LIVRE TROISIÈME. a3i

dispense de faire chaque fois une division, et rend le résultat plus sur. Dans ce cas, la formule se met sous cette forme :

/ — x = £ / sin2 (a0).

Quant à la différence dn de niveau des extrémités de la longueur /, on voit bien qu’elle est égale à

dn — /sin 0 = 1.0 sin i'; *

ainsi, la somme algébrique des dn donnera la différence de niveau des extrémités de la base. Toutefois il ne faut pas considérer cette différence comme étant rigoureusement déterminée par cette méthode; car d’une part, les inclinaisons 0 ne sont pas évaluées avec assez de précision, et de l’autre, les dn sont trop peu exactes et par trop multipliées.

En insistant sur la nécessité de faire les extrémités des règles d’une très-petite épaisseur, on a pour but d’atténuer les erreurs des con tacts, qui ne s’opèrent pas toujours de la même manière, à cause des diverses positions des règles à l’égard de l’horizon : éclaircissons ceci par un exemple. Supposons que ab , bc , de , fg soient quatre règles consécutives mises en contact, la première horizontale, et les trois autres inclinées, comme le représente la fig. 29. La longueur totale de ces quatre règles réduites à l’horizon, sera a' b' ■+- b'c d'e' -+- f'g , tandis que la distance horizontale a'g, ou la longueur réellement mesurée, sera plus grande que celle observée, de la somme des intervalles cd ', e'J Or, relativement à cd\ l’épaisseur de la deuxième règle est cd = a; si donc 0 est l’inclinaison de cette règle, 011 aura cd' = s sin 0. A l’égard de la troisième règle, son épaisseur sera seulement représentée par ef = s'; si donc 0' est son inclinaison, on aura e'J ' = s' sin 6'; ainsi l’erreur des contacts est

s sin 0 ■+• s' sin 0',

quantité qu’il faudra ajouter aux quatre longueurs des règles réduites à l’horizon, pour avoir la longueur vraiment mesurée; mais cette correction pourra être considérée comme nulle par la précaution indiquée précédemment.

145. Il est sans cloute beaucoup plus commode de choisir pour base un ligne droite, ou, pour mieux dire, une ligne exactement située dans un meme plan vertical ; mais il est des cas où cela est impossible. Les bases de Melun et de Perpignan mesurées par Delambre, offrent en effet chacune l’exemple d’une ligne géodésique brisée, dont les extrémités étaient même à quelque distance des deux termes choisis pour centres des stations.

Soient ACB (fig. 3o) une ligne brisée; S, V les extrémités de la véritable base, SA et VB des droites respectivement perpendiculaires aux ceux arcs sphériques AC, BC mesurés, et C l’angle horizontal que forment ces deux arcs. Le triangle ABC étant réellement sphérique, .1 faudra, avant de calculer la distance AB pour en déduire ensuite YS, trouver 1 exces sphérique de ce triangle (art. 100), retrancher de angle C le tiers de cet exces, et faire usage de la méthode de l’art. 92 pour calculer la base AB et les angles CAB, CB A.

Si au contraire on adoptait le procédé de Delambre (art. 130), on retrancherait de chacune des deux parties AC, BC de la base brisée la quantité dont elles surpassent leurs cordes respectives, ainsi que nous allons le faire voir ; on réduirait à ces cordes l’angle horizontal , et on prendrait pour base véritable la corde qui joint les points A et B, et qui s obtient par la résolution d’un triangle rectiligne.

En désignant par b le côté d’un triangle sphérique très-peu courbe pour une sphère dont le rayon = i, et par* la corde correspondante’ on aura, par la première des séries de l’art. 91.

b — ‘ism {- b = b — k = —

Lorsque B est la longueur d’un arc, et K celle de sa corde, pour un rayon — p, on a évidemment

donc

Tel est l’excès de l’arc sur sa corde, dans la

supposition que b fait