LIVRE TROISIÈME

ds = a( i — e2)^i sin2 H ^|e4sin4H...J dH;

puis, changeant les puissances des sinus de H en cosinus d’arcs multiples par le procédé connu, et intégrant, il vient

s =a( i — e2) |/>H — ^p'sin 2H + ^/?"sin 4H— . . .J ,

série dans laquelle

P='+ r + W' P' = ie+*e'

et où la constante est nulle, puisque s et H s’évanouissent en même temps. On a donc, à l’aide de la notation ci-dessus ,

/ a =a(i — e2) [py — p'sincp cos<ï> -+-£/>" sin 29 cos2<I> — . . .], | A' =a(i — e2) [pÿ — p'sin(p'cos$'-+-|p,/sin2(p'cos2$' — . .

Il s’agit maintenant de déterminer e2 et a par la combinaison de ces deux arcs : or, en divisant l’une par l’autre les deux dernières séries précédentes , il vient

A py — />'sin<p cos<I> -h 7/?" sin î^cos 2$

A' py — pr sin y' cos 4*' -h 7 p" sin 2<pcos 2$' ’

puis, chassant les dénominateurs, on obtient cette relation

(m) M p — N p' -h \Vp" = o

lorsque , pour abréger, l’on fait

M==lîs(Aî,'-A'?),

N = Asin<p'cos<î>' — ■ A'sin<pcos<l> ,

P = A sin 2 9' cos 2$' — A' sin 29 cos 2 <I>,

et que n désigne la demi- circonférence d’un cercle dont le rayon est

l’unité.

La relation (m) est propre à faire connaître la valeur de e 2 en y substituant pour p, p', p" leurs valeurs précédentes. En effet l’on a

M — |eJ(N — M) -t- (3M-4N+ip)=o;

mais pour simplifier un peu le calcul numérique, nous la multiplie-

rons par i — ^ e2, en ne conservant cependant, dans le produit , que les termes en e2 et en e 4 ; alors ce produit sera

r’N-IK3M-8N+!p)-M=°-

Remarquons d’ailleurs qu’à cause de la petitesse de e2 et de celle du coefficient de e 4 qu’on obtiendrait en divisant tous les termes par ^ N,

on peut, au lieu de résoudre cette équation du second degré, employer la méthode des approximations successives. Dans ce dernier cas, l’on trouve sans difficulté cette série

.2 4M . s zr&*Y if4M\a ,

au moyen de laquelle les trois premiers termes donneront toujours e2 avec une grande précision : souvent meme on pourra se contenter du premier terme , et obtenir ainsi avec assez d’exactitude

aplat. « = ,.t - ,

r 3 (Am sm* • — Am sm1! *) ’

en faisant A,n = et A!m = ^-37^7, et exprimant les amplitudes <p, <p' en degrés et décimales de degré ; c’est-à-dire les angles H — H', A — A'.

Applications numériques.

178. Selon les mesures de France et d’Angleterre, l’arc du méridien compris entre Greenwich et Formentera, corrigé de toute erreur ( Nouvelle Description géométrique de la France , tom. II, p. ôio') ,

est . A = 73o53aT,8

Latitude dè Greenwich . II = 5i°a8'4o"

Latitude de Formentera . H' = 38.39.56,1 1

<p = H — H' = ia. 48. 43, 89

Selon les mesures du Pérou, l’arc du méridien coupé par F équateur

et vérifié par Delambre , est . A' = i76877T,o

Latitude boréale de Cotchesqui. . A = -F o°a'3i",o Latitude australe de Tarqui. . . A' = — 3-4- 3a ,0 <p' = A — A' = -+- 3.7. 3 ,0

ainsi l’on a d’abord

log A = 5.8636398; log A' = 5 .2476714 ;

log (p = 1.1076334; 9 = ia°,8iai9i7; <ï> = 90° 8' 36", 1 ;

log Y = o. 4938o65 ; cp' = 3°, 11 75 ; «l»' = — 3° a' 1".

Opérant ensuite par les logarithmes à 7 décimales, il vient

et par la relation (N) on a

Ier terme. 2e terme. 3e terme.

logM = a. ap3i636 logP = 5.19142 c.logN = 5.4o°4i 2 370 c.logN = 5.4oo43

log! = o- 1249388 logJL = 9.1938a log! = 9.69897 —

loge* = 7.8185294 2 loge* = 5.637o6 . 0.63706

ier terme. o,oo65846o

ae terme, q- 0,00002647

3e terme. — 0,00002168

Le carré de l’excentricité étant connu maintenant, on tirera l’aplatissement a de la relation

laquelle donne, sans erreur sensible,

on a donc

De là

donc enfin

loge2 = 7.81885