soient l une longueur quelconque, Ô son inclinaison, et.r sa réduction à l’horizon, ou sa projection horizontale; on aura évidemment

x = l cos S.

Mais comme 8, qu il n’est pas nécessaire de connaître très-exactement, est toujours un très-petit angle, cette formule ne pourrait donner a; avec assez de précision (art. 91); il vaut mieux alors calculer le petit exces de / sur r: ainsi l’on aura, en supposant 8 donné en minutes,

/-.r = /(i — cos 9) = 2/sin2 (^)=x/£;jsin2 t-.

Dans la pratique , on met cette formule en table , afin d’abréger con-

sidérablement les opérations numériques; et si les observations donnent le double de l’inclinaison 0, on le prend pour argument, ce qui