LIVRE TROISIÈME

triangle M'M"ô fera cle même connaître les distances relatives ôM", ôM'; et comme les coordonnées absolues du point M" sont x" ,y" , on aura

x" = AP' ôM', y" = P'M' - bM".

Pareillement, lorsque l’on aura calculé les distances dM ", d M'", on aura, pour coordonnées absolues du point M",

xm = AP" -h dM", y" == P"M" 4- dM"', et ainsi du reste.

C’est de cette manière que les distances des lieux de la France à la méridienne et à la perpendiculaire qui passe par l’Observatoire de Paris, ont été calculées approximativement par Cassini. Nous ne nous arrêterons pas à montrer comment on détermine les angles aigus des triangles rectangles M'£M", M"rfMw, ou les angles d’inclinaison de leurs hypoténuses par rapport à des parallèles à la méridienne, parce que cette opération 11e présente aucune difficulté, dès que l’on connaît F azimut de départ; mais nous ferons observer que lorsque l’on enregistre les distances à la méridienne et à la perpendiculaire, il importe d’indiquer le sens dans lequel elles doivent être prises; et, à cet éçard , on peut adopter la convention établie dans la théorie des courbes, relativement aux signes; par exemple, admettre que dans la région sudouest , limitée par la méridienne et sa perpendiculaire , les coordonnées x, y sont positives. Alors les signes seront donnés par le tableau suivant :

Région sud-ouest. . .

+ jr,

Région nord-ouest.. .

Région nord-est. . . .

— Jy

Région sud-est .

Si , dans le calcul des distances à la méridienne et à la perpendiculaire, on désigne par R le côté connu, et par Z son angle d’inclinaison avec le méridien d’une de ses extrémités, compté du sud à l’ouest et depuis zéro jusqu’à 4oog, on aura généralement

x = K cos Z , y = R sin Z ;

en sorte qu’en observant la règle des signes de sinus et cosinus (art. 46),

on saura tout de suite à quelle région appartiennent x et y.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE LA LIGNE GÉODÉSIQUE , DÉDUITES DU MODE DE SON TRACÉ.

16o. Soient, comme ci-dessus, ABC, BCD ( Jig . 38) deux triangles consécutifs d’un réseau, et AM = ds l’élément ou le premier côté d’une ligne géodésique quelconque; MM' le prolongement de cette ligne. Si l’on prend MM' = ds , et qu’on le plie suivant la verticale M'N au second triangle BCD , on aura MN ou ds’ égal à ce prolongement , et cela à un infiniment petit près du troisième ordre ; car l’angle M'MN= i étant considéré comme un infiniment petit du premier ordre, on a, à cause du triangle rectangle élémentaire M'NM,

ds' = ds cos i = ds — l- ^ = ds — -~-y

en négligeant les termes d’un ordre supérieur à i 2 ; mais ds est une

quantité du troisième ordre; donc ds' = ds; donc la propriété d’une ligne géodésique s résulte de ce que sa différentielle ds est constante.

D’un autre côté, la normale

M'N = ds sin i = ds (i— = jds — ~ds,

ou simplement M N= ids ; donc la normale comprise entre le prolongement du premier cote de la ligne géodésique et la surface terrestre est du second ordre. On remarquera que puisque la ligne géodésique AMN est égale à la distance rectiligne AMM', cette ligne jouit nécessairement de la propriété d etre la plus courte entre toutes celles que l’on peut mener sur la Terre, entre ses extrémités A, N. En effet, ABM' > AMM' = AMN : mais ABM = ABN à un infiniment petit près du troisième ordre : donc ABN > AMN.

Maintenant, soient x, y, z les coordonnées rectangles de l’origine de l’élément ds, ou du point A du sphéroïde terrestre ; celles de l’extrémité