LIVRE TROISIÈME. a9i

M de cet élément seront x -+- dx , y -+- dy , z-\- dz, et les coordonnées du point M', extrémité du second élément MM' = ds , seront évidemment

x-\- ^dæ — X, y-\-idy = Y, zH- idz — Z.

Mais nous venons de démontrer que la petite normale M'N ,. ou la perpendiculaire au second triangle BCD, est du second ordre; par conséquent elle peut être considérée comme la diagonale d’un parallélipipède rectangle dont les côtés seraient du même ordre, c’est-à-dire ddx , ddj, ddz. Ainsi les coordonnées du point N , ou du pied de cette normale , seront

x-h 2 dx — ddx = X', y-\r 2dy — ddy — Y', z-+- 2dz — ddz=rU .

Or, par la théorie connue des surfaces courbes ( Traité élémentaire du Calcul différentiel de M. Lacroix, ou mon Recueil de propositions de Géométrie , 3e édit., page 434)» on a en général, pour les équations des projections de leur normale ,

p — q — étant des coefficients aux différentielles partielles;

on a donc, pour le cas dont il s’agit,

ddx -f- pddz = o, i ^ ddy-yqddz—o. 1

D’ailleurs, lorsque u =/(*,/, z) = o désigne généralement l’équation d’une surface courbe , J étant le signe d une fonction quelconque , son équation différentielle est, comme on sait ,

du = (£) dx + (£) dï + ( ï) dz = o ;

mais, en supposant aussi l’équation de cette surface représentée par

z — y (pc , j)r on a de même, pour son équation différentielle,

dzz={iL) dx + {£)dJr=Pdx+<idJ-’

de là on tire aisément

Enfin , substituant ces valeurs dans les équations (A), il vient

Telles sont les équations de la ligne la plus courte sur une surface courbe quelconque, puisqu’elles résultent de la propriété même de

cette ligne. Éliminant entre elles , on a, pour troisième équation de la plus courte distance ,

(£) ddr ~ {%) ddx = o.

Ces trois équations seront donc celles d’une ligne géodésique, si u =o exprime liquation de la surface terrestre [voyez aussi sur ce sujet le Calcul des Variations , par M. Lacroix, ou celui de M. Francœur).

166. Pour première application , supposons u=x2-\-y2-+-z2—r3= o, c’est-à-dire considérons une sphère du rayon r; les trois coefficients aux différentielles partielles seront évidemment

ainsi, en divisant par ds chacune des trois demieres équations précé-

dentes , on aura